苏科版八年级数学下册题型突破提高类型七、反比例函数与全等三角形结合(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册题型突破提高类型七、反比例函数与全等三角形结合(原卷版+解析)，共34页。
已知点、、．点在函数的图像上，过点作轴，垂足为点．若以点、、为顶点的三角形与全等，则满足条件的点共有______个．
方法：1.先分△OAB≌△QOP和△OAB≌△QPO两种情况讨论，2.根据每一种情况再去讨论3.求出点P的坐标即可
【融会贯通】
1．已知点．点P在函数的图象上，过点P作轴，垂足为点Q．若以点P、O、Q为顶点的三角形与全等，则满足条件的点P共有多少个（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．两个斜边长为2全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个的直角项点A重合．若固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边交于点E，F，设，，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
3．两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA在x轴上，已知∠COD=∠OAB=90°，OC=，反比例函数y=的图象经过点B．
（1）求k的值．
（2）把△OCD沿射线OB移动，当点D落在y=图象上时，求点D经过的路径长．
【知不足】
1．如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB＝9．
（1）求一次函数解析式；
（2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标；
（3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）求△DOC的面积．
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
3．在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．
4．苏科版数学七（下）教材中有这样一段阅读材料：
著名的反例：公元1640年，著名数学家费马发现：
，，，，
而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，都是质数．可是，到了1732年，数学家欧拉发现：．
这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想．
这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法．
(1)代数中的反例：
①用举反例说明“”是个假命题时，a的取值范围是______．
②请你举反例说明“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题．
(2)几何中的反例：
学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件：
①有两边分别与AC和BC相等；
②与BC相等边所对的角等于；
③构造出的三角形与不全等．
要求：①用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明；
②不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图．
【一览众山小】
1．已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC﹣CB﹣BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）求出该反比例函数解析式；
（2）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标；
（3）用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s，并指出相应t的取值．
2．如图，在平面直角坐标系中，点P在直线上（点P在第一象限），过点P作PA⊥x轴，垂足为A，且OP＝．
(1)求点P的坐标；
(2)如果点M和点P都在反比例函数（k≠0）的图像上，过点M作MN⊥x轴，垂足为N．如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M的坐标．
3．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为(1，2)，反比例函数y＝(00）的图像与直线、分别交于点E、F，连接EF，在y轴上是否存在点Q，使得△PEF和△QEF全等，若存在，请直接写出相应的k的值；若不存在，请说明理由．
类型七、反比例函数与全等三角形结合
【解惑】
已知点、、．点在函数的图像上，过点作轴，垂足为点．若以点、、为顶点的三角形与全等，则满足条件的点共有______个．
方法：1.先分△OAB≌△QOP和△OAB≌△QPO两种情况讨论，2.根据每一种情况再去讨论3.求出点P的坐标即可
【融会贯通】
1．已知点．点P在函数的图象上，过点P作轴，垂足为点Q．若以点P、O、Q为顶点的三角形与全等，则满足条件的点P共有多少个（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C【详解】解：当时，，或；
当时，，或．
2．两个斜边长为2全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个的直角项点A重合．若固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边交于点E，F，设，，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D【详解】解：如图，
由题意得∠B=∠C=45°，∠G=∠EAF=45°，∵∠AFE=∠C+∠CAF=45°+∠CAF，∠CAE=45°+∠CAF，∴∠AFB=∠CAE，∴△ACE∽△FBA，∴∠AEC=∠BAF，，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC=2，∴AB=AC=，又BF=x，CE=y，∴，
即xy=2（1＜x＜2），
