中考数学一轮复习满分突破考点题型专练专题31 平移与旋转（2份打包，原卷版+解析版）

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【知识要点】
平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换。
平移的性质：1）平移前后的两个图形形状和大小完全相同，对应角相等，对应边相等， 平移前后两个图形的周长和面积相等。
2）对应线段（或对应边）平行(或在同一直线上)且相等。
3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点 SKIPIF 1 < 0 转动一个角度，叫作图形的旋转。
【补充说明】如图所示， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 绕定点O逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到的，其中点A与点A’叫作对应点，线段OB与线段 SKIPIF 1 < 0 叫作对应线段， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 叫作对应角，点 SKIPIF 1 < 0 叫作旋转中心， SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）的度数叫作旋转的角度。
【注意】
1)图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.
2)旋转中心可以在图形内，也可以是图形外。
【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角。
旋转的特征：1）对应点到旋转中心的距离相等（例：OA与OA’）；
2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(∠AOA’=∠BOB’=45°)；
3）旋转前后的两个图形全等（△ABO≌△A’B’O）。
旋转作图的步骤方法：
1)确定旋转中心、旋转方向、旋转角；
2）找出图形上的关键点；
3）连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；
4）按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形。
平移、旋转、轴对称之间的关系：
考查题型一 图形的平移
典例1．（2022·广西·统考中考真题）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
变式1-1．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，△ABC沿BC方向平移后的得到△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式1-2．（2021·浙江绍兴·统考中考真题）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（ ）
A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形
B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形
C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形
D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形
变式1-4．（2019·四川乐山·统考中考真题）下列四个图形中，可以由图 SKIPIF 1 < 0 通过平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
考查题型二 利用平移的性质求解
典例2．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形 SKIPIF 1 < 0 ，形成一个“方胜”图案，则点D， SKIPIF 1 < 0 之间的距离为（ ）
A．1cmB．2cmC．( SKIPIF 1 < 0 －1)cmD．(2 SKIPIF 1 < 0 －1)cm
变式2-1．（2022·福建·统考中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 对应直尺的刻度为0，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积是（ ）
A．96B． SKIPIF 1 < 0 C．192D． SKIPIF 1 < 0
变式2-2．（2021·四川雅安·统考中考真题）如图，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 边向右平移得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G．若 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
变式2-3．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝ SKIPIF 1 < 0 AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 _____．
变式2-4．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，将 SKIPIF 1 < 0 沿着 SKIPIF 1 < 0 方向平移得到 SKIPIF 1 < 0 ，只需添加一个条件即可证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）
变式2-5．（2022·河南·统考中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点 SKIPIF 1 < 0 处，得到扇形 SKIPIF 1 < 0 ．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______．
变式2-6．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______ SKIPIF 1 < 0 ．
变式2-7．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．把 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 方向平移 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的周长为_____ SKIPIF 1 < 0 ．
考查题型三 平移（作图）
典例3．（2022·陕西·统考中考真题）如图，的顶点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 平移后得到 SKIPIF 1 < 0 ，且点A的对应点是 SKIPIF 1 < 0 ，点B、C的对应点分别是 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)点A、 SKIPIF 1 < 0 之间的距离是__________；
(2)请在图中画出．
变式3-1．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．
(2)在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转 SKIPIF 1 < 0 后的图形．
考查题型四 平移的坐标变化规律
典例4．（2021·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系中，把点 SKIPIF 1 < 0 向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式4-1．（2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 向右平移4个单位长度，得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，点A的对应点C的坐标是_______．
变式4-2．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________．
变式4-3．（2021·山东淄博·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 向左平移3个单位得到点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的坐标为__________．
变式4-4．（2021·湖北·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点 SKIPIF 1 < 0 ；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点 SKIPIF 1 < 0 ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点 SKIPIF 1 < 0 ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点 SKIPIF 1 < 0 ，…，按此作法进行下去，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为___________．
考查题型五 利用旋转的性质求解
典例5．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点C顺时针旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，其中点 SKIPIF 1 < 0 与点A是对应点，点 SKIPIF 1 < 0 与点B是对应点．若点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在 SKIPIF 1 < 0 边上，则点A到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．2
变式5-1．（2022·宁夏·中考真题）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，边 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______ SKIPIF 1 < 0 ．
变式5-2．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离是______．
变式5-3．（2021·青海·统考中考真题）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为__________．
变式5-4．（2022·山东济南·统考中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
变式5-5．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转至 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 重合），旋转角记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 与射线 SKIPIF 1 < 0 相交于点E，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图①，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的度数是_____________；
(2)如图②，当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
变式5-6．（2022·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当 SKIPIF 1 < 0 时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
变式5-7．（2021·贵州黔西·中考真题）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
变式5-8．（2021·湖南株洲·统考中考真题）将一物体（视为边长为 SKIPIF 1 < 0 米的正方形 SKIPIF 1 < 0 ）从地面 SKIPIF 1 < 0 上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点 SKIPIF 1 < 0 与斜面 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 重合，先将该物体绕点 SKIPIF 1 < 0 按逆时针方向旋转至正方形 SKIPIF 1 < 0 的位置，再将其沿 SKIPIF 1 < 0 方向平移至正方形 SKIPIF 1 < 0 的位置（此时点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合），最后将物体移到车厢平台面 SKIPIF 1 < 0 上．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 米．
