2022-2023学年上海市松江二中高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市松江二中高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为__________.

【答案】

【分析】由椭圆的长轴长为10，离心率为，可得，从而得到椭圆的方程.

【详解】设椭圆的标准方程为，

由题意，得，所以，

所以，

所以椭圆的标准方程为.

故答案为：.

2．展开式中的系数为______.

【答案】8

【解析】先求出展开式的通项，再令的指数为3，即可求出.

【详解】的展开式通项为，

令，解得，则的系数为.

故答案为：8.

3．已知函数，则__________.

【答案】

【分析】先求导，然后再求.

【详解】由导数的运算可知，，.

故答案为：

4．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是__________.

【答案】0.8/

【分析】利用条件概率公式求解.

【详解】设小智第一盘获胜为事件，第二盘获胜为事件，则

，

则，

故答案为：0.8

5．已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________.

【答案】

【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值.

【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线，

显然直线的斜率存在，故，即，解得，

故答案为：4

6．函数在上的最小值为__________.

【答案】

【分析】对求导，从而得到在上的单调性，进而求出在上的最小值.

【详解】，由得，由得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

故答案为：.

7．已知函数的图象在点处的切线方程是，则______.

【答案】

【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解.

【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得，

因此，.

故答案为：.

8．已知圆和两点，，若圆上存在点使得，则的最大值为__________．

【答案】6

【详解】圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，

设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），

∵∠APB=90°，∴，

∴=（a+m）（a﹣m）+b2=0，

∴m2=a2+b2=|OP|2，

∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．

故答案为6．

9．函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题：

①是函数的极小值点；

②是函数的最小值点；

③在区间上严格增；

④在处切线的斜率小于零.

以上所有正确命题的序号是__________.

【答案】①③

【分析】观察的图像在左右的符号即可判断①；观察的图像，利用导函数的正负与原函数的单调性的关系可判断②③；利用导数的几何意义即可判断④.

【详解】有图像可知，的左侧导数值为负，右侧为正，故是函数的极小值点；

的左右两侧导数值均为正，故不是函数的最值点；

在区间导数值为正，故在区间上严格增；

，故在处切线的斜率大于零.故正确命题的序号是①③.

故答案为：①③.

10．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是__________.

【答案】/

【分析】设出双曲线右焦点，连接，利用双曲线的定义和中位线进行解题.

【详解】

不妨将点置于第一象限. 设是双曲线的右焦点，连接. 分别为的中点，故.

又由双曲线定义得，

故.

故答案为：

11．已知函数，若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线上，则直线的方程可以是__________（写出满足条件的一个直线方程即可）.

【答案】（答案不唯一，在表示的半平面内的直线均可）

【分析】利用导数法求函数的单调性，结合函数的对称性和函数的单调性即可求解.

【详解】由，得，

故在上为单调增函数，

又，

故的图像关于对称，

所以，代入，

可得，即，可得.

所以满足条件的一条直线方程为，（答案不唯一，在表示的半平面内的直线均可）.

故答案为：（答案不唯一，在表示的半平面内的直线均可）.

12．定义两个点集之间的距离集为，其中表示两点､之间的距离.已知，在平面直角坐标系中，点集，若，则的值为__________.

【答案】

【分析】集合表示以为圆心，半径为1的圆上的点，而圆心在双曲线的右支上，集合表示直线上的点.画出图形可知，当直线与双曲线的渐近线平行且距离为1时，满足条件，从而可解.

【详解】集合表示以为圆心，半径为1的圆上的点，

集合表示直线上的点.

而圆心在双曲线的右支上，又因为，

所以由图像可知，当直线与双曲线的渐近线平行且距离为1时

，满足条件，即.

当时，此时直线在双曲线的渐近线的左上方且距离为1，

，解得；

当时，此时直线在双曲线的渐近线的左下方且距离为1，

，解得.

所以的值为.

故答案为：.

二、单选题

13．“”是“直线和直线平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据两直线平行求出参数a，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】∵直线和直线平行，

∴，解得或，

当，两直线分别为，两直线平行，符合题意；

当，两直线分别为，即为，

两直线重合，不符合题意；

综上所述：.

故“”是“直线和直线平行”的充要条件.

故选：C.

14．数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为（    ）

A．240 B．480 C．360 D．720

【答案】A

【分析】先分组再分配，平均分组注意消序，最后根据分步乘法计数原理，即可得到可能的安排方案的种数.

【详解】解：有四种曲线，要求每位学生只讲述一种曲线，

则5名同学分成2，1，1，1四组，共有种情况，

再将四组学生分配给四种曲线，一共有种情况，

则可能的安排方案的种数为种，

故选：A.

