广东省2024届高三下学期百日冲刺联合学业质量监测试题（一模） 数学 Word版含解析

这是一份广东省2024届高三下学期百日冲刺联合学业质量监测试题（一模） 数学 Word版含解析，共26页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3．本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知随机变量的分布列如下：
则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A. 四边形可能是菱形
B. 四边形一定是正方形
C. 四边形不可能是直角梯形
D. 平面不一定与平面垂直
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（ ）
A 202B. 204C. 206D. 208
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象
10. 已知O为坐标原点，点F为抛物线的焦点，点，直线：交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（ ）
A. B. 存在实数，使得
C. 若，则D. 若直线PA与PB的倾斜角互补，则
11. 将圆柱的下底面圆置于球的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球的内壁相接（球心在圆柱内部）．已知球的半径为3，．若为上底面圆的圆周上任意一点，设与圆柱的下底面所成的角为，圆柱的体积为，则（ ）
A. 可以取到中任意一个值
B.
C. 的值可以是任意小的正数
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式中的系数为，则的值为______．
13. 等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为______．
14. 已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 设锐角三角形的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若点在上（与不重合），且，求的值．
16. 如图，在正四棱柱中，分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏检率时，求临界值和错检率；
（2）设函数，当时，求解析式，并求在区间的最小值．
18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于两点，是双曲线上一点（与不重合），直线的斜率分别为，且．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线，且与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，且，若直线与圆相切，求直线的方程．
19. 已知函数．
（1）判断是否成立，并给出理由；
（2）①证明：当时，；
②证明：当时，．
广东省2024届高三“百日冲刺”联合学业质量监测
数学试卷
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3．本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，且，
则.
故选：D
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，即可求出结果.
【详解】因为，所以，其对应点坐标为，
所以对应的点位于第一象限，
故选：A.
3. 已知随机变量的分布列如下：
则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意可知，
若，则，得，
故充分性满足；
若，则，解得或.
当时，，此时，
当时，，此时，
则或，故必要性不满足.
故选：A.
4. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】令，得，代入曲线，
所以的最小值即为点到直线的距离.
故选：B.
5. 已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A. 四边形可能是的菱形
B. 四边形一定是正方形
C. 四边形不可能是直角梯形
D. 平面不一定与平面垂直
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设得到面，且四边形有外接圆，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，可得点在底面上的投影都是四边形的外心，
所以两射影重合，即有面，且四边形有外接圆，
对于选项A，当四边形是的菱形时，此时四边形没有有外接圆，所以选项A错误，
对于选项B，当四边形是矩形时，显然满足题意，所以选项B错误，
对于选项C，因为直角梯形没有外接圆，一定不合题意，所以选项C正确，
对于选项D，因为面，又面，所以平面，所以选项D错误，

