2024年重庆市七校联盟高考数学第一次联考试卷（含解析）

这是一份2024年重庆市七校联盟高考数学第一次联考试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足z⋅(1−i)=|1+ 3i|，则z的虚部为( )
A. 1B. iC. −iD. −1
2.在(2x−1x)6的展开式中x2项的系数是( )
A. 240B. −240C. 15D. −15
3.如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则OM=( )
A. 16AB−13AD
B. 13AB−23AD
C. 12AB−12AD
D. 14AB−13AD
4.重庆，我国四大直辖市之一，这里资源丰富，旅游景点也多，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观.现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源4个国家5A级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩.记事件M：甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区，事件N：甲和乙选择的景区不同，则概率P(N|M)=( )
A. 716B. 78C. 37D. 67
5.已知a>0，b>0，两直线l1：(a−1)x+y−1=0，l2：x+2by+1=0且l1⊥l2，则2a+1b的最小值为( )
A. 2B. 4C. 8D. 9
6.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)+g(x−2)=2，f(x−4)−g(x)=4，f(−2)=0，则g(2024)=( )
A. −4B. −2C. 2D. 4
7.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：Fn=22n+1(n=0,1,2,…)是质数.直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5=641×6700417，不是质数.现设an=lg2(Fn−1)，数列{an}的前n项和为Sn，则使不等式22S1S2+23S2S3+…+2n+1SnSn+10)，g(x)=x+b，点P与Q分别在函数y=f(x)与y=g(x)的图象上，若|PQ|的最小值为 2，则b=( )
A. −1B. 3C. −1或3D. 1或3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA=0.97，rB=−0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强
B. 若样本数据x1，x2，…，x6的方差为2，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x6−1的方差为8
C. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
D. 某人解答5个问题，答对题数为X，若X～B(5,0.6)，则E(X)=3
10.已知函数f(x)=|sinx−csx|+sin2x，则下列选项正确的是( )
A. π是函数f(x)的一个周期
B. x=−π4是函数f(x)的一条对称轴
C. 函数f(x)的最大值为54，最小值为 2−1
D. 函数f(x)在[34π,54π]上单调递减
11.设函数f(x)=x3−ax+1(a∈R)，则( )
A. 当a=0时，直线y=1不是曲线y=f(x)的切线
B. 当a=3时，函数y=f(x)有三个零点
C. 若f(x)有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3=0
D. 若曲线y=f(x)上有且仅有四点能构成一个正方形，则a=2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}满足a3=π6，则sin(4a2+4a4)= ______．
13.双曲线C：x2a2−y2b2=1的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为______．
14.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥AB，AC=1，AA1=2，AB=3，点E，F分别是AA1，AB上的动点，当C1E+EF+FB1的长度最小时，三棱锥B1−C1EF外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cs2B2+ 3sinB=3．
(1)求角B的大小；
(2)若b=2 3，D为AC边上的一点，BD=3，且_____，求△ABC的面积．
(从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)．
①BD是∠B的平分线；
②D为线段AC的中点．
16.(本小题15分)
如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长均相等，O，D分别是AB，CC1的中点．
(1)证明：OD/​/平面AC1B1；
(2)若A1O⊥BC，且∠BAA1=60°，求平面A1AC1与平面AC1B1所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机，在投放市场前对100架新能源无人飞机进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值x−(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款新能源无人飞机的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ,σ2)(用样本平均数x−和标准差s分别作为μ和σ的近似值)，现任取一架新能源无人飞机，求它的单次最大续航里程X∈[250,400]的概率；
