2024邯郸高一上学期期末试题数学含解析

这是一份2024邯郸高一上学期期末试题数学含解析，共22页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知函数，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
5. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的一个可能取值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C 与D. 与
10. 已知，则下列不等关系成立是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的定义域为
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 在上的值域为
12. 已知定义在R上的偶函数满足，且当时，恒成立．则下列说法正确的是（ ）
A. 函数为奇函数
B.
C.
D. 函数的图象关于点对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为_____________．
14. 已知幂函数的图象不经过原点，则实数_____________．
15. 已知函数，则的解集为_____________．
16. 某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区域（如图所示）测量得知，其半径为2km，圆心角为弯，规划局工作人员在上取一点C，作CD∥OA，交线段OB于点D，作CE⊥OA，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道，则跑道CD长度的最大值为_____________km．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求解下列问题：
（1）计算：；
（2）若，，求的值．
18. 已知．
（1）化简；
（2）若，求的值．
19. 已知定义在上函数，是奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明．
20. 已知函数（）最小正周期为．
（1）求；
（2）已知，，求．
21. 2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入）
（1）求函数的解析式；
（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？
22. 已知不等式的解集为，函数（，且），（，且）．
（1）求不等式的解集；
（2）若对于任意的，均存在，满足，求实数的取值范围．
邯郸市2023-2024学年第一学期期末质量检测
高一数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集，补集的概念运算求解即可.
【详解】，
，.
故选：B．
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题“，”的否定为“，”.
故选：D．
3. 已知函数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件进行判断充分条件与必要条件，确定选项.
【详解】因为，当时，或，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
4. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
【详解】由，得，
所以，
当且仅当即，时，等号成立，
所以的最小值为9，
故选：C．
5. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件利用任意角的三角函数的定义即可求解.
【详解】角的终边经过点，则，解得，则点P坐标为，则.
故选：A．
6. 已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的一个可能取值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出变换后的函数解析式，利用正弦型函数函数的对称性得出的表达式再判断各选项．
【详解】函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，
由题知，为奇函数，，，B选项满足条件，
故选：B
7. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法求出定义域后求解参数即可.
【详解】根据题意，设，则，因在上单调递增，
所以在区间上单调递增，则有，解得，
故选：B．
8. 已知函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，令，转化为方程有两个不等实根，，零，结合二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数，
令，则，则，
令，可得，
函数的图象，如图所示，

由题意，方程有两个不等实根，，
不妨设，则，，令，
则，此时解得，或，此时无解，
综上所述，实数k的取值范围是.
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】BC
【解析】
【分析】逐一判断选项中的两个函数的三要素是否都相同即得结果.
【详解】A选项中：与对应关系不同，
故不是同一函数，故A不正确；
B选项中：与定义域都为R，且对应关系相同，
故是同一函数，故B正确；
C选项中：当时，，当时，，所以，
故与是同一函数，故C正确；
D选项中：函数的定义域为，函数的定义域为R，两个函数定义域不同，
故不是同一函数，故D不正确.
故选：BC．
10. 已知，则下列不等关系成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质逐一分析判断ABC，再举反例排除D即可得解.
【详解】对于A，因为，所以，，则，故A正确；
对于B，因为，所以，又，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，又，
所以，故，故C正确；
对于D，取，则，故D错误，
故选：ABC.
11. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 定义域为
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 在上的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由图象知，所以函数的最小正周期为，故A不正确；
因为函数的最小正周期，可得，所以，则，，即，，
因为，所以当时，，则，
又因为，所以，则，所以，
由，，可得，，
所以的定义域为，所以B正确；
因为，可得点是函数图象的一个对称中心，所以C正确；
当时，，可得，所以D正确.
故选：BCD．
12. 已知定义在R上的偶函数满足，且当时，恒成立．则下列说法正确的是（ ）
A. 函数为奇函数
B.
C.
D. 函数的图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性以及单调性对选项逐一分析即可.
【详解】∵，可得，
∴函数为奇函数，故A正确；
∵，当时，，，
又函数为偶函数，，由A知，
∴，可得，则，
函数的周期为4，且，
∴，∴，故B正确；
∵时，恒成立，∴函数在上单调递增，
由，可得，矛盾，故C不正确；
因为，∴函数的图象关于点对称，
∵函数的周期为4，函数的图象关于点对称，故D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】依据对数型复合函数定义域求解即可.
【详解】由题意可得，则，即且，
所以函数的定义域为．
故答案为：
14. 已知幂函数的图象不经过原点，则实数_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求出的值，再由幂函数图象性质，判断的值.
【详解】根据幂函数的定义可得，解得或，
当时，不经过原点，符合题意；
当时，过原点，不符合题意，
故．
故答案为：
15. 已知函数，则的解集为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为，且，
所以为偶函数，当时，，
可得在上单调递增，
根据偶函数的性质，不等式，即为，
可得，整理得，解得，
所以的解集为．
故答案为：．
16. 某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区域（如图所示）测量得知，其半径为2km，圆心角为弯，规划局工作人员在上取一点C，作CD∥OA，交线段OB于点D，作CE⊥OA，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道，则跑道CD长度的最大值为_____________km．