（1）求线段 SKIPIF 1 < 0 的长度；
（2）求在此过程中点 SKIPIF 1 < 0 运动至点 SKIPIF 1 < 0 所经过的路程．
考查题型六 旋转（作图）
典例6．（2022·湖南·统考中考真题）如图所示的方格纸 SKIPIF 1 < 0 格长为一个单位长度）中， SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 轴向左平移5个单位，画出平移后的△ SKIPIF 1 < 0 （不写作法，但要标出顶点字母）；
(2)将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，画出旋转后的△ SKIPIF 1 < 0 （不写作法，但要标出顶点字母）；
(3)在（2）的条件下，求点 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转到点 SKIPIF 1 < 0 所经过的路径长（结果保留 SKIPIF 1 < 0 ．
变式6-1．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）画出与 SKIPIF 1 < 0 关于y轴对称的 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转90°得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 弧是点A所经过的路径，则旋转中心 SKIPIF 1 < 0 的坐标为___________．
（3）求图中阴影部分的面积（结果保留 SKIPIF 1 < 0 ）．
变式6-2．（2020·湖北武汉·中考真题）在 SKIPIF 1 < 0 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 SKIPIF 1 < 0 的顶点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，画出对应线段 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在线段 SKIPIF 1 < 0 上画点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 （保留画图过程的痕迹）；
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 ，画点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，并简要说明画法．
考查题型七 旋转的坐标变化规律
典例7．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，将 SKIPIF 1 < 0 先向右平移3个单位，再绕原点O旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，则点A的对应点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式7-1．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，线段 SKIPIF 1 < 0 在平面直角坐标系内，A点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 绕原点O逆时针旋转90°，得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式7-2．（2022·河南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合， SKIPIF 1 < 0 轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式7-3．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC 经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为(0，1)，AC=2，则这种变换可以是（ ）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
变式7-4．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 个 SKIPIF 1 < 0 ，得到正六边形 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，正六边形 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式7-5．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2）B．（2 SKIPIF 1 < 0 ，﹣4）或（﹣2 SKIPIF 1 < 0 ，4）
C．（﹣2 SKIPIF 1 < 0 ，2）或（2 SKIPIF 1 < 0 ，﹣2）D．（2，﹣2 SKIPIF 1 < 0 ）或（﹣2，2 SKIPIF 1 < 0 ）
变式7-6．（2021·四川达州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，等边 SKIPIF 1 < 0 如图放置，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，每一次将 SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 ，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到 SKIPIF 1 < 0 ，第二次旋转后得到 SKIPIF 1 < 0 ，…，依次类推，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式7-7．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是________．
考查题型八 旋转综合题（与线段有关）
典例8．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 _____．
变式8-1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
(1)如图1，当α＝0°时，DG与PG的关系为 ；
(2)如图2，当α＝90°时
①求证：△AGD≌△FGM；
②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
变式8-2．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点E在折线 SKIPIF 1 < 0 上运动，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A顺时针旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，旋转角等于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当点E在 SKIPIF 1 < 0 上时，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为M，求证 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3)连接 SKIPIF 1 < 0 ，点E从点B运动到点D的过程中，试探究 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
考查题型九 旋转综合题（与面积有关）
典例9．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践
知识再现
如图 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为边向外作的正方形的面积为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ______．
问题探究
如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图 SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为边向外作的等腰直角三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是______．
（2）如图 SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为边向外作的等边三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，试猜想 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（1）如图 SKIPIF 1 < 0 ，将图 SKIPIF 1 < 0 中的 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转一定角度至 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转一定角度至 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图 SKIPIF 1 < 0 ，分别以图 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为直径的半圆柱的体积分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，柱体的高 SKIPIF 1 < 0 ，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
变式9-1．（2022·江西·统考中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板 SKIPIF 1 < 0 的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板 SKIPIF 1 < 0 与正方形 SKIPIF 1 < 0 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时，重叠部分的面积为__________；当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积 SKIPIF 1 < 0 与S的关系为__________；
(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中， SKIPIF 1 < 0 分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，试判断重叠部分 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由；
②如图3，当 SKIPIF 1 < 0 时，求重叠部分四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积（结果保留根号）；
(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为 SKIPIF 1 < 0 （设 SKIPIF 1 < 0 ），将 SKIPIF 1 < 0 绕点O逆时针旋转，在旋转过程中， SKIPIF 1 < 0 的两边与正方形 SKIPIF 1 < 0 的边所围成的图形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的最小值与最大值（分别用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示），
（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
联系
变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。
区别
变化方式
不同
平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。
旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。
轴对称：将一个图形沿一条直线对折。
对应线段、对应角之间的关系不同
平移： 变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。
旋转： 变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。
轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。
确定条件
不同
平移：距离与方向
旋转：旋转的三要素。
轴对称：对称轴