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备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题16锐角三角比(原卷版+解析)
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这是一份备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题16锐角三角比(原卷版+解析)，共87页。试卷主要包含了常见的应用问题，37，cs22°≈0，8 米B．28等内容，欢迎下载使用。
锐角三角比也是中考数学重点和难点，中考中在选择题、填空题，解答题均有几率出现，尤其是填空压轴题，与二次函数结合，在解答压轴题中应用有很大概率作为中考难点考查，主要考查基本概念、几何推理与证明以及相关应用．
1.了解锐角三角比的概念，能够正确应用sinA 、csA、tanA、ctA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.
2．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.
一、锐角三角比的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即；
同理；；．
知识要点：
(1)锐角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，csA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cs与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角比值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角比的定义知：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．
二、特殊角的三角比的比值
利用锐角三角比的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，归纳如下：
知识要点：
(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比的比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
三、锐角三角比之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
四、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
边边关系：勾股定理，即；
边角关系：锐角三角函数，即
知识要点：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
一、单选题
1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A．B．C．D．
2．已知在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．在中，，，，则_______
8．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________．
9．如图，在中，，垂足为点，若，，则等于 _____．
10．如图，在中，，为上一点，，，．则＝_____．
11．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，则BC的长度为______．
12．在△ABC中，，，，则______________．
13．在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值为______．
14．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝_____．
15．勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，同时留下一个小正方形的空隙（如图），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形的面积是，，那么大正方形的面积等于__________．
16．如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是______．
17．将一副三角板如图摆放，使得一块三角板的直角边AC和另一块三角板的斜边ME重叠，点A与点M重合，已知AB=AC=8，则重叠的面积是__________．
18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于_____．
三、解答题
19．如图，已知在中，为锐角，是边上的高，， ．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
20．如图，已知在四边形中，，，，．
(1)的长；
(2)如果点E为的中点，连接，求的正切值．
21．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求：
(1)线段的长；
(2)的余弦值．
22．如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E．
(1)求证：；
(2)当∠QED等于60°时，求的值．
23．已知点和点．点在轴的负半轴上，且，点的坐标为，直线l经过点C、D．
(1)求直线l的表达式；
(2)点P是直线l在第三象限上的点连接、，若线段是线段、的比例中项．
①求证：；
②求的值．
五、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1.解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2.常见的应用问题
(1)坡度：； 坡角:.
(2)方位角：
(3)仰角与俯角：
要点：
1．解直角三角形的常见类型及解法：
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
一、单选题
1．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．6米B．米C．米D． 米
2．在离铁塔底部米的地面处测得铁塔塔顶的仰角为，那么铁塔的高为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（ ）
A．千米B．千米C．1千米D．千米
4．如图，一块矩形木板斜靠在墙边（，点，，，，在同一平面内）．已知，，，则点到的距离等于（ ）
A．B．
C．D．
5．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i=1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．60B．70C．80D．90
6．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．16.8 米B．28.8 米C．40.8 米D．64.8 米
7．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的同一水平线的处，测得米，沿坡度的斜坡走到点，测得塔顶仰角为37，再沿水平方向走20米到处，测得塔顶的仰角为22，则塔高为（ ）米．（结果精确到十分位）（，，，，，）
A．米B．米C．20米D．米
8．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A．B．C．D．
二、填空题
9．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4米．如果在山坡上种树，也要求株距为4米，则相邻两树间的坡面距离5米，则此山坡的坡度为______．
10．如图，在甲楼的底部B处测得乙楼的顶部D点的仰角为，在甲楼的顶部A处测得乙楼的顶部D点的俯角为，如果乙楼的高米，那么甲楼的高______米（用含，的代数式表示）．
11．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为______．
12．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为，已知的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为______米．
13．如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点距地面的高度为__________米．
14．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点处，另一端在边上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得，，长为32厘米，则的长为_______ 厘米．
三、解答题
15．某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡长为13米，它的坡度为，，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为，即（此时点、、在同一直线上）．求斜坡改进后的起点与原起点的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，）
16．如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，坡度，小明在斜坡下端处测得楼顶点的仰角为60°，在斜坡上的点处测得楼顶的的仰角为30°，与地面垂直，垂足为，其中点、、在同一直线上．
(1)求的值；
(2)求大楼的高度（结果保留根号）
17．某地一居民的窗户朝南．窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为．若你是一名设计师，请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．根据测量测得，，米．若同时满足下面两个条件（1）当太阳光与地面的夹角是时，太阳光刚好射入室内；（2）当太阳光与地面的夹角是时，太阳光刚好不射入室内．请你求出直角形遮阳蓬中的长、离地面的高度．
18．有一把长为6米的梯子，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为，地面与墙面互相垂直（如图1所示），一般满足时，人才能安全地使用这架梯子．
(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时，求的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？
(2)当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑 ，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．
19．圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气，并以此作为指导农事活动的重要依据．例如，我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．
某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即的长）约为多少米？（参考数据见表1，结果精确到个位）
表1
（注：表1中三角比的值是近似值）
一、单选题
1． (2023·上海闵行·一模）已知在中，，，，那么AC的长为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·上海·统考一模）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）
A．2sinαB．2csαC．D．
3． (2023·上海奉贤·校联考一模）如图，在直角坐标平面内，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tanα＝3，那么点A的坐标是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（1，）D．（3，）
4． (2023·上海浦东新·统考一模）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )
A．千米B．千米C．千米D．千米
5． (2023·上海徐汇·统考一模）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点的俯角为60°，那么此时小李离着落点的距离是（ ）
A．200米B．400米C．米D．米
6． (2023·上海松江·统考一模）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（ ）
A．15千米B．10千米C．千米D．千米
二、填空题
7． (2023·上海长宁·统考二模）已知正六边形外接圆的半径为3，那么它的边心距为 _____．
8． (2023·上海奉贤·统考三模）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为，那么________．
9． (2023·上海·统考一模）在中，，如果，，那么________________．
10． (2023·上海徐汇·校联考中考模拟）在中，，是边上的中线，如果，那么的值是__________．
11． (2023·上海青浦·统考一模）如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为_____米．
12． (2023·上海·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是_____．
13． (2023·上海徐汇·校考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，csB＝，则＝_____．
14． (2023·上海·二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，联结BD．将△ABC绕着点A逆时针旋转，点B恰好落在射线BD上的点E处，点C落在点F处，联结FD、FC．如果AB＝1，BC＝2时，那么∠CFD的正切值是____．
三、解答题
15． (2023·上海·上海市进才中学校考一模）如图，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足为 D．
(1)求 BD 的长；
(2)设，，用，表示．
16． (2023·上海嘉定·统考一模）如图，在中，，．
（1）求边的长度；
（2）求的值．
17． (2023·上海杨浦·统考二模）如图，已知在平行四边形中，过点D作，垂足为点E，．
(1)求平行四边形的面积；
(2)连接，求的值．
18． (2023·上海浦东新·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
19． (2023·上海奉贤·统考一模）如图，是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆始终在同一平面内)，连杆垂直于底座且长度为厘米，连杆的长度为厘米，连杆的长度可以进行伸缩调整．
（1）如图，当连杆在一条直线上，且连杆的长度为厘米,时，求点到底座的高度（计算结果保留一位小数）
（2）如图，如果保持不变，转动连杆，使得，假如时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆的长度（计算结果保留一位小数）(参考数据：）
20． (2023·上海浦东新·统考三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（−3,0）和点B，与y轴相交于点C（0,3），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m>0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．
21． (2023·上海嘉定·统考一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，．点F是线段上一点，连接，．
（1）如果，求线段的长；
（2）如果．
①求证：；
②求线段的长．
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
专题16 锐角三角比
锐角三角比也是中考数学重点和难点，中考中在选择题、填空题，解答题均有几率出现，尤其是填空压轴题，与二次函数结合，在解答压轴题中应用有很大概率作为中考难点考查，主要考查基本概念、几何推理与证明以及相关应用．
1.了解锐角三角比的概念，能够正确应用sinA 、csA、tanA、ctA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.
2．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.
