【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题16 新高考新题型之开放性试题小题 （拔高版）

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1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】
专题16 新高考新题型之开放性试题小题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）
一、填空题
1．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.
①；②
【答案】（答案不唯一）
【分析】可构造等比数列，设公比为，由条件，可知公比为负数且，再取符合的值即可得解.
【详解】可构造等比数列，设公比为，
由，可知公比为负数，
因为，所以，
所以可取设，
则.
故答案为：.
2．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆C：，过点的直线l交C于A，B两点，且，请写出一条满足上述条件的l的方程：________________．
【答案】（答案不唯一，也满足）
【分析】分别讨论直线l斜率存在、不存在的情况，设C到直线的距离为d，由得，结合点线距离公式即可求解判断.
【详解】由题意得，半径，，故在圆外，
设C到直线的距离为d，
由得，即，解得，
当直线l斜率不存在时，即，此时，符合题意；
当直线l斜率存在时，设为，即，则， 即，解得，故直线为.
故答案为：（答案不唯一，也满足）
3．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）若抛物线以坐标轴为对称轴，原点为焦点，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程可以是______．（只需填写满足条件的一个方程）
【答案】或或或（答案不唯一其它满足要求的答案也可）
【分析】先求焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程，通过平移变换确定符合要求的抛物线方程.
【详解】焦点为，准线为的抛物线的标准方程为，
将其向左平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，
其方程为，
焦点为，准线为的抛物线的标准方程为，
将其向右平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，
其方程为，
焦点为，准线为的抛物线的标准方程为，
将其向下平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，
其方程为，
焦点为，准线为的抛物线的标准方程为，
将其向上平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，
其方程为，
故答案为：或或或（注意答案不唯一，其它满足要求的答案也可）
4．（2023秋·江苏·高三统考期末）设函数，则使在上为增函数的的值可以为__________.（写出一个即可）.
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据三角函数单调性求出函数在，上单调递增，使在上为增函数，令，，解得，则取0，此时函数的单调递增为，则，即可列式得出，即可得出答案.
【详解】，
令，，
解得，
即函数在，上单调递增，
而函数在上为增函数，
令，，解得，
，则取0，
此时函数的单调递增为，
则，
则，解得，
则使在上为增函数的的值的范围为，
故答案为：（答案不唯一，满足即可）
5．（2023·福建莆田·统考二模）直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先对求导，再假设直线l与的切点为，斜率为，从而得到关于的方程组，解之即可求得直线l的方程.
【详解】因为，
所以，
不妨设直线l与的切点为，斜率为，
则，解得或或，
当时，直线l为；
当时，直线l为，即；
当时，直线l为，即；
综上：直线l的方程为或或.
故答案为：（答案不唯一）.
6．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知圆关于直线对称，圆，请写出一条与圆都相切的直线方程：_____________. (写一条即可)
【答案】(或或，答案不唯一，写一条即可)
【分析】根据圆与直线对称求得，进而判断两圆外切，从而确定公切线有三条.根据直线与圆相切的几何条件建立方程从而可解.
【详解】因为圆关于直线对称，
故圆心在直线上，得，解得，
故圆，圆心半径
而圆的圆心，半径
所以两圆的圆心距为
所以两圆外切，公切线有三条.
显然公切线的斜率存在，设方程为，
于是有：
两式相除得：或，
当时，得，
代入可解得或；
当时，，
代入可解得，
所以三条公切线方程分别为：
，.
故答案为：(或或，答案不唯一，写一条即可)
7．（2023·全国·校联考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： _________．
①的周期为2；②在上为减函数；③的值域为．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据三角函数的周期、单调性和值域的有关知识即可求解.
【详解】不妨设，
由的周期为2可得，当时，，
不妨令，则，
要使在上为减函数，且的值域为，
则有，解得，
所以，
故答案为：（答案不唯一）.
8．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知，写出满足条件①②的一个的值__________.
①；②.
【答案】或11.（答案不唯一）
【分析】令，得到，再由求解.
【详解】解：令，得，
，
由条件②知.
又的值可以为或11.（答案不唯一）
故答案为：或11.（答案不唯一）
9．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，，请写出一个符合条件的函数的解析式为___________.
【答案】
【分析】由题知，，，故根据函数趋势可设该函数为指数型函数，（且），进而利用，待定系数并检验即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以，，，
所以根据增长情况，可设该函数为指数型函数，（且），
所以由，解得，检验满足，.