3．两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA在x轴上，已知∠COD=∠OAB=90°，OC=，反比例函数y=的图象经过点B．
（1）求k的值．
（2）把△OCD沿射线OB移动，当点D落在y=图象上时，求点D经过的路径长．
【答案】（1）k=2；（2）点D经过的路径长为．【详解】（1）∵△AOB和△COD为全等三的等腰直角三角形，OC=，∴AB=OA=OC=OD=，∴点B坐标为（，），代入得k=2；（2）设平移后与反比例函数图象的交点为D′，由平移性质可知DD′∥OB，过D′作D′E⊥x轴于点E，交DC于点F，设CD交y轴于点M，如图，
∵OC=OD=，∠AOB=∠COM=45°，∴OM=MC=MD=1，
∴D坐标为（﹣1，1），设D′横坐标为t，则OE=MF=t，∴D′F=DF=t+1，∴D′E=D′F+EF=t+2，
∴D′（t，t+2），∵D′在反比例函数图象上，∴t（t+2）=2，解得t=或t=﹣﹣1（舍去），∴D′（﹣1， +1），∴DD′=，即点D经过的路径长为．
【知不足】
1．如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB＝9．
（1）求一次函数解析式；
（2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标；
（3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）直线AP解析式为y＝x+2；（2）Q（0.8，0）；（3）R坐标为（4，1.5）．
【详解】（1）直线AP解析式y＝kx+4k＝k（x+4），得到A（﹣4，0），即OA＝4，设OB＝a，PB＝b，即P（a，b），代入反比例解析式得：ab＝6，∵S△PAB＝AB•PB＝9，
∴（a+4）b＝9，即ab+4b＝6+4b＝18，解得：a＝2，b＝3，即P（2，3），将P（2，3）代入直线y＝kx+4k中得：3＝2k+4k，解得：k＝，则直线AP解析式为y＝x+2；
（2）对于直线y＝x+2，令x＝0，得到y＝2，即C（0，2），OC＝2，找出C关于x轴的对称点C′（0，﹣2），连接PC′，交x轴与Q点，此时QC+QP最短，设直线C′P解析式为y＝mx+n，将P（2，3）与C′（0，﹣2）代入得：，解得：m＝2.5，n＝﹣2，∴直线C′P解析式为y＝2.5x﹣2，令y＝0，得到x＝0.8，即Q（0.8，0）；（3）若△BTM≌△COA，则有BT＝OC＝2，MT＝OA＝4，∴OT＝OB+BT＝2+2＝4，即M（4，4），将x＝4代入直线OP解析式得：y＝×4+2＝2+2＝4，即M在直线AP上，将x＝4代入反比例解析式得：y＝＝1.5，此时R坐标为（4，1.5）．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）求△DOC的面积．
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】1），m=1；（2）=1.5；（3）P（，）或P（-，）
【详解】（1）∵点C（1，2）在反比例函数图象上，∴k=2，∴反比例函数解析式为，
∵点B（2，m）在反比例函数图象上，∴m==1．（2）如图，过点C作⊥OA于E，过点D作DF⊥OA于F，∵C（1，2），D（2，1），∴CE=2，DF=1，∵C、D在一次函数的图象上，∴，解得：，∴一次函数解析式为y=-x+3，当y=0时，x=3，
∴A点坐标为（3，0），∴OA=3∴=S△AOC-S△AOD===1.5．
（3）设点P坐标为（n，），∵C（2，1），D（1，2），∴OC=OD，∵△POC和△POD全等，∴PC=PD，∴，解得：，∴P（，）或P（，），
∴双曲线上存在一点P，使得△POC和△POD全等，P（，）或P（，）．
3．在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）k=2；（2）E点坐标为（3，2）；（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF， 符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．【详解】解：（1）若点E与点D重合，则k=1×2=2；
（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，
∵PF⊥PE，∴S△FPE=PE•PF=（﹣1）（k﹣2）=k2﹣k+1，
∴四边形PFGE是矩形，∴S△PFE=S△GEF，∴S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGD﹣S△OCE=•k﹣（k2﹣k+1）﹣k=k2﹣1∵S△OEF=2S△PEF，∴k2﹣1=2（k2﹣k+1），解得k=6或k=2，
∵k=2时，E、F重合，∴k=6，∴E点坐标为：（3，2）；（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，
①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，
∵△FHM∽△MBE，∴，∵FH=1，EM=PE=1﹣，FM=PF=2﹣k，∴，BM=，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，∴（1﹣）2=（）2+（）2，
解得k=，此时E点坐标为（，2），
②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，，∵FQ=1，EM=PF=k﹣2，FM=PE=﹣1，
∴，BM=2，在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，∴（k﹣2）2=（）2+22，解得k=或0，但k=0不符合题意，∴k=．此时E点坐标为（，2），
∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．
4．苏科版数学七（下）教材中有这样一段阅读材料：
著名的反例：公元1640年，著名数学家费马发现：
，，，，
而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，都是质数．可是，到了1732年，数学家欧拉发现：．
这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想．
这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法．
(1)代数中的反例：
①用举反例说明“”是个假命题时，a的取值范围是______．
