2023年四川省内江市中考数学试卷

这是一份2023年四川省内江市中考数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的绝对值是
A．B．C．2D．
2．（3分）作为世界文化遗产的长城，其总长大约为，将6700000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其正视图是
A．B．C．D．
4．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
6．（3分）在函数中，自变量的取值范围在数轴上表示为
A．B．
C．D．
7．（3分）某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是
A．95，92B．93，93C．93，92D．95，93
8．（3分）如图，正六边形内接于，点在上，点是的中点，则的度数为
A．B．C．D．
9．（3分）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的是
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，点为与的交点．若，则的长为
A．1B．C．2D．3
11．（3分）对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
12．（3分）对于正数，规定，例如：（2），，（3），，计算：（1）（2）（3）
A．199B．200C．201D．202
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）分解因式： ．
14．（5分）若、互为相反数，为8的立方根，则 ．
15．（5分）如图，用圆心角为半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 ．
16．（5分）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则 ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤。）
17．（7分）计算：．
18．（8分）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
19．（10分）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）．音乐社团；．体育社团；．美术社团；．文学社团；．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角 度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
20．（9分）某中学依山而建，校门处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶处测得教学楼的楼顶的仰角，离点4米远的处有一个花台，在处测得的仰角，的延长线交水平线于点，求的长（结果保留根号）．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集；
（3）过点作平行于轴，交于点，求梯形的面积．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）
22．（6分）已知、是方程的两根，则 ．
23．（6分）在 中，、，的对边分别为、、，且满足，则的值为 ．
24．（6分）如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，垂直于轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，点、的对应点分别是点、，若点为的中点，且，则的值为 ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
26．（12分）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）当时，判断的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，，连接交于点，求的长．
27．（12分）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求，的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润（元与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润（元取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价元，若要保证利润率（利润率不低于，求的最大值．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
2023年四川省内江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）的绝对值是
A．B．C．2D．
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
【解答】解：的绝对值是2．
故选：．
2．（3分）作为世界文化遗产的长城，其总长大约为，将6700000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：．
故选：．
3．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体堆成的物体，其正视图是
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，底层有3个正方形，上层的左边是一个正方形．
故选：．
4．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】分别对四个选项进行计算即可．
【解答】解：与不是同类项，不能合并，所以不正确，
因为，所以不正确，
因为，所以不正确，
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可得正确．
故选：．
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：、原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、原图是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
6．（3分）在函数中，自变量的取值范围在数轴上表示为
A．B．
C．D．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，求出解集，即可判断．
【解答】解：根据题意可得：，
解得：．
故答案为：．
7．（3分）某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是
A．95，92B．93，93C．93，92D．95，93
【分析】将这组数据从小到大排列，出现次数最多的数据就是众数，处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
【解答】解：把这组数据从小到大排列为：88，89，91，93，94，95，95，
所以这组数据的众数是95，中位数是93．
故选：．
8．（3分）如图，正六边形内接于，点在上，点是的中点，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
【解答】解：如图，连接，，，，
正六边形，是的中点，
，，
，
，
故选：．
9．（3分）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的是
A．B．
C．D．
【分析】有工作总量2640，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“甲比乙少用2小时输完”．等量关系为：甲用的时间乙用的时间．
【解答】解：乙每分钟能输入个数据，
根据题意得：．
故选：．
10．（3分）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，点为与的交点．若，则的长为
A．1B．C．2D．3
【分析】首先根据点、为边的三等分点得，，再根据得和相似，从而可求出，然后根据得和相似，进而可求出的长．
【解答】解：点、为边的三等分点，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
11．（3分）对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【分析】根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式△，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：，
，
，
△，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故选：．
12．（3分）对于正数，规定，例如：（2），，（3），，计算：（1）（2）（3）
A．199B．200C．201D．202
【分析】分别计算（1），（2），（3），，，，，相加后可解答．
【解答】解：（1），（2），，（3），，（4），，，，，
（2），（3），（4），，，
（1）（2）（3）
．
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）分解因式： ．
