备战2024年高考数学二轮复习专题02二项分布与超几何分布(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题02二项分布与超几何分布(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了二项分布，超几何分布，二项分布与超几何分布的区分等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 二项分布
典例1．溺水､校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两个中学代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响.
(1)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；
(2)求甲队总得分X的分布列和数学期望.
变式1-1．党的十九届五中全会强调“创新”在我国现代化建设中的重要战略地位，确保发展经济着力点放在实体经济上，为促进经济活力，拉动市场经济快速发展，必须大力推进大众创业、万众创新．某几位大学毕业生自主创业创办了一家服务公司，该公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买产品的概率为，购买产品的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率也是，如此往复．记某人第次来购买产品的概率为．
(1)求；
(2)记第二次来公司购买产品的个人中有个人购买产品，人是否购买产品相互独立，求的分布列和数学期望．
变式1-2．某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格:
(1)每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元，根据以上100名消费者的购机情况，求该商场销售一部该款手机的平均利润；
(2)该商场某天共销售了4部该款手机，每销售一部该款手机的型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为，将样本频率视为概率，求的概率分布列及期望.
变式1-3．某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲､乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲､乙档学生做对每道题的概率分别为p，，现从甲､乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合.
(1)现从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为，求出的最大值点；
(2)若以作为p的值，
①求每一个互助组合做对题的概率；
②现选取n个组合，记做对题的组数为随机变量X，当时，取得最大值，求相应的n和.
考点二 超几何分布
典例2．共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.
(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；
(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.
变式2-1．为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为、、、、，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中、、成公比为的等比数列．
(1)若从得分在分以上的样本中随机选取人，用表示得分高于分的人数，求的分布列及期望；
(2)若学校打算从这名学生中依次抽取名学生进行调查分析，求在第一次抽出名学生分数在区间内的条件下，后两次抽出的名学生分数在同一分组区间的概率．
变式2-2．十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60%，次品率为6%；第二批占40%，次品率为5%．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查．
(1)从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；
(2)若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批片数X的分布列和数学期望．
变式2-3．某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答.假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成.
(1)求甲至少正确完成其中2道题的概率；
(2)设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；
(3)现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由.
考点三 二项分布与超几何分布的区分
典例3．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
变式3-1．2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在，的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在，的为等级，成绩在，的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
变式3-2．某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机抽样，获得名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在的学生称为运动达人．
（1）从上述抽取的学生中任取人，设为运动达人的人数，求的分布列；
（2）以频率估计概率，从该校学生中任取人，设为运动达人的人数，求的分布列．
变式3-3．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列．
巩固练习
练习一 二项分布
1．电子科技公司研制无人机，每架无人机组装后每周要进行次试飞试验，共进行次.每次试飞后，科研人员要检验其有否不良表现.若在这次试飞中，有不良表现不超过次，则该架无人机得分，否则得分.假设每架无人机次检验中，每次是否有不良表现相互独立，且每次有不良表现的概率均为.
(1)求某架无人机在次试飞后有不良表现的次数的分布列和方差；
(2)若参与试验的该型无人机有架，在次试飞试验中获得的总分不低于分，即可认为该型无人机通过安全认证.现有架无人机参与试飞试验，求该型无人机通过安全认证的概率是多少？
2．接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足，为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推）．若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗．
（1）求这四个人中恰有一个人接种A种疫苗的概率；
（2）记甲，乙，丙，丁四个人中接种A种疫苗的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
3．足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.
(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望.
(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.
4．血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性（即样本携带病毒）的概率均为.现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
(1)若，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列；
(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p的取值范围，
练习二 超几何分布
5．为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.
(1)从参加培训的学生中随机选取人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；
(2)从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；
(3)根据以往培训数据，规定当时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.
6．某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草､翻地､播种､浇水四个项目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：
(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；
(2)记该小组得分为X，求X的期望.
7．某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
8．2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就，习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求，为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门A，B，C的10人中选派4人与其下辖的乡镇甲对接相关业务，其中部门A，B，C可选派的人数分别为3，3，4，且每个人被选派的可能性一样.
(1)求选派的4人中至少有1人来自部门C的概率；
(2)选派的4人中来自部门A，B，C的人数分别为x，y，z，记x，y，z中最大的数为X，求X的分布列和数学期望.
练习三 二项分布与超几何分布的区分
9．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
包装质量在克的产品为一等品，其余为二等品
（1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
（2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望与则望的大小.(结论不要求证明)
10．2020年10月16日，是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表：
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了10000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
(1)若将频率作为概率，从这10000件产品中随机抽取2件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)若从质量指标值m不低于85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数X的分布列及数学期望；
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表（）：
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）．
11．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列.
