江苏省扬州市重点中学2019-2020学年高一下学期期中抽测——数学试题

这是一份江苏省扬州市重点中学2019-2020学年高一下学期期中抽测——数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A.B.150° C.120° D.60°
2．在△ABC中，已知sin A：sin B：sinC＝3：5：7，那么△ABC最大内角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
3. 当a为任意实数时，直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3）C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2))) D．（－2，0）
4. 设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β
5．若点M(a，b)在圆x2＋y2＝R2外，则直线ax＋by＝R2与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
6. 已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A．1 B． C．2 D．
7. 在中，角所对的边分别为，且.若，则的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形
8. 如果圆（x﹣a）2+（y﹣a+3）2＝1上存在两个不同的点P，Q，使得|OP|＝|OQ|＝2（O为坐标原点），则a的取值范围（ ）
A．0＜a＜3B．0≤a≤3C．a＜﹣1或a＞4D．a≤﹣1或a≥4
9. 第41届世界博览会于2010年月1日至10月31日，在中国上海举行,气势磅礴的中国馆一一“东方之冠”令人印象深刻,该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米,下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）
A.20° B.28° C.38° D.48°
10. 已知点是直线上一动点，直线是的两条切线，为切点，C为圆心，则四边形面积的最小值是（ ）
A. 2B.C.D.4
11. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD上任意一点，则一定有（ ）
A．PC1与AA1异面 B. PC1与A1C垂直
C．PC1与平面AB1D1相交 D. PC1与平面AB1D1平行
12. 在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，动点，分别在圆和圆上，且，为线段的中点，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为_________.
14. 直线和互相平行，则的值为 ．
15. 2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米（观测站高度忽略不计，结果保留根号）．
16. 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）
（1）已知△ABC顶点的坐标为A（4，3），B（5，2），C（1，0），求△ABC外接圆的方程；
求直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长.
18. （本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为S且满足
（1）求角B的大小；
（2）当a+c＝9时，求S.
19. (本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．
（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．
20．（本小题满分12分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40eq \r(2)海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝eq \f(\r(26),26)，0°＜θ＜90°)且与点A相距10eq \r(13)海里的位置C.
(1) 求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；
(2) 若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
21. （本小题满分12分）
已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．
（1）若，试求点的坐标；
（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标；
（3）设线段AB的中点为N，求点N的轨迹方程.
22. （本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且
（1）证明：平面平面；
（2）求棱与所成的角的大小；
（3）若点为的中点，并求出二面角的平面角的余弦值．
高一数学期中考试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A.B.150° C.120° D.60°
【答案】B
2．在△ABC中，已知sin A：sin B：sinC＝3：5：7，那么△ABC最大内角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
3. 当a为任意实数时，直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3）C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2))) D．（－2，0）
【答案】B
4. 设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β
【答案】C
5．若点M(a，b)在圆x2＋y2＝R2外，则直线ax＋by＝R2与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】B
6. 已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A．1 B． C．2 D．
【答案】B
7. 在中，角所对的边分别为，且.若，则的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形
【答案】C
8. 如果圆（x﹣a）2+（y﹣a+3）2＝1上存在两个不同的点P，Q，使得|OP|＝|OQ|＝2（O为坐标原点），则a的取值范围（ ）
A．0＜a＜3B．0≤a≤3C．a＜﹣1或a＞4D．a≤﹣1或a≥4
【答案】A
9. 第41届世界博览会于2010年月1日至10月31日，在中国上海举行,气势磅礴的中国馆一一“东方之冠”令人印象深刻,该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米,下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）
A.20°B.28°C.38°D.48°
【答案】C
10. 已知点是直线上一动点，直线是的两条切线，为切点，C为圆心，则四边形面积的最小值是（ ）
A. 2B.C.D.4
【答案】A
11. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD上任意一点，则一定有（ ）
A．PC1与AA1异面 B. PC1与A1C垂直
C．PC1与平面AB1D1相交 D. PC1与平面AB1D1平行
【答案】D
12. 在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，动点，分别在圆和圆上，且，为线段的中点，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为_________.
【答案】eq \r(2)
14. 直线和互相平行，则的值为 ．
【答案】-1
15. 2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米（观测站高度忽略不计，结果保留根号）．
【答案】
16. 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 .
【答案】
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）
（1）已知△ABC顶点的坐标为A（4，3），B（5，2），C（1，0），求△ABC外接圆的方程；
求直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长.
【解析】（1）设所求圆的方程为.
