贵州省六校联盟2024届高考实用性联考（三）数学试题

这是一份贵州省六校联盟2024届高考实用性联考（三）数学试题，共14页。试卷主要包含了已知是复数，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效，
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知数列满足且，则（ ）
A. B. C. D.1
2.设抛物线的焦点为，点为该抛物线上任意一点，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（ ）
A.92 B.91 C.90 D.89
4.已知是不同的两条直线，是不重合的两个平面，则下列命题中，真命题为（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
5.2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有（ ）种.
A.48 B.64 C.72 D.120
6.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，则的值可以是（ ）
A.2018 B.2020 C.2022 D.2024
7.过点的直线与国相交于不同的两点，则线段的动点的轨迹是（ ）
A.一个半径为10的圆的一部分
B.一个焦距为10的椭圆的一部分
C.一条过原点的线段
D.一个半径为5的圆的一部分
8.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9.已知是复数，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，其中，对于任意，有，则（ ）
A.
B.函数的图象关于点对称
C.函数在上单调递增
D.函数在上共有6个极值点
11.已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A.
B.为奇函数
C.
D.设，则
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知集合，若，则实数的取值范围为__________.
13.已知一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，其顶点为，底面圆心为，点是线段上的一点，是底面内接正三角形，且平面，则__________；三棱锥的外接球的表面积是__________.
14.以表示数集中最大（小）的数.设，已知1，则__________.
四､解答题（其77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知函数的图象经过点，且是的极值点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间和最值.
16.（本小题满分15分）
“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称.在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减.2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”.为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价.设事件“游客对“村超”满意”，事件“游客年龄不超过35周岁”，据统计，，.
（1）根据已知条件，填写下列列联表并说明理由；
（2）由（1）中列联表数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联？
附：.
17.（本小题满分15分）
如图，在正四校锥中，，已知，，其中分别为的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于两点.
（1）点能否是线段的中点？请说明理由；
（2）若点都在双曲线的右支上，直线与轴交于点，设，求的取值范围.
19.（本小题满分17分）
差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；规定为的二阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”；如果的二阶差分数列满足，则称是“累差不变数列”.
（1）设数列，判断数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；
（2）设数列的通项公式，分别判断是否为等差数列，请说明理由；
（3）设各项均为正数的数列为“累差不变数列”，其前项和为，且对，都有，对满足的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值.
2024届贵州省六校联盟高考实用性联考卷（三）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【解析】
1.由题为等比数列，，由，解得，所以，故选A.
2.设，，由，所以，得，故B正确，故选B.
3.总样本平均数为，故选C.
4.由线面平行、线面垂直、面面平行的判定定理易得，故选B.
5.因为5人站成一排的站法有种，且两名老师之间没有学生的站法有种，所以两名老师之间至少有一名同学的不同站法有种，故选C.
6.由题意，，所以被9除得的余数为8，而2024被9除得的余数是8，故选D.
7.始终有，所以在以为直径的圆上，因为，所以半径为5，故选D.
8.由，不妨设，则，，由椭圆定义得，则有，因此，即点为椭圆的上顶点或下顶点，如图1，显然，则，所以为等腰直角三角形，所以椭圆离心率为正确，故选A.
图1
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9.设，，则，，对于A，，，，因此，故A正确；对于B，，，因此，例如当，，，，因此，故B错误；对于C，，，，因此，故C正确；对于D，，，，因此，故D正确，故选ACD.
10.由，即的图象关于直线对称，从而，即，，所以，又，所以，故A正确；因为，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；当时，，故函数在上单调递减，故C错误；令，，得，，令，得，故，易知函数在，，，上单调递增，在，，上单调递减，故函数在上共有6个极值点，故D正确，故选AD.
11.由题意定义域为的函数满足，令，则，，所以A正确；令，则，即，∴，故为奇函数，B正确；由于，故，即，则为偶函数，由可得，由，令得，故，令，则，，C错误；由于，所以，由累加法得，所以，D正确，故选ABD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12.由题可得，，由，得，∴且，即.