【答案】
【解析】
【分析】过点O作CD的垂线，连接OC，设，分别求得，，且，求得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，过点O作CD的垂线，垂足为F，连接OC，
设（），则，，
又，
所以，
因为，所以，当，即时，CD取到最大值．
故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求解下列问题：
（1）计算：；
（2）若，，求的值．
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算求解;（2）指对互化求解
【小问1详解】
【小问2详解】
∵，，
∴，，
∴．
18. 已知．
（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式以及对其化简即可；
（2）应用二倍角公式对化简，将弦转换成切求解即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
由（1）得，
所以
．
19. 已知定义在上函数，是奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明．
【答案】（1）实数a的值为，实数b的值为1
（2）函数在上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合和，联立方程组，即可求解；
（2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证.
【小问1详解】
解：因为定义在上的函数是奇函数，可得，即，
又因为，所以，
联立方程组，可得，，所以，
又由，符合题意，
所以的值分别为和.
【小问2详解】
解：函数在上单调递减，
证明：在上任取，
则，
因为，所以，又，，
所以，即，
所以函数在上单调递减．
20. 已知函数（）的最小正周期为．
（1）求；
（2）已知，，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换的公式，化简得到，再结合三角函数的性质，即可求解；
（2）根据题意，求得，进而得到，结合两角和的余弦公式，即可求解.
【小问1详解】
由函数
，
因为，函数的最小正周期，可得，
所以．
【小问2详解】
由，可得，
因为，所以，所以，
所以，
所以
．
21. 2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入）
（1）求函数的解析式；
（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元．
【解析】
【分析】（1）根据已知函数模型得出函数解析式；
（2）分别利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数两段的最大值，然后比较可得．
小问1详解】
由题意得，
∵，
∴当时，，
当时，，
综上所述，函数的解析式为．
【小问2详解】
由（1）得，
当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴；
当时，
，
当且仅当，即时，，
∵，
∴的最大值为207.5，
故当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元．
22. 已知不等式的解集为，函数（，且），（，且）．
（1）求不等式的解集；
（2）若对于任意的，均存在，满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式与方程的关系及一元二次不等式的解法，求出解集;
（2）由函数恒成立问题和存在性问题，得到，利用换元转化进行分类讨论求解的范围.
【小问1详解】
不等式的解集为，
即是的两个根，故，，
∴，即为，解得或，
∴不等式解集为或．
【小问2详解】
由题意可知，
，，
令，则，，对称轴方程为，
①若，即时，当时，，即，
此时在上单调递减，，
由，得；
②若，即时，当时，，即，
此时在上单调递增，，
由，得；
③若，即时，当时，，即，
此时在上单调递增，，
由，得，
综合①②③可知，
即实数的取值范围是．