故答案为：
10．（2022秋·山东临沂·高三校考期中）写出一个同时具有下列性质①②的函数___________.①；② 是偶函数.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】求出的周期为，再写出一个符合题意的函数即可求解.
【详解】由可得，，
所以周期为，
如函数满足周期为，且是偶函数，
所以，符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
11．（2022·辽宁丹东·统考模拟预测）写出一个通项公式______，使你写出的数列具有性质①②：
①；②为递减数列．
【答案】（答案不唯一）
【分析】求出当数列为等比数列时需满足的条件即可.
【详解】当数列为等比数列时，，，，
因为，所以，所以，
因为，所以，
因为为递减数列，所以当时符合题意，
可取，此时
故答案为：（答案不唯一）
12．（2022秋·江苏南京·高三南京市秦淮中学校联考阶段练习）已知函数是偶函数，且最小正周期为，则______（写出符合的一个答案即可）.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据三角函数的性质即可得到答案
【详解】从三角函数入手，由于函数是偶函数，则可考虑余弦型函数，可设，
因为函数的最小正周期为，所以解得，
故，
故答案为：（答案不唯一）
13．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）定义在R上的函数满足以下两个性质：①，②，满足①②的一个函数是______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】由性质①易知其奇偶性，再由性质②可知其对称性，由此构造满足的函数.
【详解】因为，所以是在R上的偶函数，由此可联想到余弦型函数；
又因为，所以关于点对称，
而由得，故关于点对称，
令，可得，故满足题意，
所以.
故答案为：（答案不唯一）.
14．（2022秋·浙江杭州·高三统考期中）已知圆上恰有2个点到直线距离为2，当r为正整数时，写出一个可能的r的值为_____________．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】计算圆心到直线的距离，由条件确定半径的大小.
【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，圆的半径为，所以圆心到直线的距离，
由圆上恰有2个点到直线距离为2，可得，所以，又r为正整数，所以r的值为4或5或6，
故答案为：4(答案不唯一).
15．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）请写出一个圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程：______．
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据题意得到圆心与半径之间的关系，再给圆心赋值即可得到一个满足题意的圆方程．
【详解】解：设圆心为，
当半径为时，与直线相切，
令，则满足条件，
∴圆的方程为．
故答案为：．(答案不唯一)
16．（2022秋·江苏南通·高三海安高级中学期中）已知函数的最小值为0，且，则图象的一个对称中心的坐标为______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由二倍角公式化简，根据三角函数性质列式得，再求对称中心坐标，
【详解】由题意得，
最小值为，则，
，而，
而，故，，，
由得，，
故图象的对称中心为，
故答案为：（答案不唯一）
17．（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则满足图象的一个解析式为______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】设函数解析式为，根据函数得最值可求得，再根据函数的对称性结合图象可得函数的最小正周期，从而可求得，再利用待定系数法求得即可.
【详解】解：设函数解析式为，
由图可知，解得，
，故，所以，
则，
由，
得，所以，可取，
所以满足图象的一个解析式可以为.
故答案为：.（答案不唯一）
18．（2022秋·辽宁抚顺·高三校联考阶段练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________.
①为奇函数；②为偶函数；③在上的值域为.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据①②可知是周期为4的周期函数，可根据三角函数的周期关系写出符合题意的函数形式.
【详解】由②可知，由此可知，，
故是周期为4的奇函数，是周期为4的偶函数，
因此不妨假设，则，
由③可知或均可.
故答案为：（答案不唯一）
19．（2022秋·江苏常州·高三校考期中）已知函数的最小值为0，且，则图象的一个对称中心的坐标为________．
【答案】(答案不唯一)
【分析】由二倍角公式化简，根据三角函数性质结合条件列式得，再求对称中心坐标.
【详解】由题意得，
所以最小值为，则，
故，
而，
即，，
所以，又，，
故，，
由，得，，
故图象的对称中心为.
故答案为：（答案不唯一）
20．（2022秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数：______.
①为奇函数；②为偶函数；③在上的最大值为2.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的三条性质，考虑选用三角函数可得答案.
【详解】分析函数的三条性质，可考虑三角函数，
因为为奇函数，在上的最大值为2，
所以函数的解析式可以为.
