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适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第2章一元二次函数方程和不等式第2节基本不等式课件新人教A版
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这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第2章一元二次函数方程和不等式第2节基本不等式课件新人教A版，共42页。PPT课件主要包含了强基础固本增分，研考点精准突破，目录索引，也叫均值不等式，a0b0，常用结论，ABD等内容，欢迎下载使用。
1.掌握基本不等式 (a,b>0).2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
(1)基本不等式成立的条件: . (2)等号成立的条件:当且仅当 时,等号成立. (3)其中 称为正数a,b的算术平均数, 称为正数a,b的几何平均数.
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
微点拨可借助平面图形中线段长度的关系直观表示基本不等式:
2.基本不等式的变形及重要不等式(1)a2+b2≥ (a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立. (2)a+b≥ (a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立.
(3)ab≤( )2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
当两个正数的积为定值时,用来求它们和的最小值
当两个实数的和为定值时,用来求它们积的最大值
3.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0.(1)如果积xy等于定值P,那么当 时,和x+y有最小值 (简记:积定和最小). (2)如果和x+y等于定值S,那么当 时,积xy有最大值 (简记:和定积最大).
微点拨应用基本不等式求最值时,要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条件,就有可能导致错误.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
题组二回源教材5.(人教B版必修第一册2.2.4节例4改编)已知x∈(-1,3),则y=(1+x)(3-x)的最大值为 .
6.(人教A版必修第一册2.2节练习第5题改编)已知直角三角形的面积等于50 cm2,当两条直角边的长度分别为 、 时,两条直角边的和最小,且最小值为 .
解析 由基本不等式得y=(1+x)(3-x)≤( )2=4,当且仅当1+x=3-x,即x=1时,等号成立,所以y的最大值为4.
题组三连线高考7.(多选题)(2022·新高考Ⅱ,12)若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则( )A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1
8.(2021·天津,13)若a>0,b>0,则 +b的最小值为 .
考点一利用基本不等式求最值(多考向探究预测)
考向1直接运用基本不等式求最值例1(1)(2024·上海宝山检测)若实数x,y满足x+2y=1,则2x+4y的最小值为 .
(3)(2024·河南洛阳模拟)已知x>0,y>0,且 =4,则xy的最大值是 .
考向2通过配凑利用基本不等式求最值例2(1)(2024·贵州贵阳模拟)若x>0,则x+ 的最小值为 .
(2)(2024·山东潍坊检测)若正实数a,b满足2a+3b=1,则ab的最大值是 .
[对点训练1](1)(2024·陕西榆林模拟)若a>1,则 的最小值为 .
(2)已知0
变式探究1 (变结论)本例中,若条件不变,试求xy的最小值为 .
变式探究2(变条件)本例中,若将条件改为“x+2y=4xy”,试求2x+y的最小值为 .
变式探究3(变结论)若本例条件不变,试求2xy-2x-y的最小值为 .
考向4通过构建不等式利用基本不等式求最值例4(多选题)(2024·河南濮阳模拟)已知a,b为正实数,且ab+a+b=8,则下列说法正确的是( )A.ab的最大值为4B.a+b的最小值为4C.2a+b的最小值为3
变式探究 (变条件)本例中,若将条件改为“ab+2a+b=8”,(1)如何求ab的最值?(2)如何求2a+b的最值?
考向5通过消元利用基本不等式求最值例5(2024·重庆南开中学检测)已知x>0,y>0,xy+2x-y=10,则x+y的最小值为( )
[对点训练2](2024·天津南开模拟)已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则 的最大值为 .
考点二基本不等式与其他知识的综合应用
例6(2024·山西太原联考)已知正项等比数列{an}满足a3-a1=2,则a4+a3的最小值是( )A.4B.9C.6D.8
[对点训练3](2024·山东淄博模拟)已知F1,F2是椭圆C: =1的两个焦点,点M,N在C上,若|MF2|+|NF2|=6,则|MF1||NF1|的最大值为( )A.9D.30
解析 根据椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=8,|NF1|+|NF2|=8,因为|MF2|+|NF2|=6,所以8-|MF1|+8-|NF1|=6,即|MF1|+|NF1|=10≥2 ,当且仅当|MF1|=|NF1|=5时,等号成立,所以|MF1|·|NF1|≤25,则|MF1||NF1|的最大值为25,故选C.
考点三基本不等式的实际应用
例7(2024·湖南郴州联考)某社区计划在一块空地上种植花卉,已知这块空地是面积为1 800平方米的矩形ABCD,为了方便居民观赏,在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道,则种植花卉区域的面积的最大值是( )A.1 208平方米B.1 448平方米C.1 568平方米D.1 698平方米
S≤-240+1 808=1 568,即当|AB|=60米,|BC|=30米时,种植花卉区域的面积取得最大值,最大值是1 568平方米,故选C.