15．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ）

A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解

【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，

所以，

利用点斜式方程可得到直线：，整理为，

所以原点O到直线距离为，

故选:B

16．已知函数的定义域为，其值域，则满足条件的函数的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

【答案】A

【分析】利用导数法求出函数的极值，作出函数的大致图象，结合函数的定义域是值域的子集关系即可求解.

【详解】依题意，，其导数，

令则，解得或，

当时，

当时，

所以在上单调递增，在上单调递减.

当时，取得的极小值为，

当时，取得的极大值为.

若，即，解可得或2，

即函数与的交点为和，

在同一坐标系中作出函数和的图像，如图所示

若函数的定义域为的值域为的子集，则有

，且，

若时，即时，不能满足的值域为的子集，

同理，时，即时，不能满足的值域为的子集，

故只有当月.时，的值域为，满足的值域为的子集，

符合题意；

故这样的函数有且只有一个.

故选：A.

三、解答题

17．已知抛物线是它的焦点.

(1)过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求线段的长；

(2)为抛物线上的动点，点，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意写出直线，然后和抛物线联立，根据韦达定理和抛物线的焦点弦长公式计算；

（2）利用抛物线的定义将折线段转化后进行求解.

【详解】（1）

由题意知，直线的方程为：，

设，联立，整理可得：，

，弦长.

（2）设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知.

所以，要使最小，只需要最小即可.

由在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为.

18．已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上.

(1)求圆C的方程；

(2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，如果，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）计算的垂直平分线，计算交点得到圆心，再计算半径得到答案.

（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案.

【详解】（1），的中点为，故的垂直平分线为，

即，，解得，故圆心为，

半径，故圆方程为.

（2）当直线斜率不存在时，此时，满足条件，直线方程为；

当直线斜率存在时，设直线方程为，即，

，故圆心到直线的距离为，解得，

故直线方程为，即.

综上所述：直线的方程为或.

19．外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识.如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.

（1）求最小直径圆面的面积；

（2）双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）.

【答案】（1）；（2）

【分析】由题设，则有在双曲线上，代入得解双曲线方程，得到最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面得解

（2）求得一条渐近线方程为 ，由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形是平行四边形，求得得解

【详解】

由题设，则有在双曲线上，所以

解得

因为最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面

此时圆面的面积为

（2）由（1）问得：的一条渐近线方程为

如图由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形是平行四边形，所以所求主钢梁的长度即为

【点睛】建立适当坐标系得到双曲线方程，利用直母线与渐近线其中一条平行，得到四边形是平行四边形是解题关键.

20．如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)证明：直线的斜率之积为定值；

(3)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据椭圆和双曲线的标准方程求解即可；

（2）设点，由斜率的定义可知，再将代入双曲线方程即可求解；

（3）利用（2）中结论设直线的方程为，的方程为，分别代入椭圆方程求得即可求解.

【详解】（1）设双曲线的标准方程为，

由题意知，且，所以，

所以双曲线的标准方程为：；

（2）设点，由题可知，

则，

所以，

由点在双曲线上，可知，即有，

所以，故；

（3）由（2）可知，且，

所以可设直线的方程为，

则直线的方程为，

把直线的方程代入椭圆方程，

整理得，

设，则有，

因此

，

把直线的方程代入椭圆方程，

整理得，

设，，则有，，

因此

，

所以又，

所以，

所以，

所以的取值范围为.

【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为，，

（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为形式；

（5）代入韦达定理求解.

21．设函数.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若函数在区间上.是增函数，求实数的取值范围；

(3)若，过坐标原点作曲线的切线，证明：切线有且仅有一条.

【答案】(1)严格增区间为，无减区间

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）代入求导得，根据，可知恒成立，则得到其单调区间；

（2），分和讨论即可；

（3）设切点为，根据函数导数有，写出切线方程并代入原点有，设新函数再次利用导数判断其零点个数即可.

【详解】（1）吋，，

当时，为单调增函数.

在上单调递增，严格增区间为，无减区间.

（2）在区间上是增函数，

对任意恒成立，

当吋，对任意恒成立，符合题意，

当时，若，则

综上，；

（3）设切点为，由题意得，

，

曲线在点处的切线方程为，

又切线过原点，，整理得，

设，

则恒成立，在上单调递增，

又当时，；当时，；

在上有且只有一个零点，

过原点的切线有且仅有一条，

【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是设出切点为，从而得到切线方程，再代入原点坐标化简得，再设新函数，利用导数，极限以及零点存在定理即可判断其零点个数.