12．袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球．
（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；
（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分的分布列和数学期望．
配置
甲
乙
丙
丁
频数
25
40
15
20
分组区间（单位：小时）
人数
分组区间(单位：克)
产品件数
3
4
7
5
1
质量指标值m
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
质量指标值m
利润y（元）
6t
8t
4t
2t
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
概率与
专题02 二项分布与超几何分布
常见考点
考点一 二项分布
典例1．溺水､校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两个中学代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响.
(1)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；
(2)求甲队总得分X的分布列和数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）利用独立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；
（2）由题意有，利用二项分布概率公式求各可能值对应的概率，进而写出分布列，再根据分布列求期望即可.
(1)
由题设，甲队得2分，即2人答对1人答错，概率为，
乙队得1分，即1人答对2人答错，概率为，
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
(2)
由题设，，且，，，，
甲队总得分X的分布列如下：
所以.
变式1-1．党的十九届五中全会强调“创新”在我国现代化建设中的重要战略地位，确保发展经济着力点放在实体经济上，为促进经济活力，拉动市场经济快速发展，必须大力推进大众创业、万众创新．某几位大学毕业生自主创业创办了一家服务公司，该公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买产品的概率为，购买产品的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率也是，如此往复．记某人第次来购买产品的概率为．
(1)求；
(2)记第二次来公司购买产品的个人中有个人购买产品，人是否购买产品相互独立，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为1
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式求出；
（2）根据二项分布的概率公式求得的各种取值所对应的概率，再计算出期望即可.
(1)
某人第次来购买产品的概率为,即；
(2)
由题意得，其中的可能取值有，，，，
故，，，；
故的分布列为
的数学期望为
．
变式1-2．某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格:
(1)每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元，根据以上100名消费者的购机情况，求该商场销售一部该款手机的平均利润；
(2)该商场某天共销售了4部该款手机，每销售一部该款手机的型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为，将样本频率视为概率，求的概率分布列及期望.
【答案】(1)475
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据给定频数表直接计算平均数作答.
（2）由题意，服从二项分布，即，根据二项分布的概率公式和期望公式即得解
(1)
依题意，，
所以该商场销售一部手机的平均利润为475元.
(2)
该商场每销售一部手机，该手机为甲配置型号手机的概率为，
由题意，甲配置型号手机售出的数量为服从二项分布，即，
则所有可能取值为，
，
故的分布列为：
由二项分布的期望公式：.
变式1-3．某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲､乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲､乙档学生做对每道题的概率分别为p，，现从甲､乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合.
(1)现从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为，求出的最大值点；
(2)若以作为p的值，
①求每一个互助组合做对题的概率；
②现选取n个组合，记做对题的组数为随机变量X，当时，取得最大值，求相应的n和.
【答案】(1)
(2)①；②答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由题可知，然后利用导数可求出函数的最大值点，
（2）①记事件A为一个互助组合做对题，事件B为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C为一个互助组合中乙档中的学生做对题，根据题意求出，然后利用对立事件的概率公式求解即可，
②由题意知随机变量，然后根据题意利用二项分布的概率公式列不等式组可求得结果
(1)
由题可知，
，令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以的最大值点
(2)
①记事件A为一个互助组合做对题，事件B为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C为一个互助组合中乙档中的学生做对题，
则，，
.
②由题意知随机变量，
因为最大，
所以，解得，
因为n是整数，所以或，
当时，；
当时，
考点二 超几何分布
典例2．共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.
(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；
(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】
（1）先求出两种颜色的电动车各有多少辆，然后根据超几何分布求概率的方法即可求得答案；
（2）先确定X的所有可能取值，进而求出概率并列出分布列，然后根据期望公式求出答案.
(1)
因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.
记A为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则.
(2)
随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以，，
，.
所以分布列为
数学期望.
变式2-1．为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为、、、、，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中、、成公比为的等比数列．
(1)若从得分在分以上的样本中随机选取人，用表示得分高于分的人数，求的分布列及期望；
(2)若学校打算从这名学生中依次抽取名学生进行调查分析，求在第一次抽出名学生分数在区间内的条件下，后两次抽出的名学生分数在同一分组区间的概率．
【答案】(1)分布列见解析，期望为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出的值，分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得随机变量的数学期望值；
（2）记事件第一次抽出名学生分数在区间内，记事件后两次抽出的名学生分数在同一分组区间内，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
(1)
解：由题意得，，因为，所以．
由分层抽样，抽出的名学生中得分位于区间内有人，
位于内有人，位于内有人，
位于内有人，位于区间学生有人，
这样，得分位于分以上的共有人，其中得分位于的有人，
所以的可能取值有、、，，，，
所以的分布列为：
所以.
