2024邯郸高三上学期第一次调研监测试题数学含解析

这是一份2024邯郸高三上学期第一次调研监测试题数学含解析，共26页。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式：锥体的体积公式（其中为锥体的底面积，为锥体的高）.棱台的体积公式（其中，分别为棱台的上､下底面面积，为棱台的高）.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题：，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知是虚数单位，若复数满足：，则（ ）
A. 0B. 2C. D.
4. 设函数在处的切线与直线平行，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
5. 设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（ ）
A. 11B. 12C. 14D. 16
6. 有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm､底面边长为2cm的正六棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（ ）
A. B.
C. D.
7. 甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以，表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则（ ）
A B. C. D.
8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A. B.
C. 为奇函数D.
二､选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. ，的夹角为钝角D. 若实数使得成立，则为负数
10. 记为数列前项和，若数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（ ）
A. 数列为递减数列B.
C. D. 数列等差数列
11. 已知函数的图象过点，最小正周期为，则（ ）
A. 在上单调递减
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数
C. 函数在上有且仅有4个零点
D. 函数在区间上有最小值无最大值
12. 已知棱长为2的正方体，，，分别是，，的中点，连接，，，记，，所在的平面为，则（ ）
A. 截正方体所得的截面为五边形B.
C. 点到平面的距离为D. 截正方体所得的截面面积为
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 的展开式的常数项是___________.
14. 写出函数一个对称中心：___________.
15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：.若等腰直角三角形三个顶点均在上且直角顶点与抛物线顶点重合，则的面积为___________.
16. 过圆：上一点作圆：的两切线，切点分别为，，设两切线的夹角为，当取最小值时，___________.
四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知等比数列的前项和为，，且满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设，的前项和为，求使成立的的最大值.
18. 暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；
（2）在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望.
19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
20. 如图，几何体由四棱锥和三棱台组合而成，四边形为梯形，且，，，平面，，平面与平面夹角为45°.

（1）求证：平面平面；
（2）求三棱台的体积.
21. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：不等式有实数解.
22. 已知椭圆：的焦点分别为和，离心率为.不过且与轴垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，直线与椭圆的另一交点为点.
（1）求椭圆的方程；
（2）①若直线交轴于点，求以为直径的圆的方程；
②若过与垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，当取最小值时，求直线的方程.邯郸市2024届高三年级第一次调研监测
数学
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式：锥体的体积公式（其中为锥体的底面积，为锥体的高）.棱台的体积公式（其中，分别为棱台的上､下底面面积，为棱台的高）.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求一元二次不等式得，再根据集合运算法则求解即可.
【详解】，
则.
故选：C.
2. 已知命题：，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有全称量词的命题的否定判断.
【详解】因为命题，所以.
故选：B.
3. 已知是虚数单位，若复数满足：，则（ ）
A. 0B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，即可求解.
【详解】由复数，可得，则，
所以.
故选：A.
4. 设函数在处的切线与直线平行，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由条件，根据导数几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求.
【详解】函数的定义域为，
由已知，故，
函数的导函数，
所以，
因为函数在处的切线与直线平行，
所以，所以，经验证，此时满足题意.
故选：D.
5. 设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（ ）
A. 11B. 12C. 14D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程可得,再由双曲线的定义可得，得到,再根据得到答案.
【详解】根据双曲线的标准方程，
得,由直线为双曲线的一条渐近线，
得,解得,得.
由双曲线的定义可得①，
②，
①②可得,
因为过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于,两点,
所以,得.
故选：C.

6. 有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm､底面边长为2cm的正六棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.
【详解】由题意，钻头的前段正六棱锥的体积，
因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，
作出以下图形，所以圆柱的底面圆的半径，
所以圆柱的体积，
所以此钻头的体积为.
故选：B.

7. 甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以，表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出，，再根据全概率公式求出，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】，
，，
.
故选：A.
8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A. B.
C. 为奇函数D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，，结合时，，可判断AB；求出函数的周期，进而可判断CD.
【详解】因为为奇函数，
所以，即，
则，所以，
因为为偶函数，
所以，即，
则，故A错误；
由当时，，得，
则，故B错误；
，则，
所以，
所以，故D正确；
对于C，由，得，
若为奇函数，则也为奇函数，
令，则为奇函数，则，
又，矛盾，
所以不是奇函数，即不是奇函数，故C错误.
故选：D.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
二､选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. ，的夹角为钝角D. 若实数使得成立，则为负数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据平面向量的模、线性运算的概念即可判断.
【详解】对A，当不共线时，根据向量减法的三角形法则知，
当反向共线时，，
故，A正确；
对B，若，则以为邻边的平行四边形为矩形，
且和是这个矩形的两条对角线长，则，故B错误；
对C，若的夹角范围为，根据向量加法的平行四边形法则知：，故C错误；
对D，若存在实数，使得成立，则共线，由于，
则反向共线，所以为负数，故D正确.
故选：AD.
10. 记为数列的前项和，若数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（ ）
A. 数列为递减数列B.
C. D. 数列是等差数列
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等差数列的通项即可判断B；根据求出数列的通项，即可判断C；由的符号即可判断A；根据等差数列的定义即可判断D.
【详解】由题意，所以，故B正确；
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以，故C正确；
因为，所以数列为递增数列，故A错误；
，
因为，，
所以数列不是等差数列，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数的图象过点，最小正周期为，则（ ）
A. 在上单调递减
B. 图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数
C. 函数在上有且仅有4个零点
D. 函数在区间上有最小值无最大值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件， 求出 与 ， 再逐项分析求解， 判断作答.
【详解】依题意，，即，而，
则.
由最小正周期为，得，得，则，
对于A，由，得，则在上不单调，A不正确；
对于B，的图象向右平移个单位长度后得函数，是偶函数，B正确；
对于C，当时，，则，
则，可得在上有且仅有4个零点，C正确；
对于D，当时，，
当，解得时，取得最小值，无最大值，D正确
故选：BCD.
12. 已知棱长为2的正方体，，，分别是，，的中点，连接，，，记，，所在的平面为，则（ ）
A. 截正方体所得的截面为五边形B.
C. 点到平面的距离为D. 截正方体所得的截面面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据平面的性质先做出截面可判定A、D，再利用线线垂直可判定线面垂直得B项正误，由正六棱锥的体积判定C.
【详解】
如上左图所示取中点分别为，连接，
易知，，
即六边形为正六边形，平面即过，，三点的平面，故A错误；
由正方体的棱长为2，可得截面的面积为，故D正确；
如上右图所示，连接，
由正方体的性质可得面，面，所以
又面，所以面，
面，所以，
而，所以，同理可得，
，故，即B正确；
分别连接与截面的六个顶点可得两个正六棱锥，设点到平面的距离为，
易知，
故C正确.
故选：BCD.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 的展开式的常数项是___________.
【答案】70
【解析】
【分析】利用通项公式求解，的展开式中常数项由的展开式的4次方项确定，求解即可.
【详解】的展开式的通项公式为，
当时，，所以的展开式的常数项为.
故答案：70.
14. 写出函数的一个对称中心：___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先化简函数得 , 再根据正切函数的对称中心公式求解.
【详解】
，
令或，
则或，
令，则，所以函数的一个对称中心是.
故答案：(答案不唯一，横坐标符合()即可)
15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：.若等腰直角三角形三个顶点均在上且直角顶点与抛物线顶点重合，则的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形与二次函数的性质，建立不等式，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：