13.由圆锥的轴截面是边长为2的正三角形知底面圆直径为2，在中，由正弦定理得：，∴.由点在线段上且平面，∴且，∴，∴，设三棱锥的外接球半径，∴，∴三棱锥的外接球的表面积为.
14.由，得，设，则，，，由，所以，当且仅当时取等号.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1）由题：因为，，……………………………………（1分）
所以经验证，符合题意.…………………………（3分）
又，………………………………………………（5分）
所以.…………………………………………………………（6分）
（2）因为，令，解得.……………………………………（7分）
当变化时，，的变化情况如下表：
…………………………………………………………………………………………（10分）
所以当时，有最小值，且，…………………………………………（12分）
无最大值.………………………………………………………………………………（13分）
16.（本小题满分15分）
解：（1）由题意，因为，，
所以对“村超”满意且年龄不超过35周岁的游客人数为人，
对“村超”满意的游客人数为人.…………………………………………（4分）
所以填写列联表为：
……………………………………………………………………………………（7分）
（2）零假设为：游客对“村超”的满意度与年龄无关联.……………………（9分）
则由.…………………（13分）
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，可以认为成立，即游客对“村超”的满意度与年龄无关联.
17.（本小题满分15分）
（1）证明：在正四棱锥中，四边形是正方形，连接，，如图2，
图2
∵为中点，∴，，…………………………………………（1分）
∵，，，
则，，………………………………………………………………（3分）
故四边形为平行四边形，所以，……………………………………（4分）
同理，，……………………………………………………………………（5分）
∴.………………………………………………………………………（6分）
（2）解：由题意可知，平面，，，故以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图3.
图3
……………………………………………………………………………………（7分）
∵，，，，
∴，
又∵，
∴，，
，，
，，.…………………………………………（9分）
设向量，则；……（11分）
设向量，则；…………（13分）
设二面角为，，.………………（15分）
18.（本小题满分17分）
解：（1）易知直线的斜率存在，可设，，，
联立方程，…………（3分）
假设是线段中点，则解得，……………………（5分）
则当时，上述方程化为，此时方程无解，
这与直线与双曲线相交于，两点矛盾，
故不存在点是线段的中点.……………………………………………………（7分）
（2）由题意知，
由（1）式知方程有两个不同的正根，，
则…………………………（9分）
即.…………………………………………………………（11分）
由，.
令，则，（其中，……………………（12分）
将点坐标代入双曲线中，整理得，
同理可得，
故，为关于的二次方程的两实根，
由韦达定理得，，…………………………………………（14分）
所以，…………………………………………（15分）
令，易知在上单调递减，且，………………（16分）
∴，
即的取值范围为.………………………………………………（17分）
19.（本小题满分17分）
解：（1）对于数列：1，3，7，9，13，15；
可得：一阶差分数列为2，4，2，4，2，不满足，所以不是“绝对差异数列”；…………（2分）
二阶差分数列为，，2，，满足，所以是“累差不变数列”.……………………（4分）
（2）∵，∴，∴，
∵，∴是首项为7，公差为4的等差数列，………………………………………（6分）
∵，
∴是首项为4，公差为0的等差数列.…………………………………………………（8分）
（3）由题意得，对，都有，
所以，………………………………………………………………………………（9分）
∴，
∴，∴是等差数列，…………………………………………（10分）
设的公差为，则，
当时，，与矛盾.……………………………………………………（11分）
当，时，，与数列的各项均为正数矛盾，故，…………（12分）
由等差数列前项和公式可得，
∴，
，
∵，，
∴，
则当时，不等式恒成立，…………………………………………（14分）
另一方面，当时，令，，
则，
，
则
，
∵，，
∴当时，，即有，与恒成立矛盾.……（16分）
综上所述，的最大值为2.……………………………………………………………………（17分）年龄
满意度
合计
满意
不满意
年龄不超过35周岁
年龄超过35周岁
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
B
C
D
D
A
题号
9
10
11
答案
ACD
AD
ABD
题号
12
13
14
答案
；（第一空2分，第二空3分）
0
-
0
+
单调递减
0
单调递增
年龄
满意度
合计
满意
不满意
年龄不超过35周岁
160
40
200
年龄超过35周岁
140
60
200
合计
300
100
400