【分析】提公因式再运用平方差公式即可解答．
【解答】解：．
故答案为：．
14．（5分）若、互为相反数，为8的立方根，则 ．
【分析】根据相反数的性质及立方根定义求得，的值，然后将原代数式变形为后代入数值计算即可．
【解答】解：、互为相反数，
，
为8的立方根，
，
则
，
故答案为：．
15．（5分）如图，用圆心角为半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 ．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得，解得，然后利用扇形的半径等于圆锥的母线长和勾股定理计算圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
所以圆锥的高．
故答案为：．
16．（5分）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则 ．
【分析】连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤。）
17．（7分）计算：．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
18．（8分）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）证出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，则可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，，
又为的中点，
，
，
，
又为的中点，
，
；
（2）证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
，
四边形是矩形．
19．（10分）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）．音乐社团；．体育社团；．美术社团；．文学社团；．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 200 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角 度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【分析】（1）由的人数除以所占百分比得出此次调查一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由乘以的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取的学生人数为：（名，
的人数为：（名，
故答案为：200，
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中圆心角，
故答案为：54；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，
恰好选中甲和乙两名同学的概率为．
20．（9分）某中学依山而建，校门处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶处测得教学楼的楼顶的仰角，离点4米远的处有一个花台，在处测得的仰角，的延长线交水平线于点，求的长（结果保留根号）．
【分析】先根据斜坡的坡角和长度求出点离的高度，然后根据求底部不能到达的物体的高度求出的高度，即可求出的长．
【解答】解：如图，设点到的距离为，
在中，米，
设米，则米，米，
在中，，
即，
，
米．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集；
（3）过点作平行于轴，交于点，求梯形的面积．
【分析】（1）利用可得反比例函数为 ，再求得，用待定系数法可得一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案；
（3）求出的解析式，由，可得，，由，得，，再利用梯形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1）反比例函数 过，
，
反比例函数为：，
把代入 得：，
，
，
解得：，
一次函数为；
（2）观察函数图象可得，当时，的解集为：；
（3），
直线的解析式为：，
过点作平行于轴，交于点，
，
，
在中，令得，即
，
，
，
梯形的面积为9．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）
22．（6分）已知、是方程的两根，则 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．
【解答】解：是方程的根，
，
，
，是方程的两根，
，
．
故答案为：．
23．（6分）在 中，、，的对边分别为、、，且满足，则的值为 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出，，的值，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：，
，
，，，
，，，
中，、，的对边分别为、、，
．
故答案为：．
24．（6分）如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．
【分析】过点作于点，过点作于点，先利用角的正弦值求出的长，即可求出等边的面积，再求出的长，即可求出的面积，最后根据图形间面积关系即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：过点作于点，过点作于点，
，
四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
在中，，
即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，垂直于轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，点、的对应点分别是点、，若点为的中点，且，则的值为 ．
【分析】连接，设，由轴对称的性质得到，，利用相似三角形的判定和性质得到，得到，根据以及反比例函数的几何意义即可得到结论．
【解答】解：连接，设对称轴与轴交于，
与关于对称，
，，，
点我的中点，
设，则，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
26．（12分）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）当时，判断的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，，连接交于点，求的长．
【分析】（1）由角平分线的定义及等腰三角形的性质证明，可推出，即可证明直线是的切线；
（2）证出，，得到，由此计算即可证明结论成立；
（3）利用含30度的直角三角形的性质求得，得到等边的边长，在中，利用余弦函数的定义即可求解．
【解答】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
，，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
是等边三角形；
（3）解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
为的直径，，
，
，，
即，
．
27．（12分）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求，的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润（元与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润（元取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价元，若要保证利润率（利润率不低于，求的最大值．
【分析】（1）根据信息列二元一次方程得出答案；
（2）分类讨论，分别求出和时的函数关系；
求出当为多少时，值最大，利用利润率公式得到关于的不等式，解出的最大值．
【解答】解：（1）由题可列，
解得．
（2）由题可得当时，
，
当时，
，
答：超市当天售完这两种水果获得的利润（元与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系为：．
（3），
当时，的值最大，即，
由题可列，
解得，
答：的最大值为1.2．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设，可求，从而可求，即可求解；
（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于点，连接，，设，可求，，由，构建方程可得坐标，求出直线的解析式，利用平行线的性质求出直线的解析式，可得结论．
【解答】解：（1）由题意，，
解得，
抛物线的解析式为；
（2），，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，有最大值，最大值为，此时，；
（3）存在．过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于点，连接，，设，则，，
由，可得，
，
，
直线 解析式为，
，且经过，
直线 解析式为，
当时，，
，
综上所述：存在，的坐标为或．水果种类
进价（元千克）
售价（元千克）
甲
20
乙
23
水果种类
进价（元千克）
售价（元千克）
甲
20
乙
23