上海市松江二中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

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2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.抛物线的焦点坐标为______.
【答案】
【解析】抛物线的焦点坐标为：
2.的展开式中的系数为______.
【答案】40
【解析】展开式的通项公式为，
由得，得，
则，即的系数为40
3.已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为______.
【答案】
【解析】因为圆柱的底面积为，即，
所以，
所以
4.已知圆与圆内切，则______.
【答案】
【解析】与圆内切，
圆心分别为，，半径，，
因为两圆内切，所以，
解得．
5.以下数据为某校参加数学竞赛的19人的成绩：66，75，77，69，78，70，72，86，88，79，80，81，94，82，98，83，90，91，则这19人成绩的第80百分位数是______.
【答案】90
【解析】由题意知，则是第16位数，即为90.
6.已知直线与圆相交于，两点，且，则实数______.
【答案】
【解析】根据题意，圆，即，其圆心为，半径，
若，则圆心到直线即的距离，
又由圆心到直线的距离，则有，
解可得：；
7.已知双曲线与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线的方程为______.
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，即，
设所求双曲线方程为，又其过，
，
所求双曲线方程为，即
8.已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值______.
【答案】5
【解析】抛物线的准线方程为，则的最小值为到准线的距离，即为5
9.已知、分别为椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使△为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是______.
【答案】
【解析】由已知，，得的中点的坐标为，，
，，
，，
，
，
，
10.甲口袋中装有3个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入对方口袋，共进行了2次这样的操作后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为______.
【答案】
【解析】由题意知若第一次操作甲乙交换的是白球，则第二次交换甲袋中必须交换黑球，
此时甲口袋中有2个黑球，概率为；
若第一次操作甲交换的是黑球，则第二次交换甲乙袋中必须交换白球，
此时甲口袋中有2个黑球，概率为，
故甲口袋中恰有2个黑球的概率为
11.已知点满足方程，则使得恒成立的实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】当，时，曲线表示椭圆 第一象限部分；
当，时，表示双曲线 第四象限部分；
当，时，表示双曲线 第二象限部分；
当，时， 不表示任何图形，
以及， 两点，
作出大致图象如图所示：
曲线上的点到的距离，
根据双曲线的方程可得第二、四象限双曲线的渐近线方程都是，且与的距离为2，
曲线第二、四象限上的点到的距离为小于且无限接近2，
设曲线的一象阻的任意点为，到的距离为，当时，取等号，
所以
则的取值范围为
12.已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则______.
【答案】1
【解析】如图，设圆与的延长线、的延长线和线段分别切于点，连接，
则，，，
由双曲线方程为，可得，
又为右支上的一动点，，
又，
，
由题意可知，
又，
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于曲线，
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，充分性成立；
若曲线的焦点在轴上，则且，不能推出，必要性不成立．
因此，“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件．
故选：．
14.在梯形中，，，．将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知旋转后的几何体如图：
将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
圆柱的体积减去圆锥的体积：．
故选：．
15.如图，已知线段上有一动点异于、，线段，且满足是大于0且不等于1的常数），则点的运动轨迹为
A．圆的一部分B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
【答案】B
【解析】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设中点为，，，
则，，，
，且满足，
，
，
，
点的运动轨迹为椭圆的一部分．
故选：．
16.设是平面直角坐标系上以 、、为顶点的正三角形. 考虑以下五种平面上的变换: ①绕原点作 的逆时针旋转;②绕原点作的逆时针旋转;③关于直线的对称;④关于直线的对称;⑤关于直线的对称. 任选三种变换 (可以相同) 共有 125 种变换方式, 若要使得 变回起始位置(即点、、分别都在原有位置) ，共有（ ）种变换方式？
A.12 B.16 C.20 D. 24
【答案】C
【解析】要使三角形能回到原来的位置，又能通过一次旋转变换两次对称变换相结合或使用三次旋转变换.
只用旋转变换时，可以通过次①或次②实现，共有两种；
当使用对称与旋转结合时，则不能出现相同对称变换.
若旋转在第一位，可以选①或②，在第二位对称变换可在③、④、⑤任选一种，而前两位一旦确定，第三位就已定下，此时方法有；
若旋转在第二位，则第一位的对称可以在③、④、⑤任选，第二位的旋转可在①、②任选，而前两位一旦确定，第三位就已定下，此时方法有；
若旋转在第三位，则第一位的对称可以在③、④、⑤任选，第二位的对称不能选第一位，而前两位一旦确定，第三位就已定下，此时方法有；
综上，共有种变换方式。
故选C
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在三棱柱中，平面，，为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接交于，连接，
因为侧面为平行四边形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，1，，，2，，，0，，
所以，
设平面的法向量为，则即，
取，则，，所以，
所以到平面的距离为．
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数的最小正周期为．
（1）求的值，并写出的对称轴方程；
（2）在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围
【答案】（1），；（2）
【解析】
（1）
，
，
故，
令，解得，
故对称轴方程为：；
（2）由，得，
可得，
， ， 又 ，
，，
，
，
．
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M﹣N﹣P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．
（1）求道路M﹣N﹣P的曲线方程；
（2）现要在M﹣N﹣上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？
【答案】（1）MN 段
NP 段：
（2）Q的坐标为，此时Q到C的距离最小
【解析】（1）线路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，
则线路MN所在的曲线是以定点A，B 为左右焦点的双曲线的右上支上，
其方程为
又由线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，
则线路NP所在的曲线为以O为圆心，ON为半径的圆，
其方程
故道路 M﹣N﹣P 的曲线方程为 MN 段
NP 段：
（2）当Q在线路 MN 上，设，
又由C（0，4），则，
由（1）得，
则，
分析可得，当y0＝2时，|CQ|有最小值，且，
当Q在线路NP上时，设
又由，则，
又由（1）得，此时，
当y0＝0时，|CQ|有最小值，且，
又由，即|CQ|的最小值为，此时y0＝2，则；
则Q的坐标为，此时Q到C的距离最小．
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点；是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形．
（1）写出椭圆的标准方程；
（2）当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；
（3）设点R满足：，．求证：与的面积之比为定值
【答案】（1）；（2）；（3）4
【解析】（1）由题意知，
（2）由题意，得：直线的方程为
由，得：
故所求圆的圆心为，半径为
所以所求圆的方程为：
（3）设直线的斜率分别为，则直线的方程为．
由直线的方程为．
将代入，得，
因为是椭圆上异于点的点，所以．
所以
由，所以直线的方程为．
由 ，得．
所以．
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知双曲线，点为双曲线上的动点．
（1）求以，为焦点且经过点的椭圆的标准方程；
（2）若直线经过点且与双曲线恰好有一个公共点，求直线的方程；
（3）点在什么位置时，取得最大？求出最大值及点的坐标
【答案】（1）；（2）和；
（3）当或时取得最大为
【解析】
（1），，，
则，，
故，
椭圆以点，为焦点，
故，即椭圆方程为；
（2）显然，直线斜率不存在时与双曲线无公共点；
可设直线，
联立，化简整理可得，，
当，得，当时直线为双曲线的渐近线不符题意舍；
当，
解得；
综上，满足要求的直线有两条，分别为和．
（3）根据对称性，不妨设点在第一象限，，则，
于是，
因为，等号成立时，此时，
根据对称性，当或时取得最大为