对于①，，因为，所以为奇函数，符合；
对于②，，因为，所以为偶函数，符合；
对于③，的最大值为，符合.
故答案为：（答案不唯一）
21．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数，试举出一个的值，使得成立，则可以为__________．（写出一个即可）
【答案】-1或7
【分析】根据给出的分段函数自变量的范围,分情况讨论计算即可.
【详解】因为函数,
可得当时,,
当时,
当且时,
与矛盾,不合题意;
当且时,
, 则
当时,则,
则,则.
故答案为:-1或7.
22．（2022秋·江苏徐州·高三期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式为__________.
①不是常数函数；②；③.
【答案】（答案不唯一）
【分析】首先理解条件中的性质，再写出满足条件的函数.
【详解】因为，即，所以函数是偶函数，
因为，所以函数关于对称，且函数不是常函数，所以满足条件的函数.
故答案为：（答案不唯一）
23．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考期末）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______.
【答案】（答案不唯一，写其它三条均可）
【分析】先判断两圆的位置关系，可设公切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为，即，
则有，
解得或或或
所以公切线方程为或或或，
即或或或.
故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可）
24．（2023秋·广东清远·高三统考期末）已知P为双曲线C：上异于顶点，的任意一点，直线，的斜率分别为，，写出满足C的焦距小于8且的C的一个标准方程：_________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】首先设点，，，根据条件转化为关于的不等式组，再写出满足条件的一个标准方程.
【详解】设，，，
，
所以，取，则，，
所以满足条件的双曲线的标准方程是.
故答案为：（答案不唯一）
25．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）写出一个同时满足下列三个性质的函数______.
①是奇函数；②在单调递增；③有且仅有3个零点.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据奇函数图像关于原点对称，若函数有且仅有3个零点则原点两侧各有一个，再保证单调递增即可写出解析式.
【详解】由是奇函数，不妨取，且函数图象关于原点对称；
又有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，
若保证在单调递增，显然满足.
故答案为：（答案不唯一）
26．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前n项积当且仅当时取最大值，则______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据等差数列的前项和公式，指数函数及二次函数的性质求解即得.
【详解】对于，其前项积为，
令，，由二次函数的性质可知，当且仅当时取到最小值，
又函数单调递减，所以当且仅当时取到最大值，
所以满足题意.
故答案为： （答案不唯一）
27．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）经过坐标原点的圆与圆相外切，则圆的标准方程可以是__________写出一个满足题意的方程即可
【答案】．（答案不唯一）
【分析】根据题意易知圆过坐标原点，圆与圆的切点即为坐标原点，则圆的圆心在直线上，且其圆心在第一象限，可设圆的圆心坐标为，则可求得圆的半径，再根据圆的标准方程，即可求得结果．
【详解】设经过坐标原点的圆圆心为，半径为，则圆方程：，
圆经过原点，则，即，
圆：可化为，
则圆圆心为，半径，
显然圆经过坐标原点，
由题意，圆与圆相外切，
则圆与圆的切点即为坐标原点，则圆的圆心在直线上，且圆心在第一象限，
所以，可令，
则圆的圆心为，
则点到圆圆心的距离，
即，
则，
则圆方程：，
故答案为：
28．（2023·山西·统考一模）写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式______.
①；②；③在上单调递增.
【答案】（答案不唯一，满足条件即可）
【分析】根据题意得图像关于直线对称，点对称，进而结合三角函数性质和条件③求解即可.
【详解】解：由①可知，函数图像关于直线对称；
由②可知函数图像关于点对称；
所以，，即，
所以，即函数的周期为，
故考虑余弦型函数，不妨令，
所以，，即，满足性质①②，
由③在上单调递增可得，
故不妨取，即，此时满足已知三个条件.
故答案为：
29．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知数列的前4项为1，0，1，2，写出数列的一个通项公式，______．
【答案】.（答案不唯一）
【分析】令数列首项为1，后3项为首项为0，公差为1的等差数列即可.
【详解】由题，，注意到数列从第二项起，后一项与前一项的差为1，又.
则时，.故数列的一个通项公式为：.
故答案为：.（答案不唯一）
30．（2023·山东青岛·统考一模）已知，，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______．
【答案】
【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解.
【详解】根据题意可得：，，
设，
因为向量，且与的夹角为钝角，
所以
所以，
不妨令
所以
，
故答案为：.