一、锐角三角比的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即；
同理；；．
知识要点：
(1)锐角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，csA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cs与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角比值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角比的定义知：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．
二、特殊角的三角比的比值
利用锐角三角比的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，归纳如下：
知识要点：
(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比的比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
三、锐角三角比之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
四、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
边边关系：勾股定理，即；
边角关系：锐角三角函数，即
知识要点：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
一、单选题
1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出ctA＝即可得出答案．
【解析】解：如图所示：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴ctA＝＝，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键，本题是道基础题，比较简单．
2．已知在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解．
【解析】
∵在中，，，
∴，
设，则，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．
3．在中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，再把已知条件代入即可得到答案．
【解析】解：∵，，，，
∴ ，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了锐角三角函数的含义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
4．如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案．
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB，
∴,
又∵CD＝3，
∴AB＝6，
，
∴＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．
5．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
【答案】B
【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．
【解析】解：如图，分别作出两三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作DM⊥CE，根据折叠的性质得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后结合已知条件求出DM和EM的长度，最后在Rt△EDM中运用勾股定理求解即可．
【解析】如图所示，作DM⊥CE于M点，
∵∠ABC＝90°，，
∴，则∠CAB=30°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=30°，
根据折叠的性质得：∠ACE=∠ACB=60°，，
∴∠ECD=30°，
设DM=x，则CD=2x，MC=x，
∴EM=EC-MC=-x，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，，
∴在Rt△EDM中，，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的翻折问题，涉及到勾股定理，解直角三角形等知识点，理解并熟练运用正切函数的定义是解题关键．
二、填空题
7．在中，，，，则_______
【答案】##0.5
【分析】根据的正弦求出，再根据30°的正弦值求解即可．
【解析】解：如图所示，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
8．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________．
【答案】
【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可．
【解析】解：如图，过作于，
∴，
∵小正方形的边长为，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．如图，在中，，垂足为点，若，，则等于 _____．
【答案】
【分析】先利用等腰直角三角形的正弦算出，再运用正切算出的值．
【解析】解：∵，
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟练运用特殊角的正弦值是解题的关键．
10．如图，在中，，为上一点，，，．则＝_____．
【答案】
【分析】根据以及勾股定理可得BC=4，AC=3，从而得到CD=3，进而得到，过点D作DE⊥AB于点E，再由，可得，即可求解．
【解析】解：∵，，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵，
∴，解得：k=1或1（舍去），
∴BC=4，AC=3，
∵，
∴AC=CD，
∴，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵BD=1，
∴，解得：或（舍去），
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，则BC的长度为______．
【答案】
【分析】作DE∥AC交AB于E，如图，根据平行线的性质得∠ADE＝90，由点D是BC的中点得到DE为△ABC的中位线，则DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，在Rt△ADE中，根据正切的定义得tan∠EAD＝＝，设DE＝x，则AD＝2x，根据勾股定理得（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，则DE＝2，AD＝4，所以AC＝4，然后根据勾股定理计算出CD＝，再利用BC＝2CD计算即可．
【解析】作DE∥AC交AB于E，如图，
∵DA⊥AC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADE＝90，
∵点D是BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，
在Rt△ADE中，tan∠EAD＝＝，
设DE＝x，则AD＝2x，
∵AD2＋DE2＝AE2，
∴（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，
∴DE＝2，AD＝4，
∴AC＝2DE=4，
∴CD＝，
∴BC＝2CD＝
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，解题的关键的根据题意作出辅助线，利用中位线的性质求解．
12．在△ABC中，，，，则______________．
【答案】或
【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
【解析】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．
13．在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值为______．
【答案】##0.5
【分析】如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，根据进行求解即可．
【解析】解：如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，
∵A点坐标为（1，2），
∴OB=1，AB=2，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角函数，解题的关键在于能够根据题意得到．
14．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝_____．
【答案】
【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC⊥BD，根据∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，进而得到∠AOE＝∠BAO，再由AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值．
【解析】∵菱形对角线互相垂直，
∴∠OEA＝∠AOB，
∵∠OAE＝∠BAO，
∴△OAE∽△ABO，
∴∠AOE＝∠ABO，
∵AO＝AC＝2，AB＝6，
∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝＝．
故答案为：．
【点睛】考查了相似三角形判定和性质、三角形中正弦函数的计算，解题关键是证明三角形相似再利用其性质得到∠AOE=∠ABO．
15．勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，同时留下一个小正方形的空隙（如图），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形的面积是，，那么大正方形的面积等于__________．
【答案】
【分析】由题意知小正方形边长为2，运用正弦函数定义求解．
【解析】解：由题意知小正方形边长为2，∴FG=2，
设BF=x，BG=2+x，∵△BGC≌△AFB，
∴CG=BF=x，
∵sin∠GBC=
∴ BC=
由勾股定理得:
解得：x=1或x=﹣ （舍去）
BC=
大正方形的面积=
故答案为：10．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形面积是解题的关键．
16．如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是______．
【答案】
【分析】作，使，，再延长BC到点，使，联结，即可得，设，然后用t表示出CD，最后根据余切的定义作答即可．
【解析】解：如图：作，使，，再延长CB到点，使，联结，即可得
设，则BC=t，AB=BD=t
所以DC=BC+AB=t+t=（1+）t
所以．
故答案为．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形和三角函数，构造出含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°角的直角三角形成为解答本题的关键．
17．将一副三角板如图摆放，使得一块三角板的直角边AC和另一块三角板的斜边ME重叠，点A与点M重合，已知AB=AC=8，则重叠的面积是__________．
【答案】
【分析】过Q作QH⊥AC于H，在△QHC中，由于∠QCH=45°，则CH=QH，设CH=，则QH=x，在Rt△QHA中，由于∠QAH=60°，求得AH=，然后利用CH+AH=AC求得的值，再根据三角形面积公式计算得到结果．
【解析】过Q作QH⊥AC于H，如图，
∠ACB=45°，∠DME=60°，AC=8，
在△QHC中，∠QCH=45°，
∴CH=QH，
设CH=x，则QH=x，
在Rt△QHA中，∠QAH=60°，
∴AH= =，
∵CH+AH=AC，
∴，
解得：，
∴QH•AC，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形，利用条件求得AC边上的高是解题的关键．
18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于_____．
【答案】##
【分析】如图，过点A作AH⊥CE于H．先证明AK＝AC，推出HK＝CH，进而得到AK＝AD＝2即可解答．
【解析】解：如图，过点A作AH⊥CE于H.
∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，
∴∠E＝∠BAC，
∵CE＝EG，
∴∠CGE＝∠ECG，
∵∠BAC+∠GAK＝180°，
∴∠E+∠GAK＝180°，
∴∠AGE+∠AKE＝180°，
∵∠AKE+∠AKC＝180°，
∴∠AKC＝∠CGE，
∴∠AKC＝∠ACK，
∴AC＝AK＝2，
∵AH⊥CK，
∴KH＝CH，
∵∠AHE＝∠DCK＝90°，
∴AH∥CD，
∴KA＝AD，
∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，
∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝＝，
∴BD＝AB+AD＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确添加辅助线、构造三角形的中位线是解得本题的关键．
三、解答题
19．如图，已知在中，为锐角，是边上的高，， ．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
【答案】(1)长为20．
(2)的正弦．
【分析】（1）由的余弦求出的长，得到长，由勾股定理即可解决问题．
（2）过C作于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．
【解析】（1）
（2）作于H
的面积
的正弦值是
【点睛】本题考查的是解直角三角形，关键是作出恰当的辅助线．
20．如图，已知在四边形中，，，，．
(1)的长；
(2)如果点E为的中点，连接，求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用三角函数求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）首先证明，推出，由此即可解决问题；
【解析】（1）解：在中，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求：
(1)线段的长；
(2)的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），根据题意，，，可得AD的长度，根据勾股定理得，由的长度，则，计算即可得出答案；
对于（2），过点作，垂足为，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，
，则，根据勾股定理可得，
在中，由计算即可得出答案．
【解析】（1）∵，，
∴．
∵，，
根据勾股定理，得，
∴，，
∴，
∴；
（2）过点E作，垂足为，如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
22．如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E．
(1)求证：；
(2)当∠QED等于60°时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠CAD=∠BDC=45°，∠OBP+∠OPB=90°，再由，可得∠OBP=∠OPE，即可求证；
（2）设OE=a，根据∠QED等于60°，可得∠BEP=60°，然后利用锐角三角函数，可得BD=2OB=6a， ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求解．
（1）
证明：在正方形ABCD中，
∠CAD=∠BDC=45°，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∴∠OBP+∠OPB=90°，
∵，
∴∠BPQ=90°，
∴∠OPE+∠OPB=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
∴；
（2）
解：设OE=a，
在正方形ABCD中，∠POE=90°，OA=OB=OD，
∵∠QED等于60°，
∴∠BEP=60°，
在 中，
，，
∵，∠BEP=60°，
∴∠PBE=30°，
∴， ，
∴OA=OB=BE-OE=3a，
∴BD=2OB=6a，
∴ ，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
23．已知点和点．点在轴的负半轴上，且，点的坐标为，直线l经过点C、D．
(1)求直线l的表达式；
(2)点P是直线l在第三象限上的点连接、，若线段是线段、的比例中项．
①求证：；
②求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，，求得，得到，然后利用待定系数法求解即可；
（2）①根据线段是线段、的比例中项，得到，然后根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
②过点P作轴于H，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】（1）∵，，
∴，
∵，点在轴的负半轴上，
∴，
设直线l的表达式为，
∵，在直线上，
∴，
∴，
∴直线l的表达式为；
（2）①∵线段是线段、的比例中项，
∴，
又∵是公共角，
∴；
②∵，，
∴，
∴解得，
∵，
∴，过点P作轴于H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得是解题的关键．
五、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1.解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2.常见的应用问题
(1)坡度：； 坡角:.
