广东省2024届高三百日冲刺联合学业质量监测(一模)数学试题（附参考答案）

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考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3．本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知随机变量的分布列如下：
则是的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A. 四边形可能是的菱形 B. 四边形一定是正方形
C. 四边形不可能是直角梯形 D 平面不一定与平面垂直
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（ ）
A. 202B. 204C. 206D. 208
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图 所示， 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象
10. 已知O为坐标原点，点F为抛物线的焦点，点，直线：交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（ ）
A. B. 存在实数，使得
C. 若，则D. 若直线PA与PB的倾斜角互补，则
11. 将圆柱的下底面圆置于球的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球的内壁相接（球心在圆柱内部）．已知球的半径为3，．若为上底面圆的圆周上任意一点，设与圆柱的下底面所成的角为，圆柱的体积为，则（ ）
A. 可以取到中的任意一个值 B.
C. 的值可以是任意小的正数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式中的系数为，则的值为______．
13. 等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为______．
14. 已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 设锐角三角形的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若点在上（与不重合），且，求的值．
16. 如图，在正四棱柱中，分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏检率时，求临界值和错检率；
（2）设函数，当时，求解析式，并求在区间的最小值．
18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于两点，是双曲线上一点（与不重合），直线的斜率分别为，且．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线，且与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，且，若直线与圆相切，求直线的方程．
19. 已知函数．
（1）判断是否成立，并给出理由；
（2）①证明：当时，；
②证明：当时，．
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