南通市如皋市实验初中2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份南通市如皋市实验初中2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（含答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列计算中，正确的是（）
A．B．C．D．
3．下列各式中，是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
4．若把分式中和的值都扩大3倍，则分式的值（）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大9倍
5．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）
A．2，4，5B．4，5，6C．6，12，13D．9，12，15
6．一块三角形玻璃不小心摔坏了，带上如图所示的玻璃碎片就能让玻璃店的师傅重新配一块与原来相同的三角形玻璃的依据是（）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
7．如图，现有，两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为大长方形，那么需要类卡片张数为（）
A．4B．5C．6D．7
8．已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
9．如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，连接．若的面积为12，的面积为9，则四边形的面积为（）
A 15B．16C．18D．20
10．已知时，多项式的值为，则的值为( )
A．B．C．D．0
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．如果分式有意义，那么x的取值范围是______．
12．点M（3，﹣4）关于x轴对称点的坐标是_________．
13．因式分解：________．
14．如图，小明沿倾斜角的山坡从山脚步行到山顶，共走了，则山的高度是______．
15．如图，，，，，则______．
16．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____.
17．关于x的分式方程无解，则m的值 ____
18．如图，，，是射线上动点，是射线上的动点，且，以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，其中，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）；（2）．
20．先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于轴的对称图形△A1B1C1，并写出的坐标；
（2）请在轴上找出一点，连接，使得，并写出的坐标．
22．如图，AB=AC，CD∥AB，点E是AC上一点，∠ABE=∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC=70°，∠ABE=25°，求∠D的度数．
23．已知整式A=x(x+3)+5，整式B=ax-1．
（1）若A+B=(x-2)2，求a的值；
（2）若A-B可以分解为(x-2)(x-3)，求a的值．
24．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少原料？
25．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，0°＜∠BAC＜60°，分别在AB的右侧，AC的左侧作等边三角形ABD和等边三角形ACE，BD与CE相交于点F．
（1）求证：BF=CF；
（2）作射线AF交BC于点G，交射线DC于点H．
①补全图形，当∠BAC=40°时，求∠AHD的度数；
②当∠BAC的度数在给定范围内发生变化时，∠AHD的度数是否也发生变化？若不变，请直接写出∠AHD的度数；若变化，请给出∠AHD的度数的范围．
26．定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．
（1）如图1，在△ABC中，，AD⊥BC，D为垂足，AD为△ABC的“妙分线”．若BD=1，则CD长为______；
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是CB延长线上一点，E为AB上一点，BE=BD，连接CE并延长交AD于点F，BH平分∠ABC，分别交CF，AC于点G，H，连接AG．求证：AG是△AFC的“妙分线”；
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC=5，．若AC为△BCD的“妙分线”，直接写出CD的长．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．C
【解析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
A．不是轴对称图形，故A错误；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．是轴对称图形，故C正确；
D．不是轴对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．C
【解析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．
3．A
【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A．，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．，被开方数含能开得尽得因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．，被开方数含能开得尽得因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．.
【点睛】本题考查最简二次根式，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法必须满足两条，就是（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．B
【解析】根据题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：分别用和去代换原分式中的和得，
，
可见新分式与原分式相等，分式的值不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，是解题的关键．
5．D
【解析】根据勾股定理的逆定理解决此题．
【详解】解：A．根据勾股定理的逆定理，由，得长度为2，4，5的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意．
B．根据勾股定理的逆定理，由，得长度为4，5，6的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意．
C．根据勾股定理的逆定理，由，得长度为6、12、13的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意．
D．根据勾股定理的逆定理，由，得长度为9，12，15的三条线段能组成直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
6．D
【解析】这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，利用全等三角形判定方法进行判断．
【详解】解：这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“ASA”重新配一块与原来全等的三角形玻璃．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
7．B
【解析】
【分析】应用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据C类卡片的面积进行判断即可得出答案．
【详解】解：依题意，，
∵类卡片的面积为，
∴需要类卡片张数为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键．
8．A
【解析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．
【详解】如图，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分线上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
9．A
【解析】
【分析】根据题意得到是线段的垂直平分线，进而得到点是的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线，
点是的中点，
，
，
的面积为12，的面积为9，
，
四边形的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的面积的计算，熟练掌握线段垂直平分线等额性质以及三角形的面积的计算是解题的关键．