(2)方位角：
(3)仰角与俯角：
要点：
1．解直角三角形的常见类型及解法：
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
一、单选题
1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出ctA＝即可得出答案．
【解析】解：如图所示：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴ctA＝＝，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键，本题是道基础题，比较简单．
2．已知在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解．
【解析】
∵在中，，，
∴，
设，则，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．
3．在中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，再把已知条件代入即可得到答案．
【解析】解：∵，，，，
∴ ，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了锐角三角函数的含义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
4．如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案．
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB，
∴,
又∵CD＝3，
∴AB＝6，
，
∴＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．
5．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
【答案】B
【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．
【解析】解：如图，分别作出两三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作DM⊥CE，根据折叠的性质得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后结合已知条件求出DM和EM的长度，最后在Rt△EDM中运用勾股定理求解即可．
【解析】如图所示，作DM⊥CE于M点，
∵∠ABC＝90°，，
∴，则∠CAB=30°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=30°，
根据折叠的性质得：∠ACE=∠ACB=60°，，
∴∠ECD=30°，
设DM=x，则CD=2x，MC=x，
∴EM=EC-MC=-x，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，，
∴在Rt△EDM中，，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的翻折问题，涉及到勾股定理，解直角三角形等知识点，理解并熟练运用正切函数的定义是解题关键．
二、填空题
7．在中，，，，则_______
【答案】##0.5
【分析】根据的正弦求出，再根据30°的正弦值求解即可．
【解析】解：如图所示，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
8．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________．
【答案】
【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可．
【解析】解：如图，过作于，
∴，
∵小正方形的边长为，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．如图，在中，，垂足为点，若，，则等于 _____．
【答案】
【分析】先利用等腰直角三角形的正弦算出，再运用正切算出的值．
【解析】解：∵，
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟练运用特殊角的正弦值是解题的关键．
10．如图，在中，，为上一点，，，．则＝_____．
【答案】
【分析】根据以及勾股定理可得BC=4，AC=3，从而得到CD=3，进而得到，过点D作DE⊥AB于点E，再由，可得，即可求解．
【解析】解：∵，，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵，
∴，解得：k=1或1（舍去），
∴BC=4，AC=3，
∵，
∴AC=CD，
∴，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵BD=1，
∴，解得：或（舍去），
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，则BC的长度为______．
【答案】
【分析】作DE∥AC交AB于E，如图，根据平行线的性质得∠ADE＝90，由点D是BC的中点得到DE为△ABC的中位线，则DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，在Rt△ADE中，根据正切的定义得tan∠EAD＝＝，设DE＝x，则AD＝2x，根据勾股定理得（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，则DE＝2，AD＝4，所以AC＝4，然后根据勾股定理计算出CD＝，再利用BC＝2CD计算即可．
【解析】作DE∥AC交AB于E，如图，
∵DA⊥AC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADE＝90，
∵点D是BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，
在Rt△ADE中，tan∠EAD＝＝，
设DE＝x，则AD＝2x，
∵AD2＋DE2＝AE2，
∴（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，
∴DE＝2，AD＝4，
∴AC＝2DE=4，
∴CD＝，
∴BC＝2CD＝
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，解题的关键的根据题意作出辅助线，利用中位线的性质求解．
12．在△ABC中，，，，则______________．
【答案】或
【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
【解析】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．
13．在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值为______．
【答案】##0.5
【分析】如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，根据进行求解即可．
【解析】解：如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，
∵A点坐标为（1，2），
∴OB=1，AB=2，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角函数，解题的关键在于能够根据题意得到．
14．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝_____．
【答案】
【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC⊥BD，根据∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，进而得到∠AOE＝∠BAO，再由AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值．
【解析】∵菱形对角线互相垂直，
∴∠OEA＝∠AOB，
∵∠OAE＝∠BAO，
∴△OAE∽△ABO，
∴∠AOE＝∠ABO，
∵AO＝AC＝2，AB＝6，
∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝＝．
故答案为：．
【点睛】考查了相似三角形判定和性质、三角形中正弦函数的计算，解题关键是证明三角形相似再利用其性质得到∠AOE=∠ABO．
15．勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，同时留下一个小正方形的空隙（如图），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形的面积是，，那么大正方形的面积等于__________．
【答案】
【分析】由题意知小正方形边长为2，运用正弦函数定义求解．
【解析】解：由题意知小正方形边长为2，∴FG=2，
设BF=x，BG=2+x，∵△BGC≌△AFB，
∴CG=BF=x，
∵sin∠GBC=
∴ BC=
由勾股定理得:
解得：x=1或x=﹣ （舍去）
BC=
大正方形的面积=
故答案为：10．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形面积是解题的关键．
16．如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是______．
【答案】
【分析】作，使，，再延长BC到点，使，联结，即可得，设，然后用t表示出CD，最后根据余切的定义作答即可．
【解析】解：如图：作，使，，再延长CB到点，使，联结，即可得
设，则BC=t，AB=BD=t
所以DC=BC+AB=t+t=（1+）t
所以．
故答案为．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形和三角函数，构造出含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°角的直角三角形成为解答本题的关键．
17．将一副三角板如图摆放，使得一块三角板的直角边AC和另一块三角板的斜边ME重叠，点A与点M重合，已知AB=AC=8，则重叠的面积是__________．
【答案】
【分析】过Q作QH⊥AC于H，在△QHC中，由于∠QCH=45°，则CH=QH，设CH=，则QH=x，在Rt△QHA中，由于∠QAH=60°，求得AH=，然后利用CH+AH=AC求得的值，再根据三角形面积公式计算得到结果．
【解析】过Q作QH⊥AC于H，如图，
∠ACB=45°，∠DME=60°，AC=8，
在△QHC中，∠QCH=45°，
∴CH=QH，
设CH=x，则QH=x，
在Rt△QHA中，∠QAH=60°，
∴AH= =，
∵CH+AH=AC，
∴，
解得：，
∴QH•AC，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形，利用条件求得AC边上的高是解题的关键．
18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于_____．
【答案】##
【分析】如图，过点A作AH⊥CE于H．先证明AK＝AC，推出HK＝CH，进而得到AK＝AD＝2即可解答．
【解析】解：如图，过点A作AH⊥CE于H.
∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，
∴∠E＝∠BAC，
∵CE＝EG，
∴∠CGE＝∠ECG，
∵∠BAC+∠GAK＝180°，
∴∠E+∠GAK＝180°，
∴∠AGE+∠AKE＝180°，
∵∠AKE+∠AKC＝180°，
∴∠AKC＝∠CGE，
∴∠AKC＝∠ACK，
∴AC＝AK＝2，
∵AH⊥CK，
∴KH＝CH，
∵∠AHE＝∠DCK＝90°，
∴AH∥CD，
∴KA＝AD，
∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，
∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝＝，
∴BD＝AB+AD＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确添加辅助线、构造三角形的中位线是解得本题的关键．
三、解答题
19．如图，已知在中，为锐角，是边上的高，， ．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
【答案】(1)长为20．
(2)的正弦．
【分析】（1）由的余弦求出的长，得到长，由勾股定理即可解决问题．
（2）过C作于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．
【解析】（1）
（2）作于H
的面积
的正弦值是
【点睛】本题考查的是解直角三角形，关键是作出恰当的辅助线．
20．如图，已知在四边形中，，，，．
(1)的长；
(2)如果点E为的中点，连接，求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用三角函数求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）首先证明，推出，由此即可解决问题；
【解析】（1）解：在中，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求：
(1)线段的长；
(2)的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），根据题意，，，可得AD的长度，根据勾股定理得，由的长度，则，计算即可得出答案；
对于（2），过点作，垂足为，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，
，则，根据勾股定理可得，
在中，由计算即可得出答案．
【解析】（1）∵，，
∴．
∵，，
根据勾股定理，得，
∴，，
∴，
∴；
（2）过点E作，垂足为，如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
22．如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E．
(1)求证：；
(2)当∠QED等于60°时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠CAD=∠BDC=45°，∠OBP+∠OPB=90°，再由，可得∠OBP=∠OPE，即可求证；
（2）设OE=a，根据∠QED等于60°，可得∠BEP=60°，然后利用锐角三角函数，可得BD=2OB=6a， ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求解．
（1）
证明：在正方形ABCD中，
∠CAD=∠BDC=45°，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∴∠OBP+∠OPB=90°，
∵，
∴∠BPQ=90°，
∴∠OPE+∠OPB=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
∴；
（2）
解：设OE=a，
在正方形ABCD中，∠POE=90°，OA=OB=OD，
∵∠QED等于60°，
∴∠BEP=60°，
在 中，
，，
∵，∠BEP=60°，
∴∠PBE=30°，
∴， ，
∴OA=OB=BE-OE=3a，
∴BD=2OB=6a，
∴ ，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
23．已知点和点．点在轴的负半轴上，且，点的坐标为，直线l经过点C、D．
(1)求直线l的表达式；
(2)点P是直线l在第三象限上的点连接、，若线段是线段、的比例中项．
①求证：；
②求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，，求得，得到，然后利用待定系数法求解即可；
（2）①根据线段是线段、的比例中项，得到，然后根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
②过点P作轴于H，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】（1）∵，，
∴，
∵，点在轴的负半轴上，
∴，
设直线l的表达式为，
∵，在直线上，
∴，
∴，
∴直线l的表达式为；
（2）①∵线段是线段、的比例中项，
∴，
又∵是公共角，
∴；
②∵，，
∴，
∴解得，
∵，
∴，过点P作轴于H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得是解题的关键．
一、单选题(共0分)
1． (2023·上海闵行·一模）已知在中，，，，那么AC的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解析】解：在Rt△ABC中，
sinβ=，
∴AC=AB•sinβ=5sinβ，
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
2． (2023·上海·统考一模）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）
A．2sinαB．2csαC．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．
【解析】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，
过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，
设BE＝x，
∵∠ABE＝α，
∴AB＝，
∴BC＝AB＝，
∴重叠部分的面积是：×1＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．
3． (2023·上海奉贤·校联考一模）如图，在直角坐标平面内，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tanα＝3，那么点A的坐标是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（1，）D．（3，）
【答案】A
【分析】过点A作AB⊥x轴于点B，由于tanα=3，设AB=3x，OB=x，根据勾股定理列出方程即可求出x的值，从而可求出点A的坐标．
【解析】过点A作AB⊥x轴于点B，由于tanα=3，∴，设AB=3x，OB=x．
∵OA，∴由勾股定理可知：9x2+x2=10，∴x2=1，∴x=1，∴AB=3，OB=1，∴A的坐标为（1，3）．
故选A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练作出辅助线后，利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．
4． (2023·上海浦东新·统考一模）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )
A．千米B．千米C．千米D．千米
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.
【解析】在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO= PO- PO= . 所以答案选A.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.