(2)
解：记事件第一次抽出名学生分数在区间内，
记事件后两次抽出的名学生分数在同一分组区间内，
则，，
由条件概率公式可得.
变式2-2．十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60%，次品率为6%；第二批占40%，次品率为5%．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查．
(1)从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；
(2)若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批片数X的分布列和数学期望．
【答案】(1)0.944
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）设事件 “任取一个芯片是合格品”，事件“产品取自第一批”，事件“产品取自第二批”，则且、互斥，由全概率公式可得答案；
（2）求出X的可取值和概率可得分布列.
(1)
设事件 “任取一个芯片是合格品”，事件“产品取自第一批”，
事件“产品取自第二批”，则且、互斥；
由全概率公式可知：，
所以.
(2)
由条件可知：第一批芯片数：9，第二批芯片数：6；
X的可取值为0，1，2，3；
；
；
；
所以X的分布列为：
所以．
变式2-3．某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答.假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成.
(1)求甲至少正确完成其中2道题的概率；
(2)设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；
(3)现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由.
【答案】(1)
(2)分布列见详解；
(3)乙；理由见详解
【解析】
【分析】
（1）结合独立重复试验概率公式即可求解；
（2）判断，结合超几何分布公式求出对应概率，写出分布列，求出期望；
（3）比较两人正确完成题目数大于等于2对应概率，即可做出判断.
(1)
设随机变量表示甲正确完成题目的个数，则当时，，
当时，，则甲至少正确完成其中2道题的概率为；
(2)
由题可知，，，则的分布列为：
；
(3)
由（1）（2）可知，，因为，所以乙进入下一轮比赛的可能性较大.
考点三 二项分布与超几何分布的区分
典例3．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
【答案】（1）12件；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）结合频率分布直方图求解(1)；
（2）结合超几何分布及古典概型求X的分布列；
（3）先分析Y服从二项分布，再利用公式求解．
【详解】
（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．
（2）重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝，
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝，
P(Y＝2)＝.
∴Y的分布列为
变式3-1．2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在，的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在，的为等级，成绩在，的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
【答案】(1)，68
(2)分布列见解析，
(3)，，1，3，，40，40
【解析】
【分析】
（1）利用频率之和为列方程，化简求得的值，根据由频率分布直方图计算中位数的方法，计算出中位数.
（2）结合超几何分布的知识计算出的分布列和数学期望.
（3）根据二项分布的知识求得，由此列不等式，解不等式来求得的最大值时对应的的值.
(1)
由频率分布直方图的性质可得，，
解得，
设中位数为，
，解得．
(2)
，，，，，的三组频率之比为，
从，，，，，中分别抽取7人，3人，1人，
所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为：
故．
(3)
等级的概率为，等级为，
，，1，3，，40，
令①，②，
由①可得，，解得，由②可得，，解得，
故时，取得最大．
变式3-2．某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机抽样，获得名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在的学生称为运动达人．
（1）从上述抽取的学生中任取人，设为运动达人的人数，求的分布列；
（2）以频率估计概率，从该校学生中任取人，设为运动达人的人数，求的分布列．
【答案】（1）分布列见解析；（2）分布列见解析.
【解析】
【分析】
（1）题目考查超几何分布，任取2人中，运动达人的人数可能为0，1，2，分别求概率即可
（2）题目考查二项分布，每个人是否是运动达人的概率是不变的，从而可求分布列
【详解】
解：（1）的可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：
（2）由表中数据可得，抽到运动达人的频率为，
将频率视为概率，则随机变，
，
，
，
的分布列为：
变式3-3．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列．
【答案】(1)分布列见解析
(2)分布列见解析
【解析】
【分析】
（1）有放回抽样时，取到黑球的次数，可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得的分布列．
（2）不放回抽样时，取到的黑球个数，可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得的分布列．
(1)
解：若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为．
而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此，所以
，，
，．
因此X的分布列为：
(2)
解：若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，但1次抽取了3个，因此黑球数Y服从参数为10，3，2的超几何分布，即，
因此，，．
因此，Y的分布列为：
巩固练习
练习一 二项分布
1．电子科技公司研制无人机，每架无人机组装后每周要进行次试飞试验，共进行次.每次试飞后，科研人员要检验其有否不良表现.若在这次试飞中，有不良表现不超过次，则该架无人机得分，否则得分.假设每架无人机次检验中，每次是否有不良表现相互独立，且每次有不良表现的概率均为.