设，其中，
则直线与直线的斜率分别为，，
由，则，由，则，
将，代入，可得，
将，代入，可得，
将代入，可得，解得，
则，，.
故答案为：.
16. 过圆：上一点作圆：的两切线，切点分别为，，设两切线的夹角为，当取最小值时，___________.
【答案】##
【解析】
【分析】易得，从而可得，求出取得最小值时，的值即可.
【详解】由题意可得，
圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
则，
当取最小值时，则取得最小值，
，
此时，
又为锐角，所以，
所以，
即当取最小值时，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由圆的切线的性质将所求转化为求的最小值是解决本题的关键.
四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知等比数列的前项和为，，且满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设，的前项和为，求使成立的的最大值.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）求首项、公比，从而求得；
（2）利用错位相减求和法求得，解不等式.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，依题意，，则.
，则，
得，所以，
所以，所以，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
得，
得，
两式相减得
，
所以.
由，得，
当时，左边，
当时，，
所以的最大值为5.
18. 暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；
（2）在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据在频率分布直方图中中位数的求法计算即可；
（2）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.
【小问1详解】
因为，，
所以中位数在区间内，设为，
则，解得，
即估计这100名居民成绩的中位数为；
【小问2详解】
成绩在有人，
成绩在有人，
成绩在有人，
则可取，
，，
，，
所以分布列为
所以.
19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得，平方进而求得；
（2）利用余弦定理表示出，根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.
【小问1详解】
因为，由正弦定理，
得，
因为，所以，
所以，得，
即
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，可得，与联立，
有，解得，
得，
由余弦定理得，，所以，
得，当且仅当时等号成立，
即，
得，得最大值为.
20. 如图，几何体由四棱锥和三棱台组合而成，四边形为梯形，且，，，平面，，平面与平面的夹角为45°.

（1）求证：平面平面；
（2）求三棱台的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直性质和平行的性质得，再利用面面垂直的判定即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设，求出相关平面法向量，利用面面角的空间向量求法得到方程，解出，再利用棱台体积公式即可得到答案.
【小问1详解】
因为平面平面，所以，
因为，所以，
由，平面，得平面，
由平面，得平面平面.
【小问2详解】
因为平面，平面，所以，
又因为，所以两两互相垂直，
所以以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.
设，由题可知，，
易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，
，故得，即，
不妨令，则，解得，
所以三棱台的体积为.

21. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：不等式有实数解.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可；
（2）要证不等式有实数解，只需证明即可，由（1）求出，进而得证.
【小问1详解】
，
当时，，则函数在上单调递减，
当时，时，，时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
要证不等式有实数解，
只需证明即可，
由（1）得，
则只要证明即可，
即证，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以当时，不等式有实数解.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22. 已知椭圆：的焦点分别为和，离心率为.不过且与轴垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，直线与椭圆的另一交点为点.
（1）求椭圆的方程；
（2）①若直线交轴于点，求以为直径的圆的方程；
②若过与垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，当取最小值时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）①；②或.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义，可求其方程；
（2）①联立直线与椭圆方程，表示出直线的方程，再由根与系数的关系求出点坐标，即可求出圆的方程；②根据弦长公式可求长度,进而得长度，根据不等式即可求解最值，得直线的方程.
【小问1详解】
由题意可知，，得，由，得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
①显然直线AB的斜率必存在，且，则设直线的方程为，
则，联立有，可得，
所以，直线的方程为令可得点的横坐标为
.
所以为一个定点，其坐标为，则圆心坐标为，半径为2，
则以为直径的圆的方程为.
②根据①可进一步求得:
，
因为 , 所以 , 则 ,
由
，
当且仅当时取等号，即时，取得最小值，此时直线的方程为或.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线的方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再去计算出点的横坐标为定值，则可得到圆的方程，再利用弦长公式和基本不等式则可得到的最小值.