5． (2023·上海徐汇·统考一模）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点的俯角为60°，那么此时小李离着落点的距离是（ ）
A．200米B．400米C．米D．米
【答案】D
【分析】已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．
【解析】根据题意，此时小李离着落点A的距离是，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
6． (2023·上海松江·统考一模）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（ ）
A．15千米B．10千米C．千米D．千米
【答案】C
【分析】根据题意，利用，根据锐角三角函数求出AD和BD的长，从而得到CD的长，再用勾股定理求出AC的长．
【解析】解：如图，
根据题意，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．
二、填空题(共0分)
7． (2023·上海长宁·统考二模）已知正六边形外接圆的半径为3，那么它的边心距为 _____．
【答案】
【分析】根据正六边形的性质得到∠BOG＝∠BOC＝30°，再根据余弦的定义计算即可；
【解析】解：∵ABCDDEF为正六边形，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，OG⊥BC．
∴∠BOG＝∠BOC＝30°．
在Rt△BOG中，cs∠BOG＝．
∵OB＝3，
∴OG＝OB•cs∠BOG＝3×＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质和余弦的性质，准确分析计算是解题的关键．
8． (2023·上海奉贤·统考三模）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为，那么________．
【答案】
【分析】坡比坡角的正切值， 设竖直直角边为，水平直角边为，由勾股定理求出斜边， 进而可求出的正弦值 ．
【解析】解： 如图所示：
由题意，得：，
设竖直直角边为，水平直角边为，
则斜边，
则．
故答案为．
【点睛】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．
9． (2023·上海·统考一模）在中，，如果，，那么________________．
【答案】
【分析】直接根据，将已知条件代入，便可求出AC.
【解析】∵=2，，
∴，
故答案为：6.
【点睛】本题考查余切的定义，正确掌握余切的公式是解题的关键.
10． (2023·上海徐汇·校联考中考模拟）在中，，是边上的中线，如果，那么的值是__________．
【答案】
【分析】设CD=a，根据题意求出BC和AD，根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解析】如图：
设CD=a，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=2CD=2a，
∴AD=2BC=4a，
由勾股定理得，AC==a，
∴cs∠CAD===，
故答案为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握勾股定理、余弦的定义是解题的关键．
11． (2023·上海青浦·统考一模）如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为_____米．
【答案】39．
【分析】直接利用坡度的定义得出EC的长，进而利用勾股定理得出答案．
【解析】过点D作DE⊥BC于点E，
∵坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，
∴DE＝15m，
则，
故EC＝2.4×15＝36（m），
则在Rt△DEC中，
DC＝＝39（m）．
故答案为39．
【点睛】此题主要考查了坡度的定义，正确得出EC的长是解题关键．
12． (2023·上海·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是_____．
【答案】2．
【分析】在中，根据直角三角形的边角关系求出CD，根据勾股定理求出BD，在在中，再求出AB即可．
【解析】解：在Rt△BDC中，
∵BC＝4，sin∠DBC＝，
∴，
∴，
∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，
∴∠A＝∠DBC，
在Rt△ABD中，
∴，
故答案为：2．
【点睛】考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．
13． (2023·上海徐汇·校考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，csB＝，则＝_____．
【答案】.
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，设BD＝5x，AB＝13x，根据勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根据相似三角形的性质得到BE＝x，CE＝x，于是得到结论．
【解析】∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵csB＝，
设BD＝5x，AB＝13x，
∴AD＝＝12x，
∴BC＝2BD＝10x，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴，
∴，
∴BE＝x，CE＝x，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
14． (2023·上海·二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，联结BD．将△ABC绕着点A逆时针旋转，点B恰好落在射线BD上的点E处，点C落在点F处，联结FD、FC．如果AB＝1，BC＝2时，那么∠CFD的正切值是____．
【答案】
【分析】旋转后如图示，过A作于 过作于 过作 交的延长线于 过作于证明四边形是矩形，再证明设 则 可得 求解 可得 连接 设 则 由建立方程求解，从而可得答案.
【解析】解：旋转后如图示，过A作于 过作于 过作 交的延长线于 过作于
为的中点，
由旋转可得：
四边形是矩形，
同理可得：
设 则
则 所以
而
而
连接
设 则
由
解得： 则
故答案为：
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握各图形之间的联系，作出正确的辅助线是解题的关键，是难度大的压轴题.
三、解答题(共0分)
15． (2023·上海·上海市进才中学校考一模）如图，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足为 D．
(1)求 BD 的长；
(2)设，，用，表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解直角三角形，先求出CD的长度，然后求出AD，由等角的三角函数值相等，有，即可求出BD的长度；
（2）由（1）可求AB的长度，根据三角形法则，求出，然后求出.
（1）
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，，
∴．
∴，
∴．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠B =∠A+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A．
∴；
（2）
解：∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，向量的运算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形求三角形的各边长度.
16． (2023·上海嘉定·统考一模）如图，在中，，．
（1）求边的长度；
（2）求的值．
【答案】（1）12；（2）
【分析】（1）作，根据求出AE，再根据勾股定理求出BE，利用等腰三角形的三线合一的性质得到BC；
（2））作，由AB=AC，证得∠B=∠C，得到csC=，，求出CF，AF，即可得到答案．
【解析】（1）作，垂足为点E．
∵，AB=10，
∴，
∴=6，
∴；
（2）作，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴csC=，
∴，
∴，
∴，
∴．
．
【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，同角的三角函数值相等，引出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17． (2023·上海杨浦·统考二模）如图，已知在平行四边形中，过点D作，垂足为点E，．
(1)求平行四边形的面积；
(2)连接，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），在中，根据，求出AE，再根据勾股定理求出DE，进而求出面积即可；
对于（2），作，根据平行四边形的性质得，可求出EB，进而求出EF，根据勾股定理求CE，最后根据得出答案．
（1）
∵，
∴．
在中，．
又，
∴．
在中，，
∴
∴．
（2）
过E作，与的延长线交于点F．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，，又，
∴．
在中，．
在中，．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，勾股定理等，构造直角三角形是解题的关键．
18． (2023·上海浦东新·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据锐角三角函数定义即可求出AE的长；
（2）过点E作EH⊥AC于点H．根据等腰直角三角形的性质可得EH＝AH的值，再根据三角函数即可求出∠ACE的余切值．
【解析】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵DE⊥AB，
∴在Rt△DEB中，csB＝．
∴BE＝，
在Rt△ACB中，AB＝＝4，
∴AE＝.
（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．
∴在Rt△AHE中，csA＝，
AH=AE•cs45°=，
∴CH＝AC−AH＝4−＝ ，
∴EH=AH=，
∴在Rt△CHE中，ct∠ECB=，
即∠ECB的余切值是．
【点睛】此题考查解直角三角形、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义．
19． (2023·上海奉贤·统考一模）如图，是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆始终在同一平面内)，连杆垂直于底座且长度为厘米，连杆的长度为厘米，连杆的长度可以进行伸缩调整．
（1）如图，当连杆在一条直线上，且连杆的长度为厘米,时，求点到底座的高度（计算结果保留一位小数）
（2）如图，如果保持不变，转动连杆，使得，假如时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆的长度（计算结果保留一位小数）(参考数据：）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，先求解 再利用 求解，从而可得答案；
（2）作，垂足分别为，证明：四边形为矩形，求解：，从而可得的长度，再利用，利用锐角三角函数可得答案．
【解析】解：（1）过点作，交的延长线于点
，
到底面高度为；
（2）作，垂足分别为
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
的长度为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，矩形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
20． (2023·上海浦东新·统考三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（−3,0）和点B，与y轴相交于点C（0,3），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m>0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．
【答案】(1)，（-1，4）； (2) ；(3) 平移距离为或
【分析】（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题．
（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，证明∠ACD=90°即可解决问题．
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H．设P（a，-a2-2a+3），可得PH=|-a2-2a+3|，AH=a+3，由∠PAB=∠DAC，推出tan∠PAB=tan∠DAC=．接下来分两种情形，构建方程求解即可．
【解析】解：（1）抛物线交轴于点，交轴于点，
根据题意，得：
解得,.
∴抛物线的表达式是，顶点的坐标为（-1，4）；
（2）∵A（-3，0），C（0，3），D（-1，4），
∴，
，
，
∵
∴，
∴，
∴；
（3）过点作轴垂线，垂足为点，
∵点是抛物线上一点，
∴设，可得，，
∵，
∴；
（ⅰ）， 解得（舍去），，
∴点的坐标为，
过点作轴平行线与抛物线交于点，则点与点关于直线对称，
由抛物线的对称性可得，
∴平移距离为；
（ⅱ），解得（舍去），，
∴点的坐标为，
过点作轴平行线与抛物线交于点，则点与点关于直线对称，
由抛物线的对称性可得，
∴平移距离为，
综上所述，平移距离为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21． (2023·上海嘉定·统考一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，．点F是线段上一点，连接，．
（1）如果，求线段的长；
（2）如果．
①求证：；
②求线段的长．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．
【分析】（1）如图：作，设、FG=2k,然后用k表示出BG，在根据AG+BG=AB求出K即可完成解答；
（2）①作，先用矩形的性质和解三角形的相关知识求得EG、CG、FG，最后说明即可证明；
②直接运用线段的和差计算即可．
【解析】解：（1）如图：作，设，
∵
∴,即，
∵
∴，
∴，即
∵AG+BG=AB
∴．
∴，
∴；
（2）作，
①∵矩形ABCD
∴BC=AD=8,CD=AB=6
∴=4
∵
∴即DE=4,
∴CE=CD-DE=6-4=2,
∵∠CEG=∠DEA
∴tan∠CEG=tan∠DEA=2
∴tan∠CEG=2=
设EG=m,则CG=2m
∴,即，解得m=
∴，
∴．
∴
∴；
②．
【点睛】本题属于三角函数的综合题，主要考查了解三角形、正切以及勾股定理等内容，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
锐角三角比也是中考数学重点和难点，中考中在选择题、填空题，解答题均有几率出现，尤其是填空压轴题，与二次函数结合，在解答压轴题中应用有很大概率作为中考难点考查，主要考查基本概念、几何推理与证明以及相关应用．
1.了解锐角三角比的概念，能够正确应用sinA 、csA、tanA、ctA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.
