苏科版八年级数学下册题型突破提高类型十一、反比例函数与平行四边形结合(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册题型突破提高类型十一、反比例函数与平行四边形结合(原卷版+解析)，共31页。

方法：平行四边形ABCO，已知ABC，求点B的坐标——1.先设B坐标，根据平行四边形坐标公式；2.点B不固定时，分三种情况去讨论。
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，D在函数的图象上，轴于点C，，点D的纵坐标为2，则的长为（ ）
A．B．C．4D．6
2．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平面直角坐标系中，．反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，则________
【知不足】
1．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为_______．
2．如图所示，点为坐标原点，点在双曲线上，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，若四边形是平行四边形，则四边形的面积为________．
3．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“关爱点”．如图，平行四边形的顶点C在x轴的负半轴上，点D，E在第二象限，点E的纵坐标为2，反比例函数的图象与交于点A．若点B是点A的“关爱点“，且点B在的边上，则的长为 _____．
4．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．
(1)当点A的横坐标为2时，求k的值；
(2)若，点C为y轴正半轴上一点，，
①求点C的坐标及的面积；
②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，请求出第四个顶点D的坐标．
【一览众山小】
1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为______．
2．如图，平行四边形的顶点在坐标原点上，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_____．
3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是______．
4．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_________．
5．如图，在平面直角坐标系中，函数（其中）的图象经过平行四边形的顶点A，函数（其中）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为2，的面积为6．
(1)求k的值；
(2)求直线的解析式．
【温故为师】
1．如图，点，都在反比例函数的图象上．
(1)求，的值；
(2)如果为轴上一点，为轴上一点，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式．
2．如图一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式
(2)求的面积．
(3)根据图象直接写出时,的取值范围;
(4)已知点,设点是坐标平面内一个动点,当点,,,为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点的坐标.
3．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
(1)求和的值．
(2)若点与点关于直线对称，连接．
①求点的坐标；
②若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)点为x轴正半轴上的一点，且的面积为，求a的值．
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由．
5．如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．
(1)求m、n的值；
(2)求一次函数的表达式；
(3)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．
6．阅读理解：已知，对于实数，，满足，当且仅当时，等号成立，此时取得代数式的最小值．根据以上结论，解决以下问题：
(1)若，当且仅当______时，有最小值，最小值为______．
(2)①如图13—1，已知点P为双曲线上的任意一点，过点P作轴，轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值；
②如图13—2，已知点Q是双曲线上一点，且轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交边于点E，作直线．
(1)求反比例函数的解析式和E点坐标；
(2)在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；
(3)若点M在反比例函数的图像上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)若的面积为9，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
类型十一、反比例函数与平行四边形结合
【解惑】
方法：平行四边形ABCO，已知ABC，求点B的坐标——1.先设B坐标，根据平行四边形坐标公式；2.点B不固定时，分三种情况去讨论。
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，D在函数的图象上，轴于点C，，点D的纵坐标为2，则的长为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】A【详解】解：∵D在函数的图象上，点D的纵坐标为2，∴，得，∴，∵轴于点C，，∴点的纵坐标为2，又∵四边形为平行四边形，∴轴，且，∴点的纵坐标为4，∴，得，则：，，∴，由勾股定理可得：．
