贵州省六校联盟2024届高三下学期高考实用性联考(三)(三模)数学试卷(Word版附解析)
展开注意事项
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效,
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知数列满足且,则( )
A. B. C. D.1
2.设抛物线的焦点为,点为该抛物线上任意一点,若恒成立,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.在某学校的期中考试中,高一、高二、高三年级的参考人数分别为.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本,经计算得高一、高二、高三年级数学成绩的样本平均数分别为,则全校学生数学成绩的总样本平均数为( )
A.92 B.91 C.90 D.89
4.已知是不同的两条直线,是不重合的两个平面,则下列命题中,真命题为( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
5.2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(决赛)于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行,赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影,若两名老师之间至少有一名同学,则不同的站法有( )种.
A.48 B.64 C.72 D.120
6.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设为整数,若和被除得的余数相同,则称和对模同余,记为.若,则的值可以是( )
A.2018 B.2020 C.2022 D.2024
7.过点的直线与国相交于不同的两点,则线段的动点的轨迹是( )
A.一个半径为10的圆的一部分
B.一个焦距为10的椭圆的一部分
C.一条过原点的线段
D.一个半径为5的圆的一部分
8.已知椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线与椭圆交于两点,若,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分)
9.已知是复数,下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数,其中,对于任意,有,则( )
A.
B.函数的图象关于点对称
C.函数在上单调递增
D.函数在上共有6个极值点
11.已知定义域为的函数满足为的导函数,且,则( )
A.
B.为奇函数
C.
D.设,则
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知集合,若,则实数的取值范围为__________.
13.已知一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,其顶点为,底面圆心为,点是线段上的一点,是底面内接正三角形,且平面,则__________;三棱锥的外接球的表面积是__________.
14.以表示数集中最大(小)的数.设,已知1,则__________.
四、解答题(其77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
已知函数的图象经过点,且是的极值点.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调区间和最值.
16.(本小题满分15分)
“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称.在2023年火爆“出圈”后,“村超”热度不减.2024年1月6日,万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕,一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”.为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度,某组织进行了一次抽样调查,分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本,每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价.设事件“游客对“村超”满意”,事件“游客年龄不超过35周岁”,据统计,,.
(1)根据已知条件,填写下列列联表并说明理由;
(2)由(1)中列联表数据,依据小概率值的独立性检验,能否认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联?
附:.
17.(本小题满分15分)
如图,在正四校锥中,,已知,,其中分别为的中点.
(1)证明:;
(2)求二面角的正弦值.
18.(本小题满分17分)
已知双曲线,过点的直线与双曲线相交于两点.
(1)点能否是线段的中点?请说明理由;
(2)若点都在双曲线的右支上,直线与轴交于点,设,求的取值范围.
19.(本小题满分17分)
差分密码分析(Differential Cryptanalysis)是一种密码分析方法,旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分,来推断出密码算法的密钥信息.对于数列,规定为数列的一阶差分数列,其中;规定为的二阶差分数列,其中.如果的一阶差分数列满足,则称是“绝对差异数列”;如果的二阶差分数列满足,则称是“累差不变数列”.
(1)设数列,判断数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”,请说明理由;
(2)设数列的通项公式,分别判断是否为等差数列,请说明理由;
(3)设各项均为正数的数列为“累差不变数列”,其前项和为,且对,都有,对满足的任意正整数都有,且不等式恒成立,求实数的最大值.
2024届贵州省六校联盟高考实用性联考卷(三)
数学参考答案
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
【解析】
1.由题为等比数列,,由,解得,所以,故选A.
2.设,,由,所以,得,故B正确,故选B.
3.总样本平均数为,故选C.
4.由线面平行、线面垂直、面面平行的判定定理易得,故选B.
5.因为5人站成一排的站法有种,且两名老师之间没有学生的站法有种,所以两名老师之间至少有一名同学的不同站法有种,故选C.
6.由题意,,所以被9除得的余数为8,而2024被9除得的余数是8,故选D.
7.始终有,所以在以为直径的圆上,因为,所以半径为5,故选D.
8.由,不妨设,则,,由椭圆定义得,则有,因此,即点为椭圆的上顶点或下顶点,如图1,显然,则,所以为等腰直角三角形,所以椭圆离心率为正确,故选A.
图1
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分)
【解析】
9.设,,则,,对于A,,,,因此,故A正确;对于B,,,因此,例如当,,,,因此,故B错误;对于C,,,,因此,故C正确;对于D,,,,因此,故D正确,故选ACD.
10.由,即的图象关于直线对称,从而,即,,所以,又,所以,故A正确;因为,所以函数的图象不关于点对称,故B错误;当时,,故函数在上单调递减,故C错误;令,,得,,令,得,故,易知函数在,,,上单调递增,在,,上单调递减,故函数在上共有6个极值点,故D正确,故选AD.