2．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.
一、锐角三角比的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即；
同理；；．
知识要点：
(1)锐角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，csA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cs与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角比值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角比的定义知：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．
二、特殊角的三角比的比值
利用锐角三角比的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，归纳如下：
知识要点：
(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比的比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
三、锐角三角比之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
四、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
边边关系：勾股定理，即；
边角关系：锐角三角函数，即
知识要点：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
一、单选题
1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A．B．C．D．
2．已知在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．在中，，，，则_______
8．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________．
9．如图，在中，，垂足为点，若，，则等于 _____．
10．如图，在中，，为上一点，，，．则＝_____．
11．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，则BC的长度为______．
12．在△ABC中，，，，则______________．
13．在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值为______．
14．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝_____．
15．勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，同时留下一个小正方形的空隙（如图），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形的面积是，，那么大正方形的面积等于__________．
16．如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是______．
17．将一副三角板如图摆放，使得一块三角板的直角边AC和另一块三角板的斜边ME重叠，点A与点M重合，已知AB=AC=8，则重叠的面积是__________．
18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于_____．
三、解答题
19．如图，已知在中，为锐角，是边上的高，， ．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
20．如图，已知在四边形中，，，，．
(1)的长；
(2)如果点E为的中点，连接，求的正切值．
21．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求：
(1)线段的长；
(2)的余弦值．
22．如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E．
(1)求证：；
(2)当∠QED等于60°时，求的值．
23．已知点和点．点在轴的负半轴上，且，点的坐标为，直线l经过点C、D．
(1)求直线l的表达式；
(2)点P是直线l在第三象限上的点连接、，若线段是线段、的比例中项．
①求证：；
②求的值．
五、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1.解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2.常见的应用问题
(1)坡度：； 坡角:.
(2)方位角：
(3)仰角与俯角：
要点：
1．解直角三角形的常见类型及解法：
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
一、单选题
1．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．6米B．米C．米D． 米
2．在离铁塔底部米的地面处测得铁塔塔顶的仰角为，那么铁塔的高为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（ ）
A．千米B．千米C．1千米D．千米
4．如图，一块矩形木板斜靠在墙边（，点，，，，在同一平面内）．已知，，，则点到的距离等于（ ）
A．B．
C．D．
5．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向上走到30米处的D点．再测得顶点A的仰角为22°，已知CD的坡度：i=1：2，A、B、C、D在同一平面内，则高楼AB的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．60B．70C．80D．90
6．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．16.8 米B．28.8 米C．40.8 米D．64.8 米
7．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的同一水平线的处，测得米，沿坡度的斜坡走到点，测得塔顶仰角为37，再沿水平方向走20米到处，测得塔顶的仰角为22，则塔高为（ ）米．（结果精确到十分位）（，，，，，）
A．米B．米C．20米D．米
8．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A．B．C．D．
二、填空题
9．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4米．如果在山坡上种树，也要求株距为4米，则相邻两树间的坡面距离5米，则此山坡的坡度为______．
10．如图，在甲楼的底部B处测得乙楼的顶部D点的仰角为，在甲楼的顶部A处测得乙楼的顶部D点的俯角为，如果乙楼的高米，那么甲楼的高______米（用含，的代数式表示）．
11．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为______．
12．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为，已知的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为______米．
13．如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点距地面的高度为__________米．
14．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点处，另一端在边上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得，，长为32厘米，则的长为_______ 厘米．
三、解答题
15．某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡长为13米，它的坡度为，，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为，即（此时点、、在同一直线上）．求斜坡改进后的起点与原起点的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，）
16．如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，坡度，小明在斜坡下端处测得楼顶点的仰角为60°，在斜坡上的点处测得楼顶的的仰角为30°，与地面垂直，垂足为，其中点、、在同一直线上．
(1)求的值；
(2)求大楼的高度（结果保留根号）
17．某地一居民的窗户朝南．窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为．若你是一名设计师，请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．根据测量测得，，米．若同时满足下面两个条件（1）当太阳光与地面的夹角是时，太阳光刚好射入室内；（2）当太阳光与地面的夹角是时，太阳光刚好不射入室内．请你求出直角形遮阳蓬中的长、离地面的高度．
18．有一把长为6米的梯子，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为，地面与墙面互相垂直（如图1所示），一般满足时，人才能安全地使用这架梯子．
(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时，求的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？
(2)当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑 ，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．
19．圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气，并以此作为指导农事活动的重要依据．例如，我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．
某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即的长）约为多少米？（参考数据见表1，结果精确到个位）
表1
（注：表1中三角比的值是近似值）
一、单选题
1． (2023·上海闵行·一模）已知在中，，，，那么AC的长为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·上海·统考一模）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）
A．2sinαB．2csαC．D．
3． (2023·上海奉贤·校联考一模）如图，在直角坐标平面内，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tanα＝3，那么点A的坐标是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（1，）D．（3，）
4． (2023·上海浦东新·统考一模）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )
A．千米B．千米C．千米D．千米
5． (2023·上海徐汇·统考一模）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点的俯角为60°，那么此时小李离着落点的距离是（ ）
A．200米B．400米C．米D．米
6． (2023·上海松江·统考一模）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（ ）
A．15千米B．10千米C．千米D．千米
二、填空题
7． (2023·上海长宁·统考二模）已知正六边形外接圆的半径为3，那么它的边心距为 _____．
8． (2023·上海奉贤·统考三模）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为，那么________．
9． (2023·上海·统考一模）在中，，如果，，那么________________．
10． (2023·上海徐汇·校联考中考模拟）在中，，是边上的中线，如果，那么的值是__________．
11． (2023·上海青浦·统考一模）如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为_____米．
12． (2023·上海·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是_____．
13． (2023·上海徐汇·校考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，csB＝，则＝_____．
14． (2023·上海·二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，联结BD．将△ABC绕着点A逆时针旋转，点B恰好落在射线BD上的点E处，点C落在点F处，联结FD、FC．如果AB＝1，BC＝2时，那么∠CFD的正切值是____．
三、解答题
15． (2023·上海·上海市进才中学校考一模）如图，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足为 D．
(1)求 BD 的长；
(2)设，，用，表示．
16． (2023·上海嘉定·统考一模）如图，在中，，．
（1）求边的长度；
（2）求的值．
17． (2023·上海杨浦·统考二模）如图，已知在平行四边形中，过点D作，垂足为点E，．
(1)求平行四边形的面积；
(2)连接，求的值．
18． (2023·上海浦东新·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
19． (2023·上海奉贤·统考一模）如图，是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆始终在同一平面内)，连杆垂直于底座且长度为厘米，连杆的长度为厘米，连杆的长度可以进行伸缩调整．
（1）如图，当连杆在一条直线上，且连杆的长度为厘米,时，求点到底座的高度（计算结果保留一位小数）
（2）如图，如果保持不变，转动连杆，使得，假如时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆的长度（计算结果保留一位小数）(参考数据：）
20． (2023·上海浦东新·统考三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（−3,0）和点B，与y轴相交于点C（0,3），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m>0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．
21． (2023·上海嘉定·统考一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，．点F是线段上一点，连接，．
（1）如果，求线段的长；
（2）如果．
①求证：；
②求线段的长．
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
专题16 锐角三角比
锐角三角比也是中考数学重点和难点，中考中在选择题、填空题，解答题均有几率出现，尤其是填空压轴题，与二次函数结合，在解答压轴题中应用有很大概率作为中考难点考查，主要考查基本概念、几何推理与证明以及相关应用．
1.了解锐角三角比的概念，能够正确应用sinA 、csA、tanA、ctA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.
2．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.