②请你举反例说明“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题．
(2)几何中的反例：
学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件：
①有两边分别与AC和BC相等；
②与BC相等边所对的角等于；
③构造出的三角形与不全等．
要求：①用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明；
②不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图．
【答案】(1)① ；②举例见解析(2)画图见解析（1）解：①当时，则
解得：或 当时， 此时 当时， 此时
当时， 此时 所以“”是个假命题时，a的取值范围是
②对于反比例函数 当时， 当时， 发现自变量变大，函数值也变大，所以“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题．（2）解：方法一：如图，延长，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于，连接CD，
则中，满足
但是两个三角形不全等．方法二：以A为圆心，适当的长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点F，以点M为圆心，MF为半径画弧，与前弧在AB的另一侧交于点G，作射线AG，
以点A为圆心，AC长为半径画弧，交射线AG于点D，以D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的延长线于点E，连接DE，得三角形ADE，
则中，满足
但是两个三角形不全等．方法三：以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AC的反向延长线于点D，以点D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的反向延长线于点M，E（点E在外侧）
连接DE，得三角形ADE，
则中，满足 但是两个三角形不全等．
【一览众山小】
1．已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC﹣CB﹣BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）求出该反比例函数解析式；
（2）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标；
（3）用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s，并指出相应t的取值．
【答案】（1）y=；（2）Q1（，4）；Q2（4，），Q3（4，）；（3）s1=8t（0＜t≤1）；s2=﹣2t2+2t+8（1≤t≤2）；s3=﹣10t+24（2≤t≤）．试题解析：解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴C的坐标为（4，4），设反比例解析式为y=，将C的坐标代入解析式得：k=16，则反比例解析式为y=；（2）当Q在DC上时，如图所示：
此时△APD≌△CQB，∴AP=CQ，即t=4﹣4t，解得t=，
则DQ=4t=，即Q1（，4）；当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示：
若Q在上边，则△QCD≌△PAD，∴AP=QC，即4t﹣4=t，解得t=，则QB=8﹣4t=，此时Q2（4，）；若Q在下边，则△APD≌△BQA，则AP=BQ，即8﹣4t=t，解得t=，则QB=，即Q3（4，）；当Q在AB边上时，如图所示：
此时△APD≌△QBC，∴AP=BQ，即4t﹣8=t，解得t=，
因为0≤t≤，所以舍去．综上所述Q1（，4）； Q2（4，），Q3（4，）；（3）当0＜t≤1时，Q在DC上，DQ=4t，则s=×4t×4=8t；当1≤t≤2时，Q在BC上，则BP=4﹣t，CQ=4t﹣4，AP=t，则s=S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=16﹣AP•AD﹣PB•BQ﹣DC•CQ=16﹣t×4﹣（4﹣t）•[4﹣（4t﹣4）]﹣×4（4t﹣4）═﹣2t2+2t+8；当2≤t≤时，Q在AB上，PQ=12﹣5t，则s=×4×（12﹣5t），即s=﹣10t+24．总之，s1=8t（0＜t≤1）；s2=﹣2t2+2t+8（1≤t≤2）；
s3=﹣10t+24（2≤t≤）．
2．如图，在平面直角坐标系中，点P在直线上（点P在第一象限），过点P作PA⊥x轴，垂足为A，且OP＝．
(1)求点P的坐标；
(2)如果点M和点P都在反比例函数（k≠0）的图像上，过点M作MN⊥x轴，垂足为N．如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M的坐标．
【答案】(1)(2)(1)∵点P在直线上，∴设．∵OP＝，
∴，解得：，∴；(2)∵点P在反比例函数（k≠0）的图像上，∴k=4×2=8，∴．如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），当N在点A的左侧时，，，∴，
∴在反比例函数图像上；当N在点A的右侧时，，，∴，∴不在反比例函数图像上，∴．
3．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为(1，2)，反比例函数y＝(00）的图像与直线、分别交于点E、F，连接EF，在y轴上是否存在点Q，使得△PEF和△QEF全等，若存在，请直接写出相应的k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)①；②存在，【详解】（1）解：∵A(8，0)，B(0，6)，∴，∴，依题意，，
∵，∴，∴，∴，∴，解得；
（2）解：过点作轴于点，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴，∵△ADC的面积为9，∴，
解得或，∵0 < t < 5，∴，（3）①如图，当为矩形的对角线时，过点作轴于点，
∵四边形是矩形，∴，∴，又，，∴，
由（2）可知，∴，∴，，
∴，解得，∴，∵，，，∴，∴，即，,，∴；当以为边时，四边形为矩形，则，在中,
∴,∴又∴∴解得，∵四边形为矩形，则，∴∵∴
又∴∴解得,
则，在中，∴②如图，∵,
∴，又，根据题意，只能是，
∴∵在上，则，∵∴,，如图，过点作轴于点，则又∴∴又，整理得∴解得