因为点A,B,C在所求的圆上，故有
故所求圆的方程为. ………………………5分
（2）圆心（2，-1）到直线x+2y-3=0的距离，圆半径r=2，
故弦长为. ………………………10分
18. （本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为S且满足
（1）求角B的大小；
（2）当a+c＝9时，求S.
【解析】（1）由，得，……………2分
∵ac >0，∴，∵，∴. ……………4分
又0＜B＜π，∴B＝60°． ……………5分
（2）由（1）及余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accs60°=21，
∴a2+c2﹣ac＝21，又a+c＝9，∴（a+c）2-3ac=81-3ac=21，ac=20， ……………8分
故 ……………10分
19. (本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．
（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．
【解析】（1）证明：连结AB1交A1B于点O.
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，,四边形AA1B1B为平行四边形，
∴O为AB1的中点，又∵△AB1C中，D是AC的中点，∴OD∥B1C， ……………3分
又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD. ……………6分
（2）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，
∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cs∠ACB＝3，得．
∴AC2＝AB2+BC2，则AB⊥BC．
又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥平面AA1B1B． ……………8分
∵∠A1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．
∴ ……………10分
……………12分
20．（本小题满分12分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40eq \r(2)海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝eq \f(\r(26),26)，0°＜θ＜90°)且与点A相距10eq \r(13)海里的位置C.
(1) 求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；
(2) 若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
【解析】(1) 如图，AB＝40eq \r(2)，AC＝10eq \r(13)，∠BAC＝θ，sinθ＝eq \f(\r(26),26)，
由于0°＜θ＜90°，所以csθ＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(26),26)))\s\up12(2))＝eq \f(5\r(26),26).
由余弦定理得
BC＝eq \r(AB2＋AC2－2AB·AC·csθ)＝10eq \r(5)， ……………3分
所以v=eq \f(10\r(5),\f(2,3))＝15eq \r(5) .
答：船的行驶速度为15eq \r(5)海里/小时． ……………4分
(2) 设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(3\r(10),10). ……………6分
从而sin∠ABC＝eq \r(1－cs2∠ABC)＝eq \r(1－\f(9,10))＝eq \f(\r(10),10).
在△ABQ中，由正弦定理得AQ＝eq \f(ABsin∠ABC,sin（45°－∠ABC）)＝eq \f(40\r(2)×\f(\r(10),10),\f(\r(2),2)×\f(2\r(10),10))＝40. ……………8分
由于AE＝55＞40＝AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE＝AE－AQ＝15.……9分
过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．
在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×eq \f(\r(5),5)＝3eq \r(5)
……………11分
因为3eq \r(5)＜7，所以船会进入警戒水域．
答：若该船不改变航行方向继续行驶．则它会进入警戒水域. ……………12分
（说明：若用解析几何方法证明直线BC和圆E相交也相应给分.）
21. （本小题满分12分）
已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．
（1）若，试求点的坐标；
（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标；
（3）设线段AB的中点为N，求点N的轨迹方程.
【解析】（1）设，因为是圆的切线， ，
所以∠APM=30°，， ……………2分
所以，解之得,
故所求点的坐标为或． ……………3分
（2）的中点，
因为是圆的切线，所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，
故其方程为：， ……………5分
化简得：，
此式是关于的恒等式，故解得或.
所以经过三点的圆必过定点和. ……………7分
（3）由
可得AB：2mx+（m-2）y+3-2m=0，即m（2x+y-2）-2y+3=0，
由可得AB过定点. ……………9分
因为N为圆M的弦AB的中点，所以MN⊥AB，即MN⊥RN，
故点N在以MR为直径的圆上， ……………11分
点N的轨迹方程为. ……………12分
（说明：如果求出点N的坐标，再消参求出轨迹方程的相应给分.）
22. （本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且
（1）证明：平面平面；
（2）求棱与所成的角的大小；
（3）若点为的中点，并求出二面角的平面角的余弦值．
【解析】（1）证明：∵顶点在底面上的射影恰为点，，
,， ……………2分
又，，，
，． ……………4分
（2）∵在三棱柱中，,
∴与所成的角为∠C1CB(或其补角). ……………6分
连BC1.三棱柱中，,
.
.
，,，又，,则，从而△BCC1为正三角形，∠C1CB=60°，……8分
故与所成的角为60°. ……………9分
（3）取A1C1中点Q，∵P为的中点，∴,
∵三棱柱中，,∴，P,Q,A,B四点共面.
由（1）（2）可知，
又，,
∴.
又∵,又，
故∠QBA1为二面角的一个平面角. ……………12分
,,，…………13分
即二面角的平面角的余弦值为． ……………14
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