一、锐角三角比的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即；
同理；；．
知识要点：
(1)锐角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，csA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cs与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角比值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角比的定义知：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．
二、特殊角的三角比的比值
利用锐角三角比的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，归纳如下：
知识要点：
(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比的比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
三、锐角三角比之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
四、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
边边关系：勾股定理，即；
边角关系：锐角三角函数，即
知识要点：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
一、单选题
1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出ctA＝即可得出答案．
【解析】解：如图所示：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴ctA＝＝，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键，本题是道基础题，比较简单．
2．已知在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解．
【解析】
∵在中，，，
∴，
设，则，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．
3．在中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，再把已知条件代入即可得到答案．
【解析】解：∵，，，，
∴ ，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了锐角三角函数的含义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
4．如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案．
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB，
∴,
又∵CD＝3，
∴AB＝6，
，
∴＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．
5．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
【答案】B
【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．
【解析】解：如图，分别作出两三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作DM⊥CE，根据折叠的性质得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后结合已知条件求出DM和EM的长度，最后在Rt△EDM中运用勾股定理求解即可．
【解析】如图所示，作DM⊥CE于M点，
∵∠ABC＝90°，，
∴，则∠CAB=30°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=30°，
根据折叠的性质得：∠ACE=∠ACB=60°，，
∴∠ECD=30°，
设DM=x，则CD=2x，MC=x，
∴EM=EC-MC=-x，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，，
∴在Rt△EDM中，，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的翻折问题，涉及到勾股定理，解直角三角形等知识点，理解并熟练运用正切函数的定义是解题关键．
二、填空题
7．在中，，，，则_______
【答案】##0.5
【分析】根据的正弦求出，再根据30°的正弦值求解即可．
【解析】解：如图所示，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
8．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________．
【答案】
【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可．
【解析】解：如图，过作于，
∴，
∵小正方形的边长为，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．如图，在中，，垂足为点，若，，则等于 _____．
【答案】
【分析】先利用等腰直角三角形的正弦算出，再运用正切算出的值．
【解析】解：∵，
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟练运用特殊角的正弦值是解题的关键．
10．如图，在中，，为上一点，，，．则＝_____．
【答案】
【分析】根据以及勾股定理可得BC=4，AC=3，从而得到CD=3，进而得到，过点D作DE⊥AB于点E，再由，可得，即可求解．
【解析】解：∵，，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵，
∴，解得：k=1或1（舍去），
∴BC=4，AC=3，
∵，
∴AC=CD，
∴，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵BD=1，
∴，解得：或（舍去），
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，则BC的长度为______．
【答案】
【分析】作DE∥AC交AB于E，如图，根据平行线的性质得∠ADE＝90，由点D是BC的中点得到DE为△ABC的中位线，则DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，在Rt△ADE中，根据正切的定义得tan∠EAD＝＝，设DE＝x，则AD＝2x，根据勾股定理得（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，则DE＝2，AD＝4，所以AC＝4，然后根据勾股定理计算出CD＝，再利用BC＝2CD计算即可．
【解析】作DE∥AC交AB于E，如图，
∵DA⊥AC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADE＝90，
∵点D是BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，
在Rt△ADE中，tan∠EAD＝＝，
设DE＝x，则AD＝2x，
∵AD2＋DE2＝AE2，
∴（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，
∴DE＝2，AD＝4，
∴AC＝2DE=4，
∴CD＝，
∴BC＝2CD＝
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，解题的关键的根据题意作出辅助线，利用中位线的性质求解．
12．在△ABC中，，，，则______________．
【答案】或
【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
【解析】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．
13．在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值为______．
【答案】##0.5
【分析】如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，根据进行求解即可．
【解析】解：如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，
∵A点坐标为（1，2），
∴OB=1，AB=2，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角函数，解题的关键在于能够根据题意得到．
14．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝_____．
【答案】
【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC⊥BD，根据∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，进而得到∠AOE＝∠BAO，再由AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值．
【解析】∵菱形对角线互相垂直，
∴∠OEA＝∠AOB，
∵∠OAE＝∠BAO，
∴△OAE∽△ABO，
∴∠AOE＝∠ABO，
∵AO＝AC＝2，AB＝6，
∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝＝．
故答案为：．
【点睛】考查了相似三角形判定和性质、三角形中正弦函数的计算，解题关键是证明三角形相似再利用其性质得到∠AOE=∠ABO．
15．勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，同时留下一个小正方形的空隙（如图），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形的面积是，，那么大正方形的面积等于__________．
【答案】
【分析】由题意知小正方形边长为2，运用正弦函数定义求解．
【解析】解：由题意知小正方形边长为2，∴FG=2，
设BF=x，BG=2+x，∵△BGC≌△AFB，
∴CG=BF=x，
∵sin∠GBC=
∴ BC=
由勾股定理得:
解得：x=1或x=﹣ （舍去）
BC=
大正方形的面积=
故答案为：10．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形面积是解题的关键．
16．如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是______．
【答案】
【分析】作，使，，再延长BC到点，使，联结，即可得，设，然后用t表示出CD，最后根据余切的定义作答即可．
【解析】解：如图：作，使，，再延长CB到点，使，联结，即可得
设，则BC=t，AB=BD=t
所以DC=BC+AB=t+t=（1+）t
所以．
故答案为．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形和三角函数，构造出含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°角的直角三角形成为解答本题的关键．
17．将一副三角板如图摆放，使得一块三角板的直角边AC和另一块三角板的斜边ME重叠，点A与点M重合，已知AB=AC=8，则重叠的面积是__________．
【答案】
【分析】过Q作QH⊥AC于H，在△QHC中，由于∠QCH=45°，则CH=QH，设CH=，则QH=x，在Rt△QHA中，由于∠QAH=60°，求得AH=，然后利用CH+AH=AC求得的值，再根据三角形面积公式计算得到结果．
【解析】过Q作QH⊥AC于H，如图，
∠ACB=45°，∠DME=60°，AC=8，
在△QHC中，∠QCH=45°，
∴CH=QH，
设CH=x，则QH=x，
在Rt△QHA中，∠QAH=60°，
∴AH= =，
∵CH+AH=AC，
∴，
解得：，
∴QH•AC，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形，利用条件求得AC边上的高是解题的关键．
18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于_____．
【答案】##
【分析】如图，过点A作AH⊥CE于H．先证明AK＝AC，推出HK＝CH，进而得到AK＝AD＝2即可解答．
【解析】解：如图，过点A作AH⊥CE于H.
∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，
∴∠E＝∠BAC，
∵CE＝EG，
∴∠CGE＝∠ECG，
∵∠BAC+∠GAK＝180°，
∴∠E+∠GAK＝180°，
∴∠AGE+∠AKE＝180°，
∵∠AKE+∠AKC＝180°，
∴∠AKC＝∠CGE，
∴∠AKC＝∠ACK，
∴AC＝AK＝2，
∵AH⊥CK，
∴KH＝CH，
∵∠AHE＝∠DCK＝90°，
∴AH∥CD，
∴KA＝AD，
∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，
∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝＝，
∴BD＝AB+AD＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确添加辅助线、构造三角形的中位线是解得本题的关键．
三、解答题
19．如图，已知在中，为锐角，是边上的高，， ．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
【答案】(1)长为20．
(2)的正弦．
【分析】（1）由的余弦求出的长，得到长，由勾股定理即可解决问题．
（2）过C作于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．
【解析】（1）
（2）作于H
的面积
的正弦值是
【点睛】本题考查的是解直角三角形，关键是作出恰当的辅助线．
20．如图，已知在四边形中，，，，．
(1)的长；
(2)如果点E为的中点，连接，求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用三角函数求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）首先证明，推出，由此即可解决问题；
【解析】（1）解：在中，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求：
(1)线段的长；
(2)的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），根据题意，，，可得AD的长度，根据勾股定理得，由的长度，则，计算即可得出答案；
对于（2），过点作，垂足为，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，
，则，根据勾股定理可得，
在中，由计算即可得出答案．
【解析】（1）∵，，
∴．
∵，，
根据勾股定理，得，
∴，，
∴，
∴；
（2）过点E作，垂足为，如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
22．如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E．
(1)求证：；
(2)当∠QED等于60°时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠CAD=∠BDC=45°，∠OBP+∠OPB=90°，再由，可得∠OBP=∠OPE，即可求证；
（2）设OE=a，根据∠QED等于60°，可得∠BEP=60°，然后利用锐角三角函数，可得BD=2OB=6a， ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求解．
（1）
证明：在正方形ABCD中，
∠CAD=∠BDC=45°，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∴∠OBP+∠OPB=90°，
∵，
∴∠BPQ=90°，
∴∠OPE+∠OPB=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
∴；
（2）
解：设OE=a，
在正方形ABCD中，∠POE=90°，OA=OB=OD，
∵∠QED等于60°，
∴∠BEP=60°，
在 中，
，，
∵，∠BEP=60°，
∴∠PBE=30°，
∴， ，
∴OA=OB=BE-OE=3a，
∴BD=2OB=6a，
∴ ，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
23．已知点和点．点在轴的负半轴上，且，点的坐标为，直线l经过点C、D．
(1)求直线l的表达式；
(2)点P是直线l在第三象限上的点连接、，若线段是线段、的比例中项．
①求证：；
②求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，，求得，得到，然后利用待定系数法求解即可；
（2）①根据线段是线段、的比例中项，得到，然后根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
②过点P作轴于H，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】（1）∵，，
∴，
∵，点在轴的负半轴上，
∴，
设直线l的表达式为，
∵，在直线上，
∴，
∴，
∴直线l的表达式为；
（2）①∵线段是线段、的比例中项，
∴，
又∵是公共角，
∴；
②∵，，
∴，
∴解得，
∵，
∴，过点P作轴于H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得是解题的关键．
五、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1.解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2.常见的应用问题
(1)坡度：； 坡角:.