故选：C.
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义结合已知条件解出，，根据焦半径的取值范围即可解出离心率范围，再结合椭圆离心率，即可求解.
【详解】因为，，所以有，
故，，因为，既有，
，解得，又因为椭圆离心率，所以.
故选：
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用余弦的二倍角及积化和差公式，得到，从而得到，即可求出结果.
【详解】因为，
得到，又，所以，
所以，
故选：B
8. 已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（ ）
A. 202B. 204C. 206D. 208
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得到函数是周期为的偶函数，再根据条件得出，，即可求出结果.
【详解】因为，所以①，即有②，
由①②得到，所以函数的周期为，
又是偶函数，所以，得到，即函数为偶函数，
又由，得到，，，
又，所以，故，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】由图像可知：，周期，从而利用周期公式可求出的值，再将点坐标代入解析式可求出的值，从而可得函数解析式，然后利用三角函数的图像和性质逐个分析判断即可
【详解】由图像可知：，周期，∴；
由解得：
故函数
对于A：，故A正确；
对于B：故B正确；
对于C：当时，所以在上不单调．故C错误；
对于D：向右平移个单位得到，再把横坐标伸长为原来的2倍，可得的图象，故D正确．
故选：ABD
10. 已知O为坐标原点，点F为抛物线的焦点，点，直线：交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（ ）
A. B. 存在实数，使得
C. 若，则D. 若直线PA与PB的倾斜角互补，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据抛物线和直线方程可知直线过抛物线焦点，利用焦半径公式可知可判断A错误；联立直线和抛物线方程利用向量数量积公式可知，恒成立，所以B错误；根据可知A，B两点的纵坐标关系，解得其交点坐标代入直线方程可得，即C正确；由直线PA与PB的倾斜角互补，可知，利用韦达定理联立方程即可求出，即D正确.
【详解】由题意可知，抛物线焦点为，准线方程为，
直线恒过，如下图所示：
设，作垂直于准线，垂足为，
根据抛物线定义可知，，易知，所以，
但当时，此时与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此，
所以，即A错误；
联立直线和抛物线方程得；
所以，，
此时，所以，即，
所以不存在实数，使得，故B错误；
若AF＝2FB，由几何关系可得，结合，可得或，即或，
将点坐标代入直线方程可得，所以C正确；
若直线PA与PB的倾斜角互补，则，
即，整理得，
代入，解得或，
当时，直线过点，A与P点重合，不符合题意，所以；即D正确.
故选：CD
11. 将圆柱的下底面圆置于球的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球的内壁相接（球心在圆柱内部）．已知球的半径为3，．若为上底面圆的圆周上任意一点，设与圆柱的下底面所成的角为，圆柱的体积为，则（ ）
A. 可以取到中任意一个值
B.
C. 的值可以是任意小的正数
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先画出平面图，得到圆柱的底面半径，高为，代入圆柱体积公式求解，再令，利用导数求最值.
【详解】
过R作圆柱的轴截面，过O作交圆柱轴截面的边于M，N，
由与圆柱下底面所成的角为，则，所以，
即，故B正确；
当点P，Q均在球面上时，角取得最小值，此时，所以，
所以，故A错误；
令，所以，
所以，另，
解得两根，
所以，
所以在时单调递减，
所以，故D正确，C错误；
故选：BD．
【点睛】关键点睛：本题主要考查运用导数求最值的方法，难度较大，解决问题的关键在于先画出平面图，得到圆柱的底面半径，高为，代入圆柱体积公式求解，再令，利用导数求最值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式中的系数为，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析求解.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
可知展开式中含的项为，
则展开式中的系数为，解得.
故答案为：1.
13. 等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列的定义及前项和公式即可求解.
【详解】因为等差数列通项公式为，
所以，，
所以
由，得数列是等差数列；
所以数列的前100项的和为
故答案为：.
14. 已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可得，设，，可得出，可设，可得出向量的坐标，设，可得出、所满足的等式，利用向量模的三角不等式可求得的最大值.
【详解】因为，即，可得，
设，，则，则，
设，则，
因为，，则或，
因为，则或，
令，则或，
根据对称性，可只考虑，
由，
记点、、，则，，
所以，，
当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立，
所以，
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 设锐角三角形的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若点在上（与不重合），且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，边转角得到，再利用即可求出结果；
（2）根据题设得到，进而可求得，，再利用，即可求出结果.
【小问1详解】
由，得到，
又，
所以，又三角形为锐角三角形，所以，
得到，即.
【小问2详解】
因为，又，所以，则，所以，
由（1）知，，则，，
则，
又，所以.

16. 如图，在正四棱柱中，分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及矩形和正方形的性质，结合三角形的中位线定理即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面的法向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与二面角的夹角的关系即可求解.
【小问1详解】
连接,则与交于点,
连接并延长，则与交于点,
在正四棱柱中，，
所以是矩形，
所以为的中点，
因为底面是正方形,
所以为的中点,则为的中位线，
所以.
【小问2详解】
以为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则
则
设平面的一个法向量为，则
,即，
取，则，所以.
设平面的一个法向量为，则
,即，
取，则，所以.
设平面与平面夹角为，则
故平面与平面夹角的余弦值为.
17. 某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏检率时，求临界值和错检率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据题意结合频率分布直方图求得，进而可求容错率；
（2）分、两种情况，根据题意求，即可得的解析式，并根据解析式求最值.
【小问1详解】
由题意可知：第一个图中第一个矩形面积为，可知，
可得，解得，
所以错检率.
【小问2详解】
当时，则，
，
可得；
当时，则，
，
可得；
所以，
当且仅当时，取到最小值.
18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于两点，是双曲线上一点（与不重合），直线的斜率分别为，且．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线，且与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，且，若直线与圆相切，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用点差法求得的关系，再利用双曲线的定义即可得解；
（2）先利用直线与圆相切得到的关系，再联立直线与双曲线的方程，推得，进而利用弦长公式得到关于的方程，解之即可得解.
【小问1详解】
依题意，设，
，
点在双曲线上，
，两式相减得，
整理得，所以，
，
由双曲线的定义可知，||，解得，，
双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
因为直线与圆相切，
所以点到直线的距离，
，
联立，消去，得且，
则，即，
设，
，
，
为的中点，为坐标原点且，
，
将代入上式，，
解得或，
所以直线的方程为或.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 已知函数．
（1）判断是否成立，并给出理由；
（2）①证明：当时，；
②证明：当时，．
【答案】19. 成立，理由见解析
20. ①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）构造，二次求导得到其单调性，得到，得到答案；
（2）①变形后构造，，只需证明，求导得到其单调性，由得到证明；
②由和得到，再分组求和得到答案.
【小问1详解】
恒成立，理由如下：
令，
则，令，
则在上恒成立，故在上单调递增，
其中，故在上恒成立，故在上单调递增，
故，即恒成立；
【小问2详解】
①时，单调递增，故，
又，故要证，
只需证，
令，，
则只需证明，
，
令，则函数在上单调递增，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，
所以，故，
所以当时，；
②由（1）知，，，
由于，
所以，
所以
【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
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