四川省射洪中学校2024届高三下学期开学考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省射洪中学校2024届高三下学期开学考试数学（文）试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,则( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足 , 其中i为虚数单位, 则( )
A.0B.-1C.D.1
3．下图是遂宁市2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温的折线统计图: 已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数,则下列结论正确的是( )
A.月温差(月最高气温 - 月最低气温) 的最大值出现在8月
B.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性, 且二者为线性负相关
C.每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月逐月增加
D.9-12月的月温差相对于5-8月,波动性更小
4．设等差数列的前n项和为,若,则( )
A.-18或18B.-18C.18D.2
5．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,,则( )
A.B.C.2D.3
6．下列说法不正确的是( )
A.若, 则
B.命题,则,
C.回归直线方程为,则样本点的中心可以为
D.在中, 角A, B, C的对边分别为a,b,c则“”是“”的充要条件
7．已知实数x,y满足,则的最小值为( )
A.B.-2C.-1D.1
8．函数的图像大致为( )
A.B.
C.D.
9．已知函数,,且的最小值为,则的值为( )
A.B.C.1D.2
10．如图,正方体的棱长为2,线段上有两个动点E,F(E在F的左边),且,下列说法不正确的是( )
A.异面直线与所成角为
B.当E,F运动时,平面平面
C.当E,F运动时,存在点E, F使得
D.当E,F运动时, 三棱雉体积不变
11．已知为双曲线的左焦点,过点的直线与圆 交于A,B两点(A在,B之间), 与双曲线E在第一象限的交点为P,若,(O为坐标原点), 则双曲线E的离心率为( )
A.B.C.D.
12．已知定义在R上的函数 满足: 当时,恒有,若对任意 , 恒成立,则ab的最大值为( )
A.B.C.eD.
二、填空题
13．已知向量,且,则_____________.
14．已知函数是定义在R上的奇函数,当 时,,则______________.
15．如图,在 中,,,D是BC的中点,以AD为折痕把 折叠,使点____________.
16．已知点为抛物线的焦点,点,若第一象限内的点P在抛物线C上,则的最大值为_____________.
三、解答题
17．习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调: “回望过往的奋斗路,眺望前方的奋进路, 必须把党的历史学习好、总结好,把党的成功经验传承好、发扬好.”为庆祝建党100周年, 某市积极开展 “青春心向党, 建功新时代”系列主题活动. 该市某中学为了解学生对党史的认知情况, 举行了一次党史知识竞赛, 全校高一和高二共选拔100名学生参加, 其中高一年级50人, 高二年级50人. 并规定将分数不低于135分的得分者称为 “党史学习之星”, 这100名学生的成绩 (满分为150分) 情况如下表所示.
(1)能否有的把握认为学生获得 “党史学习之星” 与年级有关?
(2)获得“党史学习之星”的这60名学生中, 按高一和高二年级采用分层抽样, 随机抽取了 6人,再从这
6人中随机抽取2人代表学校参加区里的党史知识竞赛, 求这2人中至少有一人是高二年级的概率.
参考公式:,其中.
18．已知等差数列满足:,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前n项和.
19．如图所示,在直四棱柱中,,且,,,M是的中点.
(1)证明;
(2)求点B到平面的距离.
20．已知椭圆的左右焦点分别是,，点P为椭圆短轴的端点,且的面积为4 ,过左焦点的直线l与椭圆C交于 A, B两点(A,B不在x轴上).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点Q在椭圆C上,且(O为坐标原点), 求的取值范围.
21．已知函数,.
(1)若,求过点的切线方程;
(2)若在其定义域上没有零点, 求a的取值范围.
22．在直角坐标系xOy中, 已知曲线(为参数,),在极坐标系中,曲线是以为圆心且过极点O的圆.
(1)分别写出曲线普通方程和曲线的极坐标方程;
(2)直线 与曲线,分别交于M、N两点(异于极点O),求.
23．已知函数，.
(1)若,求不等式的解集;
(2)已知, 若对任意,都存在，使得,求实数t的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：,解得 或,
则或,
则,故,
故选：A.
2．答案：D
解析：由得,
所以,
故选：D.
3．答案：C
解析：对选项A:月温差 (月最高气温 - 月最低气温) 的最大值出现在 10 月, 错误;对选项 B:每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性, 且二者为线性正相关, 错误;
对选项C:每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月分别为20.5,23,26.5,29,30,逐月增加,正确;
对选项D: 9-12 月的月温差为20,31,24,21 ;5-8月的月温差为18,17,16,16,9-12月的月温差的波动性更大, 错误;
故选：C.
4．答案：C
解析：因为,是 的两个实数根,
所以,,,又,
所以,,
因此,
故选：C.
5．答案：D
解析：，，，
由余弦定理可得:,
整理可得:，解得:或(舍去),
故选：D.
6．答案：B
解析：对于选项A,因为,所以, 所以, 故A正确;
对于选项B,根据命题的否定的定义,,故B错误;
对于选项C,把代入, 得,所以样本点的中心可以为,故 正确;
对于选项D,当时,根据三角形中大边对大角, 得,由正弦定理得;
当时,根据正弦定理,
得,所以.所以“ ”是“ ”的充要条件, 故D正确.
故选：B.
7．答案：A
解析：画出可行域与目标函数,
联立 ,解得,
当直线过点 时,z取得最小值,,
故最小值为.
故选：A.
8．答案：B
解析：, 则 的定义域为R,
又，
所以为奇函数,图象关于原点对称,故排除CD,
当时,,故排除A.