(2)方位角：
(3)仰角与俯角：
要点：
1．解直角三角形的常见类型及解法：
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
一、单选题
1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出ctA＝即可得出答案．
【解析】解：如图所示：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴ctA＝＝，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键，本题是道基础题，比较简单．
2．已知在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解．
【解析】
∵在中，，，
∴，
设，则，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．
3．在中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，再把已知条件代入即可得到答案．
【解析】解：∵，，，，
∴ ，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了锐角三角函数的含义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
4．如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案．
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB，
∴,
又∵CD＝3，
∴AB＝6，
，
∴＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．
5．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（ ）
A．B．C．D．以上都有可能
【答案】B
【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．
【解析】解：如图，分别作出两三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作DM⊥CE，根据折叠的性质得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后结合已知条件求出DM和EM的长度，最后在Rt△EDM中运用勾股定理求解即可．
【解析】如图所示，作DM⊥CE于M点，
∵∠ABC＝90°，，
∴，则∠CAB=30°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=30°，
根据折叠的性质得：∠ACE=∠ACB=60°，，
∴∠ECD=30°，
设DM=x，则CD=2x，MC=x，
∴EM=EC-MC=-x，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，，
∴在Rt△EDM中，，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的翻折问题，涉及到勾股定理，解直角三角形等知识点，理解并熟练运用正切函数的定义是解题关键．
二、填空题
7．在中，，，，则_______
【答案】##0.5
【分析】根据的正弦求出，再根据30°的正弦值求解即可．
【解析】解：如图所示，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
8．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________．
【答案】
【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可．
【解析】解：如图，过作于，
∴，
∵小正方形的边长为，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．如图，在中，，垂足为点，若，，则等于 _____．
【答案】
【分析】先利用等腰直角三角形的正弦算出，再运用正切算出的值．
【解析】解：∵，
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟练运用特殊角的正弦值是解题的关键．
10．如图，在中，，为上一点，，，．则＝_____．
【答案】
【分析】根据以及勾股定理可得BC=4，AC=3，从而得到CD=3，进而得到，过点D作DE⊥AB于点E，再由，可得，即可求解．
【解析】解：∵，，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵，
∴，解得：k=1或1（舍去），
∴BC=4，AC=3，
∵，
∴AC=CD，
∴，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵BD=1，
∴，解得：或（舍去），
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，则BC的长度为______．
【答案】
【分析】作DE∥AC交AB于E，如图，根据平行线的性质得∠ADE＝90，由点D是BC的中点得到DE为△ABC的中位线，则DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，在Rt△ADE中，根据正切的定义得tan∠EAD＝＝，设DE＝x，则AD＝2x，根据勾股定理得（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，则DE＝2，AD＝4，所以AC＝4，然后根据勾股定理计算出CD＝，再利用BC＝2CD计算即可．
【解析】作DE∥AC交AB于E，如图，
∵DA⊥AC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADE＝90，
∵点D是BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，
在Rt△ADE中，tan∠EAD＝＝，
设DE＝x，则AD＝2x，
∵AD2＋DE2＝AE2，
∴（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，
∴DE＝2，AD＝4，
∴AC＝2DE=4，
∴CD＝，
∴BC＝2CD＝
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，解题的关键的根据题意作出辅助线，利用中位线的性质求解．
12．在△ABC中，，，，则______________．
【答案】或
【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
【解析】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．
13．在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值为______．
【答案】##0.5
【分析】如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，根据进行求解即可．
【解析】解：如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，
∵A点坐标为（1，2），
∴OB=1，AB=2，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角函数，解题的关键在于能够根据题意得到．
14．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝_____．
【答案】
【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC⊥BD，根据∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，进而得到∠AOE＝∠BAO，再由AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值．
【解析】∵菱形对角线互相垂直，
∴∠OEA＝∠AOB，
∵∠OAE＝∠BAO，
∴△OAE∽△ABO，
∴∠AOE＝∠ABO，
∵AO＝AC＝2，AB＝6，
∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝＝．
故答案为：．
【点睛】考查了相似三角形判定和性质、三角形中正弦函数的计算，解题关键是证明三角形相似再利用其性质得到∠AOE=∠ABO．
15．勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，同时留下一个小正方形的空隙（如图），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形的面积是，，那么大正方形的面积等于__________．
【答案】
【分析】由题意知小正方形边长为2，运用正弦函数定义求解．
【解析】解：由题意知小正方形边长为2，∴FG=2，
设BF=x，BG=2+x，∵△BGC≌△AFB，
∴CG=BF=x，
∵sin∠GBC=
∴ BC=
由勾股定理得:
解得：x=1或x=﹣ （舍去）
BC=
大正方形的面积=
故答案为：10．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形面积是解题的关键．
16．如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是______．
【答案】
【分析】作，使，，再延长BC到点，使，联结，即可得，设，然后用t表示出CD，最后根据余切的定义作答即可．
【解析】解：如图：作，使，，再延长CB到点，使，联结，即可得
设，则BC=t，AB=BD=t
所以DC=BC+AB=t+t=（1+）t
所以．
故答案为．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形和三角函数，构造出含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°角的直角三角形成为解答本题的关键．
17．将一副三角板如图摆放，使得一块三角板的直角边AC和另一块三角板的斜边ME重叠，点A与点M重合，已知AB=AC=8，则重叠的面积是__________．
【答案】
【分析】过Q作QH⊥AC于H，在△QHC中，由于∠QCH=45°，则CH=QH，设CH=，则QH=x，在Rt△QHA中，由于∠QAH=60°，求得AH=，然后利用CH+AH=AC求得的值，再根据三角形面积公式计算得到结果．
【解析】过Q作QH⊥AC于H，如图，
∠ACB=45°，∠DME=60°，AC=8，
在△QHC中，∠QCH=45°，
∴CH=QH，
设CH=x，则QH=x，
在Rt△QHA中，∠QAH=60°，
∴AH= =，
∵CH+AH=AC，
∴，
解得：，
∴QH•AC，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形，利用条件求得AC边上的高是解题的关键．
18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于_____．
【答案】##
【分析】如图，过点A作AH⊥CE于H．先证明AK＝AC，推出HK＝CH，进而得到AK＝AD＝2即可解答．
【解析】解：如图，过点A作AH⊥CE于H.
∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，
∴∠E＝∠BAC，
∵CE＝EG，
∴∠CGE＝∠ECG，
∵∠BAC+∠GAK＝180°，
∴∠E+∠GAK＝180°，
∴∠AGE+∠AKE＝180°，
∵∠AKE+∠AKC＝180°，
∴∠AKC＝∠CGE，
∴∠AKC＝∠ACK，
∴AC＝AK＝2，
∵AH⊥CK，
∴KH＝CH，
∵∠AHE＝∠DCK＝90°，
∴AH∥CD，
∴KA＝AD，
∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，
∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝＝，
∴BD＝AB+AD＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确添加辅助线、构造三角形的中位线是解得本题的关键．
三、解答题
19．如图，已知在中，为锐角，是边上的高，， ．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
【答案】(1)长为20．
(2)的正弦．
【分析】（1）由的余弦求出的长，得到长，由勾股定理即可解决问题．
（2）过C作于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．
【解析】（1）
（2）作于H
的面积
的正弦值是
【点睛】本题考查的是解直角三角形，关键是作出恰当的辅助线．
20．如图，已知在四边形中，，，，．
(1)的长；
(2)如果点E为的中点，连接，求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用三角函数求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）首先证明，推出，由此即可解决问题；
【解析】（1）解：在中，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求：
(1)线段的长；
(2)的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），根据题意，，，可得AD的长度，根据勾股定理得，由的长度，则，计算即可得出答案；
对于（2），过点作，垂足为，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，
，则，根据勾股定理可得，
在中，由计算即可得出答案．
【解析】（1）∵，，
∴．
∵，，
根据勾股定理，得，
∴，，
∴，
∴；
（2）过点E作，垂足为，如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
22．如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，，QP交BD于点E．
(1)求证：；
(2)当∠QED等于60°时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠CAD=∠BDC=45°，∠OBP+∠OPB=90°，再由，可得∠OBP=∠OPE，即可求证；
（2）设OE=a，根据∠QED等于60°，可得∠BEP=60°，然后利用锐角三角函数，可得BD=2OB=6a， ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求解．
（1）
证明：在正方形ABCD中，
∠CAD=∠BDC=45°，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∴∠OBP+∠OPB=90°，
∵，
∴∠BPQ=90°，
∴∠OPE+∠OPB=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
∴；
（2）
解：设OE=a，
在正方形ABCD中，∠POE=90°，OA=OB=OD，
∵∠QED等于60°，
∴∠BEP=60°，
在 中，
，，
∵，∠BEP=60°，
∴∠PBE=30°，
∴， ，
∴OA=OB=BE-OE=3a，
∴BD=2OB=6a，
∴ ，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
23．已知点和点．点在轴的负半轴上，且，点的坐标为，直线l经过点C、D．
(1)求直线l的表达式；
(2)点P是直线l在第三象限上的点连接、，若线段是线段、的比例中项．
①求证：；
②求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，，求得，得到，然后利用待定系数法求解即可；
（2）①根据线段是线段、的比例中项，得到，然后根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
②过点P作轴于H，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】（1）∵，，
∴，
∵，点在轴的负半轴上，
∴，
设直线l的表达式为，
∵，在直线上，
∴，
∴，
∴直线l的表达式为；
（2）①∵线段是线段、的比例中项，
∴，
又∵是公共角，
∴；
②∵，，
∴，
∴解得，
∵，
∴，过点P作轴于H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得是解题的关键．
一、单选题(共0分)
1． (2023·上海闵行·一模）已知在中，，，，那么AC的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解析】解：在Rt△ABC中，
sinβ=，
∴AC=AB•sinβ=5sinβ，
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
2． (2023·上海·统考一模）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）
A．2sinαB．2csαC．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．
【解析】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，
过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，
设BE＝x，
∵∠ABE＝α，
∴AB＝，
∴BC＝AB＝，
∴重叠部分的面积是：×1＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．
3． (2023·上海奉贤·校联考一模）如图，在直角坐标平面内，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tanα＝3，那么点A的坐标是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（1，）D．（3，）
【答案】A
【分析】过点A作AB⊥x轴于点B，由于tanα=3，设AB=3x，OB=x，根据勾股定理列出方程即可求出x的值，从而可求出点A的坐标．
【解析】过点A作AB⊥x轴于点B，由于tanα=3，∴，设AB=3x，OB=x．
∵OA，∴由勾股定理可知：9x2+x2=10，∴x2=1，∴x=1，∴AB=3，OB=1，∴A的坐标为（1，3）．
故选A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练作出辅助线后，利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．
4． (2023·上海浦东新·统考一模）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )
A．千米B．千米C．千米D．千米
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.
【解析】在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO= PO- PO= . 所以答案选A.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.