2．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【详解】解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，如图所示，
，中点恰好落在轴上，，
，（AAS），，点在双曲线上，
，点在双曲线上，且从图像得出，，
，四边形是平行四边形，，，解得：，，，
3．如图，在平面直角坐标系中，．反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，则________
【答案】【详解】解：∵，∴点A平移到点B，横坐标减2，纵坐标加1，根据平行四边形的性质可知，点O平移到点C也是如此，∴C点坐标为，
代入得，，解得，，
【知不足】
1．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为_______．
【答案】6【详解】解：过点A作于，如图，
四边形为平行四边形，轴，四边形为矩形，，∵，
2．如图所示，点为坐标原点，点在双曲线上，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，若四边形是平行四边形，则四边形的面积为________．
【答案】5【详解】解：如图所示，连接，分别过点，作轴垂线，垂足分别为点，，
由题意可知，，，，
3．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“关爱点”．如图，平行四边形的顶点C在x轴的负半轴上，点D，E在第二象限，点E的纵坐标为2，反比例函数的图象与交于点A．若点B是点A的“关爱点“，且点B在的边上，则的长为 _____．
【答案】【详解】解：设，∵点B是点A的“关爱点“，∴，
当B点在上时，则，解得，∴，∴；
当B点在上时，设的解析式为，∴，解得，∴的解析式为，∴，解得，∴，∴，
∴（舍去）；综上所述：的长为，
4．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．
(1)当点A的横坐标为2时，求k的值；
(2)若，点C为y轴正半轴上一点，，
①求点C的坐标及的面积；
②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，请求出第四个顶点D的坐标．
【答案】(1)(2)①，；②D坐标为或或【详解】（1）当时，，∴点A坐标为，∵点A的反比例函数的图像上，
∴，（2）①∵，∴反比例函数解析式为，联立方程组可得：，
解得：或，∴点，点，∴，又∵，
∴，∴点，∴的面积；②设点D坐标为，若为对角线，则四边形是平行线四边形，∴与互相平分，
∴，，∴，，∴点；若为对角线，则四边形是平行四边形，∴与互相平分，∴，，
∴，，∴点；若为对角线，则四边形是平行线四边形，
∴与互相平分，∴，，∴，，
∴点，综上所述：点D坐标为或或．
【一览众山小】
1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为______．
【答案】【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，，，∴，，解得，，
∴，将代入并解得，
2．如图，平行四边形的顶点在坐标原点上，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_____．
【答案】12【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，
四边形是平行四边形，，，
，∴，，同理可得：，，点在反比例函数上，，点在反比例函数上，，
平行四边形的面积为：．
3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是______．
【答案】【详解】如图，连接，设交y轴于点C，
∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5，
∴，，∴轴，∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，∴，∴，解得：．
4．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_________．
【答案】11【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，
四边形是平行四边形，，，，，，同理可得：，，
点在反比例函数上，，点在反比例函数上，
，平行四边形的面积为：，
5．如图，在平面直角坐标系中，函数（其中）的图象经过平行四边形的顶点A，函数（其中）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为2，的面积为6．
(1)求k的值；
(2)求直线的解析式．
【答案】(1)(2)【详解】（1）解：∵点C的横坐标是2，∴，，
∴，∵四边形是平行四边形，∴轴，∵，即，
∴，∴，∴点A的坐标为，∴；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，设直线的解析式为，
则，∴，∴直线的解析式为．
【温故为师】
1．如图，点，都在反比例函数的图象上．
(1)求，的值；
(2)如果为轴上一点，为轴上一点，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式．
【答案】(1)，；(2)或【详解】（1）解：由题意可知，，解得，∴，∴；（2）解：设直线的解析式为：，∴，解得：，∴直线的解析式为：，，∵点，，，为顶点的四边形是平行四边形，且为轴上一点，为轴上一点，∴且，设直线的解析式为：，∴，，∴，解得，
所以满足条件的的解析式为：或．
2．如图一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式
(2)求的面积．
(3)根据图象直接写出时,的取值范围;
(4)已知点,设点是坐标平面内一个动点,当点,,,为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点的坐标.