10．B
【解析】根据已知条件得出，又，进而得出，,，进而即可求解．
【详解】解：∵时，多项式的值为，
∴，
∴
即
∴
即，又∵
∴
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，得出是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．
【解析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，列不等式求解即可．
【详解】∵分式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
12．（3，4）
【解析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【详解】解：点M（3，-4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故答案为（3，4）．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．2（m+2n）（m-2n）
【解析】
【分析】根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数2，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．
【详解】解：2m2-8n2，
=2（m2-4n2），
=2（m+2n）（m-2n）
故答案为：2（m+2n）（m-2n）．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，因式分解一定要进行到每个因式不能再分解为止．
14．
【解析】根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了含度角的直角三角形的性质，掌握度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
15．
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理得出，根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
16．4
【解析】
【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．
【详解】∵勾，弦，
∴股b=，
∴小正方形的边长＝，
∴小正方形的面积
故答案为4
【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．
17．-2
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：去分母得，，
由分式方程无解，得到，即，
把代入整式方程得，，
计算得，．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的无解．熟练掌握分母等于零时分式方程无解是解答本题的关键．
18．
【解析】
【分析】过点作于点，作点关于点的对称轴点，证明，求得的长，进而根据，当三点共线时，取得等于号，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，作点关于点的对称轴点，
∵,，，
∴，，
∴，
∴，，
设，则，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，当三点共线时，取得等于号，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理，掌握轴对称的性质，将线段长进行转化是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）（2）
【解析】
（1）根据绝对值，零指数幂，负整数指数幂计算即可；
（2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可．
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值，零指数幂，负整数指数幂的性质，以及二次根式混合运算法则是解题关键．
20．（1），2；（2），1
【解析】
【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式将式子化简，再代入，求出值即可；
（2）先通分和利用完全平方公式将式子化简，再由得出，整体代入进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：
，
将代入得，原式
【小问2详解】
解：
，
，
，
原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值以及分式的化简求值，熟练运用平方差公式和完全平方公式将式子进行化简是解题的关键．
21．（1）图见解析；点的坐标为
（2）点的坐标为
【解析】
【分析】（1）利用关于轴的对称的点的坐标特征得到点的坐标，然后描点连线，即可；
（2）设点的坐标为，根据勾股定理中已知两点坐标求两点的距离，列式计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意画出图如图所示：
点的坐标为；
【小问2详解】
解：，点在轴上，
设点的坐标为，
，
，
解得：，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了作图—轴对称变换，勾股定理的应用—已知两点坐标求两点间的距离，作轴对称图形掌握其基本做法：先确定图形的关键点，利用轴对称性质作出关键点的对称点，按原图形中的方式顺次连接对称点，是解题的关键．
22．（1）见解析（2）的度数为
【解析】
【分析】（1）直接根据可证明；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求出，从而得到，再根据平行线的性质即可得到答案．
【小问1详解】
证明：，
，
和中，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点是解题的关键．
23．（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可；
（2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．
24．A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料
【解析】
【分析】设B种机器人每小时搬运xkg原料，则A种机器人每小时搬运（x+30）kg原料，由题意：A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设B种机器人每小时搬运xkg原料，A种机器人每小时搬运（x＋30）kg原料．
根据题意，得﹒
解这个方程，得x＝60．
经检验，x＝60是方程的解，且符合题意．
x＋30＝90．
答：A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（1）见解析（2）①补全图形见解析，；②不变，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等角对等边以及等边三角形的性质得出，，进而得出，根据等角对等边即可得证；
（2）①根据题意补全图形，根据（1）的结论与已知条件得出垂直平分,进而得出，根据等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，继而在中，根据三角形内角和定理即可求解；
②设，
根据①的方法与步骤进行验证即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵等边三角形和等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
【小问2详解】
①如图所示，
由（1）可得，
又∵，
∴垂直平分,
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
②不变
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
26．（1）（2）见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据“妙分线”的定义可得，结合勾股定理求出，即可解答；
（2）先证明，可得，即为等腰三角形，再证明，得，根据，
，可得，可得是直角三角形，即可解答．
（3）根据是的“妙分线，可得，是直角三角形，再结合勾股定理计算即可．
【小问1详解】
，，
在中，由勾股定理有
是的“妙分线”
是等腰直角三角形
【小问2详解】
，，平分
，
在和中
（SAS）
，即为等腰三角形
在和中
（SAS）
，
，即是直角三角形
是的“妙分线”
【小问3详解】
是等腰三角形
是的“妙分线”
经分析，点在的延长线上，，见下图
在中，由勾股定理有
①
在中，由勾股定理有
②
②①得，解得
将代入①，解得
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，读懂题意，理解“妙分线”熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形是解题关键。