5． (2023·上海徐汇·统考一模）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点的俯角为60°，那么此时小李离着落点的距离是（ ）
A．200米B．400米C．米D．米
【答案】D
【分析】已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．
【解析】根据题意，此时小李离着落点A的距离是，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
6． (2023·上海松江·统考一模）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（ ）
A．15千米B．10千米C．千米D．千米
【答案】C
【分析】根据题意，利用，根据锐角三角函数求出AD和BD的长，从而得到CD的长，再用勾股定理求出AC的长．
【解析】解：如图，
根据题意，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．
二、填空题(共0分)
7． (2023·上海长宁·统考二模）已知正六边形外接圆的半径为3，那么它的边心距为 _____．
【答案】
【分析】根据正六边形的性质得到∠BOG＝∠BOC＝30°，再根据余弦的定义计算即可；
【解析】解：∵ABCDDEF为正六边形，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，OG⊥BC．
∴∠BOG＝∠BOC＝30°．
在Rt△BOG中，cs∠BOG＝．
∵OB＝3，
∴OG＝OB•cs∠BOG＝3×＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质和余弦的性质，准确分析计算是解题的关键．
8． (2023·上海奉贤·统考三模）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为，那么________．
【答案】
【分析】坡比坡角的正切值， 设竖直直角边为，水平直角边为，由勾股定理求出斜边， 进而可求出的正弦值 ．
【解析】解： 如图所示：
由题意，得：，
设竖直直角边为，水平直角边为，
则斜边，
则．
故答案为．
【点睛】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．
9． (2023·上海·统考一模）在中，，如果，，那么________________．
【答案】
【分析】直接根据，将已知条件代入，便可求出AC.
【解析】∵=2，，
∴，
故答案为：6.
【点睛】本题考查余切的定义，正确掌握余切的公式是解题的关键.
10． (2023·上海徐汇·校联考中考模拟）在中，，是边上的中线，如果，那么的值是__________．
【答案】
【分析】设CD=a，根据题意求出BC和AD，根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解析】如图：
设CD=a，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=2CD=2a，
∴AD=2BC=4a，
由勾股定理得，AC==a，
∴cs∠CAD===，
故答案为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握勾股定理、余弦的定义是解题的关键．
11． (2023·上海青浦·统考一模）如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为_____米．
【答案】39．
【分析】直接利用坡度的定义得出EC的长，进而利用勾股定理得出答案．
【解析】过点D作DE⊥BC于点E，
∵坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，
∴DE＝15m，
则，
故EC＝2.4×15＝36（m），
则在Rt△DEC中，
DC＝＝39（m）．
故答案为39．
【点睛】此题主要考查了坡度的定义，正确得出EC的长是解题关键．
12． (2023·上海·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是_____．
【答案】2．
【分析】在中，根据直角三角形的边角关系求出CD，根据勾股定理求出BD，在在中，再求出AB即可．
【解析】解：在Rt△BDC中，
∵BC＝4，sin∠DBC＝，
∴，
∴，
∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，
∴∠A＝∠DBC，
在Rt△ABD中，
∴，
故答案为：2．
【点睛】考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．
13． (2023·上海徐汇·校考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，csB＝，则＝_____．
【答案】.
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，设BD＝5x，AB＝13x，根据勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根据相似三角形的性质得到BE＝x，CE＝x，于是得到结论．
【解析】∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵csB＝，
设BD＝5x，AB＝13x，
∴AD＝＝12x，
∴BC＝2BD＝10x，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴，
∴，
∴BE＝x，CE＝x，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
14． (2023·上海·二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，联结BD．将△ABC绕着点A逆时针旋转，点B恰好落在射线BD上的点E处，点C落在点F处，联结FD、FC．如果AB＝1，BC＝2时，那么∠CFD的正切值是____．
【答案】
【分析】旋转后如图示，过A作于 过作于 过作 交的延长线于 过作于证明四边形是矩形，再证明设 则 可得 求解 可得 连接 设 则 由建立方程求解，从而可得答案.
【解析】解：旋转后如图示，过A作于 过作于 过作 交的延长线于 过作于
为的中点，
由旋转可得：
四边形是矩形，
同理可得：
设 则
则 所以
而
而
连接
设 则
由
解得： 则
故答案为：
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握各图形之间的联系，作出正确的辅助线是解题的关键，是难度大的压轴题.
三、解答题(共0分)
15． (2023·上海·上海市进才中学校考一模）如图，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足为 D．
(1)求 BD 的长；
(2)设，，用，表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解直角三角形，先求出CD的长度，然后求出AD，由等角的三角函数值相等，有，即可求出BD的长度；
（2）由（1）可求AB的长度，根据三角形法则，求出，然后求出.
（1）
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，，
∴．
∴，
∴．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠B =∠A+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A．
∴；
（2）
解：∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，向量的运算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形求三角形的各边长度.
16． (2023·上海嘉定·统考一模）如图，在中，，．
（1）求边的长度；
（2）求的值．
【答案】（1）12；（2）
【分析】（1）作，根据求出AE，再根据勾股定理求出BE，利用等腰三角形的三线合一的性质得到BC；
（2））作，由AB=AC，证得∠B=∠C，得到csC=，，求出CF，AF，即可得到答案．
【解析】（1）作，垂足为点E．
∵，AB=10，
∴，
∴=6，
∴；
（2）作，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴csC=，
∴，
∴，
∴，
∴．
．
【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，同角的三角函数值相等，引出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17． (2023·上海杨浦·统考二模）如图，已知在平行四边形中，过点D作，垂足为点E，．
(1)求平行四边形的面积；
(2)连接，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），在中，根据，求出AE，再根据勾股定理求出DE，进而求出面积即可；
对于（2），作，根据平行四边形的性质得，可求出EB，进而求出EF，根据勾股定理求CE，最后根据得出答案．
（1）
∵，
∴．
在中，．
又，
∴．
在中，，
∴
∴．
（2）
过E作，与的延长线交于点F．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，，又，
∴．
在中，．
在中，．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，勾股定理等，构造直角三角形是解题的关键．
18． (2023·上海浦东新·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据锐角三角函数定义即可求出AE的长；
（2）过点E作EH⊥AC于点H．根据等腰直角三角形的性质可得EH＝AH的值，再根据三角函数即可求出∠ACE的余切值．
【解析】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵DE⊥AB，
∴在Rt△DEB中，csB＝．
∴BE＝，
在Rt△ACB中，AB＝＝4，
∴AE＝.
（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．
∴在Rt△AHE中，csA＝，
AH=AE•cs45°=，
∴CH＝AC−AH＝4−＝ ，
∴EH=AH=，
∴在Rt△CHE中，ct∠ECB=，
即∠ECB的余切值是．
【点睛】此题考查解直角三角形、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义．
19． (2023·上海奉贤·统考一模）如图，是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆始终在同一平面内)，连杆垂直于底座且长度为厘米，连杆的长度为厘米，连杆的长度可以进行伸缩调整．
（1）如图，当连杆在一条直线上，且连杆的长度为厘米,时，求点到底座的高度（计算结果保留一位小数）
（2）如图，如果保持不变，转动连杆，使得，假如时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆的长度（计算结果保留一位小数）(参考数据：）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，先求解 再利用 求解，从而可得答案；
（2）作，垂足分别为，证明：四边形为矩形，求解：，从而可得的长度，再利用，利用锐角三角函数可得答案．
【解析】解：（1）过点作，交的延长线于点
，
到底面高度为；
（2）作，垂足分别为
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
的长度为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，矩形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
20． (2023·上海浦东新·统考三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（−3,0）和点B，与y轴相交于点C（0,3），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m>0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．
【答案】(1)，（-1，4）； (2) ；(3) 平移距离为或
【分析】（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题．
（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，证明∠ACD=90°即可解决问题．
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H．设P（a，-a2-2a+3），可得PH=|-a2-2a+3|，AH=a+3，由∠PAB=∠DAC，推出tan∠PAB=tan∠DAC=．接下来分两种情形，构建方程求解即可．
【解析】解：（1）抛物线交轴于点，交轴于点，
根据题意，得：
解得,.
∴抛物线的表达式是，顶点的坐标为（-1，4）；
（2）∵A（-3，0），C（0，3），D（-1，4），
∴，
，
，
∵
∴，
∴，
∴；
（3）过点作轴垂线，垂足为点，
∵点是抛物线上一点，
∴设，可得，，
∵，
∴；
（ⅰ）， 解得（舍去），，
∴点的坐标为，
过点作轴平行线与抛物线交于点，则点与点关于直线对称，
由抛物线的对称性可得，
∴平移距离为；
（ⅱ），解得（舍去），，
∴点的坐标为，
过点作轴平行线与抛物线交于点，则点与点关于直线对称，
由抛物线的对称性可得，
∴平移距离为，
综上所述，平移距离为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21． (2023·上海嘉定·统考一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，．点F是线段上一点，连接，．
（1）如果，求线段的长；
（2）如果．
①求证：；
②求线段的长．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．
【分析】（1）如图：作，设、FG=2k,然后用k表示出BG，在根据AG+BG=AB求出K即可完成解答；
（2）①作，先用矩形的性质和解三角形的相关知识求得EG、CG、FG，最后说明即可证明；
②直接运用线段的和差计算即可．
【解析】解：（1）如图：作，设，
∵
∴,即，
∵
∴，
∴，即
∵AG+BG=AB
∴．
∴，
∴；
（2）作，
①∵矩形ABCD
∴BC=AD=8,CD=AB=6
∴=4
∵
∴即DE=4,
∴CE=CD-DE=6-4=2,
∵∠CEG=∠DEA
∴tan∠CEG=tan∠DEA=2
∴tan∠CEG=2=
设EG=m,则CG=2m
∴,即，解得m=
∴，
∴．
∴
∴；
②．
【点睛】本题属于三角函数的综合题，主要考查了解三角形、正切以及勾股定理等内容，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
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