1.掌握基本不等式 (a,b>0).2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
(1)基本不等式成立的条件: . (2)等号成立的条件:当且仅当 时,等号成立. (3)其中 称为正数a,b的算术平均数, 称为正数a,b的几何平均数.
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
微点拨可借助平面图形中线段长度的关系直观表示基本不等式:
2.基本不等式的变形及重要不等式(1)a2+b2≥ (a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立. (2)a+b≥ (a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立.
(3)ab≤( )2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
当两个正数的积为定值时,用来求它们和的最小值
当两个实数的和为定值时,用来求它们积的最大值
3.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0.(1)如果积xy等于定值P,那么当 时,和x+y有最小值 (简记:积定和最小). (2)如果和x+y等于定值S,那么当 时,积xy有最大值 (简记:和定积最大).
微点拨应用基本不等式求最值时,要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条件,就有可能导致错误.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
题组二回源教材5.(人教B版必修第一册2.2.4节例4改编)已知x∈(-1,3),则y=(1+x)(3-x)的最大值为 .
6.(人教A版必修第一册2.2节练习第5题改编)已知直角三角形的面积等于50 cm2,当两条直角边的长度分别为 、 时,两条直角边的和最小,且最小值为 .
解析 由基本不等式得y=(1+x)(3-x)≤( )2=4,当且仅当1+x=3-x,即x=1时,等号成立,所以y的最大值为4.
题组三连线高考7.(多选题)(2022·新高考Ⅱ,12)若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则( )A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1
8.(2021·天津,13)若a>0,b>0,则 +b的最小值为 .
考点一利用基本不等式求最值(多考向探究预测)
考向1直接运用基本不等式求最值例1(1)(2024·上海宝山检测)若实数x,y满足x+2y=1,则2x+4y的最小值为 .
(3)(2024·河南洛阳模拟)已知x>0,y>0,且 =4,则xy的最大值是 .
考向2通过配凑利用基本不等式求最值例2(1)(2024·贵州贵阳模拟)若x>0,则x+ 的最小值为 .
(2)(2024·山东潍坊检测)若正实数a,b满足2a+3b=1,则ab的最大值是 .
[对点训练1](1)(2024·陕西榆林模拟)若a>1,则 的最小值为 .
(2)已知0
变式探究1 (变结论)本例中,若条件不变,试求xy的最小值为 .
变式探究2(变条件)本例中,若将条件改为“x+2y=4xy”,试求2x+y的最小值为 .
变式探究3(变结论)若本例条件不变,试求2xy-2x-y的最小值为 .
考向4通过构建不等式利用基本不等式求最值例4(多选题)(2024·河南濮阳模拟)已知a,b为正实数,且ab+a+b=8,则下列说法正确的是( )A.ab的最大值为4B.a+b的最小值为4C.2a+b的最小值为3
变式探究 (变条件)本例中,若将条件改为“ab+2a+b=8”,(1)如何求ab的最值?(2)如何求2a+b的最值?
考向5通过消元利用基本不等式求最值例5(2024·重庆南开中学检测)已知x>0,y>0,xy+2x-y=10,则x+y的最小值为( )
[对点训练2](2024·天津南开模拟)已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则 的最大值为 .
考点二基本不等式与其他知识的综合应用
例6(2024·山西太原联考)已知正项等比数列{an}满足a3-a1=2,则a4+a3的最小值是( )A.4B.9C.6D.8
[对点训练3](2024·山东淄博模拟)已知F1,F2是椭圆C: =1的两个焦点,点M,N在C上,若|MF2|+|NF2|=6,则|MF1||NF1|的最大值为( )A.9D.30
解析 根据椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=8,|NF1|+|NF2|=8,因为|MF2|+|NF2|=6,所以8-|MF1|+8-|NF1|=6,即|MF1|+|NF1|=10≥2 ,当且仅当|MF1|=|NF1|=5时,等号成立,所以|MF1|·|NF1|≤25,则|MF1||NF1|的最大值为25,故选C.
考点三基本不等式的实际应用
例7(2024·湖南郴州联考)某社区计划在一块空地上种植花卉,已知这块空地是面积为1 800平方米的矩形ABCD,为了方便居民观赏,在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道,则种植花卉区域的面积的最大值是( )A.1 208平方米B.1 448平方米C.1 568平方米D.1 698平方米
S≤-240+1 808=1 568,即当|AB|=60米,|BC|=30米时,种植花卉区域的面积取得最大值,最大值是1 568平方米,故选C.
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