【答案】(1)；(2)8(3)或(4)点的坐标为或或
【详解】（1）解：，在反比例函数的图象上，，
反比例函数的解析式是．，解得，，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．，解得，一次函数解析式为；（2）解：设直线与轴相交于点，令，得，
的坐标是，，．
（3）解：观察函数图象可知，当时，直线在图象的上方，另外，当时，直线在第二象限，在第三象限，因此直线在图象的上方，综上可知，当时，x的取值范围为：或；（4）解：当平行四边形中为边，为对角线时，如下图所示，
,，，即，
点D的横坐标为，纵坐标为，点D的坐标为；当平行四边形中，为边时，如下图所示，
,，，即，
点D的横坐标为，纵坐标为，点D的坐标为；当平行四边形中为边，为对角线时，如下图所示，
,，，即，
点D的横坐标为，纵坐标为，点D的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
3．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
(1)求和的值．
(2)若点与点关于直线对称，连接．
①求点的坐标；
②若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)(2)①②的坐标为或或【详解】（1）将点代入得：，，直线的表达式为，
把点代入，得：，，将代入得：，；（2）①连接，过作轴于，如图：
，，是等腰直角三角形，
，由点与点关于直线对称，知≌，，即，，点的坐标为；
以点为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：设，又，Ⅰ若是对角线，则的中点重合，
，解得，；Ⅱ若为对角线，则的中点重合；，解得，；Ⅲ若为对角线，则的中点重合，，解得，，
综上所述，的坐标为或或．
4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)点为x轴正半轴上的一点，且的面积为，求a的值．
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，6；(2)(3)存在，坐标为或或【详解】（1）解：将代入一次函数得，，解得：，∴， 将代入得，，将代入反比例函数得，，（2）解： 当时，，
∴，由题意可得，，解得：；（3）解：由（2）得，，，，当是对角线时，根据对角线互相平分可得，，
，∴；当是对角线时，根据对角线互相平分可得，
，，∴；当是对角线时，根据对角线互相平分可得，，，∴；综上所述Q的坐标为：或或．
5．如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．
(1)求m、n的值；
(2)求一次函数的表达式；
(3)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．
【答案】(1)，(2)(3)(4)，或，或【详解】（1）将点代入反比例函数，得，，，∴，将代入，
得，，，∴，；（2）将点和分别代入一次函数，
得，，解得，，∴；（3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点，
理由：的周为最小，设的表达式为∵点、，∴，解得，，
∴的表达式为，∴时，，（4）D的坐标为，或，或．理由：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、，设点D的坐标为，
①当是边时，则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到，则0+2=s，5﹣4=t或0﹣2=s，5+4=t，解得或；②当AB是对角线时，由中点公式得：， ，
解得；故点D的坐标为，或，或．
6．阅读理解：已知，对于实数，，满足，当且仅当时，等号成立，此时取得代数式的最小值．根据以上结论，解决以下问题：
(1)若，当且仅当______时，有最小值，最小值为______．
(2)①如图13—1，已知点P为双曲线上的任意一点，过点P作轴，轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值；
②如图13—2，已知点Q是双曲线上一点，且轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1，2(2)①，周长最小值为；②存在，或或【详解】（1）解：由题意，当且仅当，即（负值舍去）时，，即有最小值，最小值为2；（2）解：①∵点P为双曲线上的任意一点， ∴设，∴四边形OAPB的周长，
当四边形OAPB的周长取得最小值时，即， 即的最小值为，此时，解得：（负值舍去），∴，周长最小值为；
②存在．∵点P为双曲线上的任意一点， ∴设，，，当时，解得：（负值舍去），即当时，有最小值，从而有最小值，；轴，且点Q在，∴点Q的纵坐标为，且，即，
；当以、为平行四边形的邻边时，则，，
；当以、为平行四边形的邻边时，则，，
；当以、为平行四边形的邻边时，则，只要把点Q沿方向平移，平移距离为长度，即可得到点C，综上，点C坐标为或或．
7．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交边于点E，作直线．
(1)求反比例函数的解析式和E点坐标；
(2)在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；
(3)若点M在反比例函数的图像上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数表达式为，；(2)；(3)存在，或．
【详解】（1）解∵点D是的中点，∴，∴，∵反比例函数的图像经过点D，∴，∴反比例函数表达式为当时，，∴；
（2）作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，此时的周长最小，设交y轴于F，
∵，∴∴∴
∴∴（3）①当为平行四边形一边时，且，当点N在x轴上时，，此时舍去
当点N在y轴上时，，此时舍去
②当为平行四边形对角线时当点N在x轴上时，设点，，
由中点坐标公式得得∴
当点N在y轴上时，设点由中点坐标公式得 ∴
综上所述，或
8．如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)若的面积为9，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)(3)存在，点的坐标为，，．
【详解】（1）解：将代入中得∴反比例函数解析式为
将代入中解得∴将点、分别代入
得∴∴一次函数解析式为．（2）解：如图1，由直线：得∵∴得
∴或∵点是轴负半轴上一动点∴
（3）解：存在以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形．，，．理由如下：设的表达式为，把、代入得到则，所以设、当为对角线时，如图2所示，得到，所以
当为边时，如图3 所示：，向下平移3个单位、向右平移3个单位得到，那么向下平移3个单位、向右平移3个单位得到，， 如图4所示：，向下平移3个单位、向右平移3个单位得到，那么向下平移3个单位、向右平移3个单位得到，即，综上：，，．