(参考数据：若随机变量X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ⩽X⩽μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ⩽X⩽μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ⩽X⩽μ+3σ)≈0.9973)
(3)该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越A型、卓越B型和卓越C型，统计分析可知卓越A型、卓越B型和卓越C型的分布比例为3：2：1，研发中心在投放市场前决定分别按卓越A型、卓越B型和卓越C型的分布比例分层随机共抽取6架，然后再从这6架中随机抽取3架进行综合性能测试，记随机变量Y是综合性能测试的3架中卓越A型的架数，求随机变量Y的分布列和数学期望．
18.(本小题17分)
已知实数a∈R，函数f(x)=2lnx−ax2有两个不同的零点x1，x2．
(1)求实数a的取值范围，
(2)设x0是方程lnx+ax−2=0的实根，证明：x01)，MA，MB是E的两条切线，A，B是切点，圆P经过点O，A，B．
①若t>1，求证：∠AOC=∠BOC；
②设圆P在A，B处的切线的交点为N，求证：直线MN过定点．
附：若点(x0,y0)在圆(x−a)2+(y−b)2=r2上，
则圆在点(x0,y0)处的切线方程为(x−a)(x−x0)+(y−b)(y−y0)=r2．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z⋅(1−i)=|1+ 3i|= 12+( 3)2=2，
则z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，其虚部为1．
故选：A．
先化简z，再结合虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：(2x−1x)6展开式的通项为Tr+1=C6r(2x)6−r(−1x)r=(−1)r26−rC6rx6−2r
令6−2r=2得r=2
故展开式的x2项的系数是24C62=240
故选：A．
利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2项的系数．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
3.【答案】A
【解析】解：因为ABCD为平行四边形，故AB//CD，故易知△AOM∽△COD，
故可得DOOM=DCAM=2，
故OM=13DM=13(DA+AM)=13(−AD+12AB)=16AB−13AD，
故选：A．
首先由三角形AOM与三角形DOC相似可得DO=2OM，从而可得OM=13DM，再利用三角形法则转化即可．
本题主要考查平面向量基本定理的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区对应的基本事件有4×4−3×3=7个，
甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区的条件下，甲和乙选择的景点不同对应的基本事件有7−1=6个，
P(N|M)=67．
故选：D．
分别求出事件M，事件N对应基本事件的个数，再结合条件概率公式即可解得．
本题考查条件概率的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【解答】
解：∵a>0，b>0，两直线l1：(a−1)x+y−1=0，l2：x+2by+1=0，且l1⊥l2，
∴(a−1)+2b=0，即a+2b=1≥2 2ab
∴ab≤18，1ab≥8，当且仅当a=2b=12时，等号成立．
则2a+1b=2b+aab=1ab的最小值为8，
故选：C．
【分析】
由题意利用两条直线垂直的性质，求得a+2b=1，再利用基本不等式的，求得1ab的最小值．
本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为f(x)+g(x−2)=2，f(−2)=0，
所以令x=−2，得f(−2)+g(−4)=2，
所以g(−4)=2，
以x−4代x得，f(x−4)+g(x−6)=2，
因为f(x−4)−g(x)=4，
所以g(x)+g(x−6)=−2，以x−6代x得，g(x−6)+g(x−12)=−2，
所以g(x)=g(x−12)，
所以g(x)是以6为周期的周期函数，
所以g(2024)=g(12×169−4)=g(−4)=2．
故选：C．
结合已知，利用赋值法求得g(−4)=2，求出函数g(x)的周期为12，即可求出结果．
本题考查赋值法求解抽象函数问题，属中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意，an=lg2(Fn−1)
=lg2(22n+1−1)
=2n，
则Sn=a1+a2+…+an
=21+22+…+2n
=21−2n+11−2
=2⋅(2n−1)，
∴2n+1SnSn+1=2n+14⋅(2n−1)(2n+1−1)
=2n−1(2n−1)(2n+1−1)
=12⋅(12n−1−12n+1−1)，
∴22S1S2+23S2S3+…+2n+1SnSn+1
=12⋅(121−1−122−1)+12⋅(122−1−123−1)+…+12⋅(12n−1−12n+1−1)
=12⋅(121−1−122−1+122−1−123−1+…+12n−1−12n+1−1)
=12⋅(121−1−12n+1−1)
=12⋅(1−12n+1−1)，
故不等式22S1S2+23S2S3+…+2n+1SnSn+10时，令f′(x)>0，则0