(1)求某架无人机在次试飞后有不良表现的次数的分布列和方差；
(2)若参与试验的该型无人机有架，在次试飞试验中获得的总分不低于分，即可认为该型无人机通过安全认证.现有架无人机参与试飞试验，求该型无人机通过安全认证的概率是多少？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意得X服从二项分布，代入公式，分别求得，写出分布列，代入公式，即可求得方差.
（2）由题意得获得分的架数可取3、4、5、6，先求得该型无人机获得6分的概率，再求得通过安全认证的概率，即可得答案.
(1)
由题意得，
则，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，；
(2)
当时，设该型架无人机获得分的架数为，则获得分的架数为，
由题意可得，解得，，则的取值有、、、，
记“某架无人机获得分”为事件A，则，
记“架无人机参与试飞试验，该型无人机通过安全认证”为事件，
则.
2．接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足，为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推）．若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗．
（1）求这四个人中恰有一个人接种A种疫苗的概率；
（2）记甲，乙，丙，丁四个人中接种A种疫苗的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【解析】
【分析】
（1）记四个人中恰有一个人接种A疫苗的事件为M，则；
（2），然后算出答案即可.
【详解】
（1）记四个人中恰有一个人接种A疫苗的事件为M，
则，
所以四个人中恰有一个人接种A疫苗的概率为．
（2）由题意可知，的取值依次为0，1，2，3，4．
且，
故随机变量的分布列为
．
3．足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.
(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望.
(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.
【答案】(1)分布列见解析，期望为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据题意，即可计算分布列及期望；
（2）“甲VS乙：3:0”记为事件， “甲VS乙：3:1”记为事件，此两互斥事件的和即为所求事件，分别计算两事件的概率，求和即得解.
(1)
依题意，，的可能取值为：0,1,2,3，
；
.
X的分布列为：
.
(2)
记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A.
依题意知：在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数比为:“甲VS乙：3:0”记为事件，或“甲VS乙：3:1”记为事件，则，且与互斥.
依题意有：，
，
.
4．血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性（即样本携带病毒）的概率均为.现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
(1)若，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列；
(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p的取值范围，
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意知，，利用二项分布的概率计算公式即可求解；
（2）方案一中，期望为4；方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，计算出Y的取值对应的概率，然后根据期望公式求出，从而即可求解.
(1)
解：由题意知，，
则；；
；；
.
则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为：
(2)
解：方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4；
方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，
每组两个样本化验呈阴性的概率为，设，
则；；.
所以，
若方案二比方案一更“优”，则，解得，
即，解得.
所以当时，方案二比方案一更“优”.
练习二 超几何分布
5．为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.
(1)从参加培训的学生中随机选取人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；
(2)从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；
(3)根据以往培训数据，规定当时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)有效，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（2）分析可知变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；
（3）求出满足的成绩有人，求出，即可得出结论.
(1)
解：设该名学生的考核成绩优秀为事件，
由茎叶图中的数据可知，名同学中，有名同学的考核成绩为优秀，故.
(2)
解：由可得，
所以，考核成绩满足的学生中满足的人数为，
故随机变量的可能取值有、、、，
，，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，.
(3)
解：由可得，由茎叶图可知，满足的成绩有个，
所以，因此，可认为此次冰雪培训活动有效.
6．某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草､翻地､播种､浇水四个项目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：
(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；
(2)记该小组得分为X，求X的期望.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B.
根据超几何分布原理分别求得，，直接利用条件概率的计算公式即可求得；
（2）设恰有Y人女生参加劳动学习，则男生2-Y人参加劳动学习，求出Y的分布列和数学期望，由即可求出.
(1)
设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B.
根据超几何分布原理得：，
有条件概率的计算公式得：
所以，在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率为；
(2)
根据题意女生参加劳动学习可获得：（分）；
男生参加劳动学习可获得：（分）.
设恰有Y人女生参加劳动学习，则男生2-Y人参加劳动学习，则
；；.
所以Y的分布列为：
则有：.
又，
∴.
7．某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
【答案】(1)员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等
(2)应选择第二种方案；理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据超几何分布求出员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率即可；
(2)根据题意可知有两种方案、，分别求出对应的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，从而得出结论.
(1)
用X表示员工所获得的奖励额．
因为，，
所以，
故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等．
(2)
第一种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
所以的数学期望为，
的方差为；
第二种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
所以的数学期望为，
的方差为，
又因为（元），
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
故应选择第二种方案．
8．2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就，习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求，为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门A，B，C的10人中选派4人与其下辖的乡镇甲对接相关业务，其中部门A，B，C可选派的人数分别为3，3，4，且每个人被选派的可能性一样.