故选：B.
9．答案：B
解析：,
是函数的最大值, 由题意可知,的最小值是个周期,
所以, 得.
故选：B.
10．答案：C
解析：对于A,如下图所示:将平移到,连接,
易知在 中, 即为异面直线与所成的平面角,
由正方体的棱长为2 ,
利用勾股定理可知,
即为正三角形,所以异面直线与所成角为, 即A正确;
对于B,连接,如下图所示:
由为正方体即可得,平面,
而平面
所以,又E,F在线段 上,所以;
又 为正方形,所以,即,
又，，平面,所以平面,
又平面,所以平面平面,即B正确;
对于C,易知点F不在平面内,
假设, 又平面,平面, 所以平面,
显然这与平面矛盾, 所以假设不成立, 即C错误;
对于D,当E,F运动时, 由等体积法可知三棱锥体积与三棱锥的体积相等,即;
易知三棱锥的底面积,易知 平面,
所以点A到平面的距离为,
所以,
即当E, F运动时, 三棱锥体积不变, 即D正确.
故选：C.
11．答案：D
解析：作 , 垂足为M,
因为,
所以,又 ,
所以M点为中点,另外,
所以,
所以,,
由双曲线的定义有,所以 ,
所以,在 中,,
又,所以,化简得.
故选：D.
12．答案：B
解析：因为时,恒有 ,
所以 在R上单调递增,所以若 ,
则, 即,构造函数,
若,则在上恒成立, 而恒成立,
则,此时 ;若,则,单调递增,
此时不可能恒有;若,由得,单调递增,
得,单调递减,所以,
即, 所以, 令,
令,得,
时,，单调递增,
时,，单调递减,所以,
所以的最大值为 .
综上所述,的最大值为.
故选：B.
13．答案：-7
解析：由题设, 且,
所以, 则.
故答案为：-7.
14．答案：12
解析：是奇函数,所以.
15．答案：
解析：如图,由题意,当平面 平面,
，D是的中点,, 即,,两两垂直,
又,,,,.
如图,作长方体,则三棱锥的外接球,
设长方体的外接球的半径为R,
则,
.当三棱锥体积最大时,
其外接球的体积为.
故答案为：.
16．答案：
解析：点为抛物线C的交点, 抛物线C的标准方程为,
抛物线C的准线 过点,
过点P向抛物线C的准线l作垂线, 垂足为Q,由抛物线定义知,,
当P在第一象限时, ,
由题意,为直线PM的倾斜角, 且,
当最大时,取最小值,取最大值,
易知直线的斜率存在且为正,设直线的方程为,
当最大时, 直线与抛物线C相切,
,消去y,化简得,,
令, 解得 ,
又,,
的最大值为.
故答案为：.
17．答案：(1)有 的把握认为学生得 “党史学习之星”与年级有关
(2)
解析：(1)根据列联表代入计算可得：
所以有的把握认为学生得 “党史学习之星”与年级有关.
(2)由题意可知, 所抽取的6名学生高一年级有4人, 记为,，，，
高二年级有2人,设为甲、乙.
从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有 ,，，,,
,，，，，，，，共15个，
其中至少有一人是高二年级基本事件有，，，，，，，，，共9个.
故至少有一人是高二年级的概率.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)设等差数列的公差为d.
,
,
解得
.
(2)
.
19．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)如图、连接,
，，
，，
平面,，
又，平面,
平面，.
(2)连接，.
由已知可得,
，，
设点B到平面的距离为h,
由(1)知平面,
三棱锥的体积，
即,
解得, 即点B到平面的距离为.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)由已知 得 ,
又$，，
所以椭圆的标准方程为.
(2)由(1)知的坐标为 ,
①当直线l的斜率不存在时, ,则
②当直线l的斜率存在且不为0时, 设直线l的方程为 且,
联立,得,
设,,则,,
,
设点,则,即,代入椭圆方程得 ,
解得,所以,
所以,
又, 所以的取值范围是.
综上所述,的取值范围是.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,
设过点 的切线方程为,
,代入切线方程得,
因为l过点,所以,即,
令,
所以单调递减,又,所以 有唯一零点 ,
即原方程的根为 ,
代回切线方程得
故过点的切线方程为.
(2)因为在上连续, 又,
所以要使无零点,需使在其定义域上恒成立.
则原问题转化为 , 求a的取值范围,
令,所以单调递增,
又由式得,所以 , 即 恒成立
令,令 得,
当 时,,单调递增; 当 时,单调递堿,
所以 是的极大值点,,所以 , 即 .
综上所述,a的取值范围为.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)由曲线(为参数, ,消去参数 ,
得
所以曲线的直角坐标方程为
因为曲线是以 为圆心的圆, 且过极点O,所以圆心为,半径为1,
故的直角坐标方程为:,即 ,
将 代入可得: 圆的极坐标方程为.
(2)因为曲线的直角坐标方程为.
即,将
代入化简可得的极坐标方程为:,
所以的极坐标方程为;的极坐标方程为;
因为M、N是直线 与曲线,的两个交点,
不妨设,由(1)得,
所以,从而.
23．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,
当时, 即，;
当时, 即，;
当时, 即，,
综上可得不等式的解集为.
(2),
当且仅当时取等号,
，
又，且,
当且仅当,即，时等号成立,
所以
根据题意可得, 解得 或,
t的取值范围是.
获得“党史学习之星”
未获得“党史学习之星”
总计
高一年级
40
10
50
高二年级
20
30
50
总计
60
40
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828