11.由题意定义域为的函数满足,令,则,,所以A正确;令,则,即,∴,故为奇函数,B正确;由于,故,即,则为偶函数,由可得,由,令得,故,令,则,,C错误;由于,所以,由累加法得,所以,D正确,故选ABD.
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
【解析】
12.由题可得,,由,得,∴且,即.
13.由圆锥的轴截面是边长为2的正三角形知底面圆直径为2,在中,由正弦定理得:,∴.由点在线段上且平面,∴且,∴,∴,设三棱锥的外接球半径,∴,∴三棱锥的外接球的表面积为.
14.由,得,设,则,,,由,所以,当且仅当时取等号.
四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
解:(1)由题:因为,,……………………………………(1分)
所以经验证,符合题意.…………………………(3分)
又,………………………………………………(5分)
所以.…………………………………………………………(6分)
(2)因为,令,解得.……………………………………(7分)
当变化时,,的变化情况如下表:
…………………………………………………………………………………………(10分)
所以当时,有最小值,且,…………………………………………(12分)
无最大值.………………………………………………………………………………(13分)
16.(本小题满分15分)
解:(1)由题意,因为,,
所以对“村超”满意且年龄不超过35周岁的游客人数为人,
对“村超”满意的游客人数为人.…………………………………………(4分)
所以填写列联表为:
……………………………………………………………………………………(7分)
(2)零假设为:游客对“村超”的满意度与年龄无关联.……………………(9分)
则由.…………………(13分)
依据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立,可以认为成立,即游客对“村超”的满意度与年龄无关联.
17.(本小题满分15分)
(1)证明:在正四棱锥中,四边形是正方形,连接,,如图2,
图2
∵为中点,∴,,…………………………………………(1分)
∵,,,
则,,………………………………………………………………(3分)
故四边形为平行四边形,所以,……………………………………(4分)
同理,,……………………………………………………………………(5分)
∴.………………………………………………………………………(6分)
(2)解:由题意可知,平面,,,故以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,如图3.
图3
……………………………………………………………………………………(7分)
∵,,,,
∴,
又∵,
∴,,
,,
,,.…………………………………………(9分)
设向量,则;……(11分)
设向量,则;…………(13分)
设二面角为,,.………………(15分)
18.(本小题满分17分)
解:(1)易知直线的斜率存在,可设,,,
联立方程,…………(3分)
假设是线段中点,则解得,……………………(5分)
则当时,上述方程化为,此时方程无解,
这与直线与双曲线相交于,两点矛盾,
故不存在点是线段的中点.……………………………………………………(7分)
(2)由题意知,
由(1)式知方程有两个不同的正根,,
则…………………………(9分)
即.…………………………………………………………(11分)
由,.
令,则,(其中,……………………(12分)
将点坐标代入双曲线中,整理得,
同理可得,
故,为关于的二次方程的两实根,
由韦达定理得,,…………………………………………(14分)
所以,…………………………………………(15分)
令,易知在上单调递减,且,………………(16分)
∴,
即的取值范围为.………………………………………………(17分)
19.(本小题满分17分)
解:(1)对于数列:1,3,7,9,13,15;
可得:一阶差分数列为2,4,2,4,2,不满足,所以不是“绝对差异数列”;…………(2分)
二阶差分数列为,,2,,满足,所以是“累差不变数列”.……………………(4分)
(2)∵,∴,∴,
∵,∴是首项为7,公差为4的等差数列,………………………………………(6分)
∵,
∴是首项为4,公差为0的等差数列.…………………………………………………(8分)
(3)由题意得,对,都有,
所以,………………………………………………………………………………(9分)
∴,
∴,∴是等差数列,…………………………………………(10分)
设的公差为,则,
当时,,与矛盾.……………………………………………………(11分)
当,时,,与数列的各项均为正数矛盾,故,…………(12分)
由等差数列前项和公式可得,
∴,
,
∵,,
∴,
则当时,不等式恒成立,…………………………………………(14分)
另一方面,当时,令,,
则,
,
则
,
∵,,
∴当时,,即有,与恒成立矛盾.……(16分)
综上所述,的最大值为2.……………………………………………………………………(17分)年龄
满意度
合计
满意
不满意
年龄不超过35周岁
年龄超过35周岁
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
B
C
D
D
A
题号
9
10
11
答案
ACD
AD
ABD
题号
12
13
14
答案
;(第一空2分,第二空3分)
0
-
0
+
单调递减
0
单调递增
年龄
满意度
合计
满意
不满意
年龄不超过35周岁
160
40
200
年龄超过35周岁
140
60
200
合计
300
100
400
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