(1)求选派的4人中至少有1人来自部门C的概率；
(2)选派的4人中来自部门A，B，C的人数分别为x，y，z，记x，y，z中最大的数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）记“选派的4人中至少有1人来自部门C”为事件D，求出，进而由对立事件的性质得出事件的概率；
（2）先得出X的所有可能取值，并求出其概率，列出分布列，计算数学期望.
(1)
记“选派的4人中至少有1人来自部门C”为事件D.
则，故.
(2)
由题意可知X的所有可能取值为2，3，4.
，
，
，
则X的分布列为
故.
练习三 二项分布与超几何分布的区分
9．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
包装质量在克的产品为一等品，其余为二等品
（1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
（2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望与则望的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）直接利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，列出分布列；
（3）依题意，即可求出的分布列，再求出数学期望，即可得解；
【详解】
解：（1）样本中一共有件产品，包装质量在克的产品有件，故从该流水线任取一件产品为一等品的概率
（2）依题意的可能取值为、、；
，，
故的分布列为：
（3）由（2）可得
依题意，则的可能取值为，，
，，
故的分布列为：
所以
所以
10．2020年10月16日，是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表：
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了10000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
(1)若将频率作为概率，从这10000件产品中随机抽取2件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)若从质量指标值m不低于85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数X的分布列及数学期望；
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表（）：
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)生产该产品能盈利，当时，每件产品的平均利润达到最大
【解析】
【分析】
（1）计算出抽取一件是废品的概率为0.3，由题意Y服从二项分布求解即可；
（2）根据分层抽样可知每层分别抽取4,2,1件，根据超几何分布求分布列、期望即可；
（3）计算每件产品的平均利润，利用导数求出最大值即可得解.
(1)
设事件A的概率为，抽取到的非废品数为Y，则由频率分布直方图可得，任取1件产品是废品的概率为：，不是废品的概率为：．
则
则
（或者）
(2)
由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，
的频率为，
的频率为，
的频率为，
∴利用分层抽样抽取的7件产品中，的有4件，的有2件，的有1件，
从这7件产品中，任取3件，质量指标值的产品件数X的所有可能取值为0，1，2，则：
，，，
∴X的分布列为：
∴X的数学期望为：．
(3)
由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如表所示（），
∴每件产品的平均利润：
，（），
则，
令，解得，
∴当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴当时，取最大值为，
∴生产该产品能够实现盈利，
当时，每件产品的平均利润达到最大．
11．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列.
【答案】（1）；（2）分布列见解析.
【解析】
(1)先求出从个水果中随机抽取一个,抽到礼品果的事件的概率,则抽到礼品果的个数服从二项分布,利用二项分布的概率公式可得答案；
(2)通过分层抽样的方法可以求出从个水果中抽取个,精品果、非精品果的个数,由题意可知：服从超几何分布，根据超几何分布的公式列出的分布列．
【详解】
（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为，则，
现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则，
∴恰好有2个水果是礼品果的概率为.
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个，
再从中随机抽取3个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0,1，2,3，
则.
的分布列为
【点睛】
方法点睛：本题考查了二项分布、超几何分布，考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算，求解离散型随机变量分布列的步骤是：
1.首先确定随机变量的所有可能取值；
2.计算取得每一个值的概率，可通过所有概率和为来检验是否正确；
3.进行列表，画出分布列的表格；
4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它．
12．袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球．
（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；
（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分的分布列和数学期望．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）实验为独立重复试验，可用独立重复试验的概率公式求解；
（2）由题中的无放回，先分析出的可能取值3、4、5、6，求分别对应的概率，写出分布列，再求期望.
【详解】
（1）依题意得，看作3次独立重复试验，每次实验取出红球的概率为 ，取出黑球的概率为 ，设事件A=“取出2个红球1个黑球”，则
（2）的取值有4个：3、4、5、6，分布列为：


从而得分的数学期望为 .
【点睛】
注意区分两问分别独立重复试验服从二项分布，以及超几何分布，并会求出概率和数学期望.
0
1
2
3
配置
甲
乙
丙
丁
频数
25
40
15
20
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P
1
2
3
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
0
1
2
3
分组区间（单位：小时）
人数
X
0
1
2
3
P
Y
0
1
2
P
0
1
2
3
4
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
4
P
Y
0
1
2
P
40
120
200
P
80
120
160
P
X
2
3
4
P
分组区间(单位：克)
产品件数
3
4
7
5
1
质量指标值m
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
质量指标值m
利润y（元）
6t
8t
4t
2t
X
0
1
2
P
质量指标值m
利润y（元）
6t
8t
4t
2t
P
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
0
1
2
3
3
4
5
6
P