2022年四川省内江市中考数学试卷（含解析）

2022年四川省内江市中考数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共36分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 某店今年月新能源汽车的销量辆数分别如下：，，，，，这组数据的平均数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 年月第届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 下列说法错误的是(    )

A. 打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件
B. 要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
C. 一组数据的方差越小，它的波动越小
D. 样本中个体的数目称为样本容量

6. 如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是(    )

A. 跟
B. 党
C. 走
D. 听

7. 如图，在▱中，已知，，的平分线交边于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，数轴上的两点、对应的实数分别是、，则下列式子中成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，点、、在轴上，点的坐标为，，是经过某些变换得到的，则正确的变换是(    )

A. 绕点逆时针旋转，再向下平移个单位
B. 绕点顺时针旋转，再向下平移个单位
C. 绕点逆时针旋转，再向下平移个单位
D. 绕点顺时针旋转，再向下平移个单位
 

10. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点．若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

12. 如图，抛物线与轴交于两点、，其中下列四个结论：；；；不等式的解集为其中正确结论的个数是(    )

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共44分）

13. 函数的自变量的取值范围是______．
14. 如图，在中，，则等于______．

15. 对于非零实数，，规定若，则的值为______．
16. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作周髀算经中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、若正方形的边长为，则______．

17. 分解因式：______．
18. 如图，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象在第一象限交于点若一次函数的值随值的增大而增大，则的取值范围是______．

19. 已知、是关于的方程的两实数根，且，则的值为______．
20. 如图，矩形中，，，点、分别是、上的动点，，则的最小值是______．

三．解答题（本题共8小题，共80分）

21. 计算：；
    先化简，再求值：，其中，．
22. 如图，在▱中，点、在对角线上，且．
    求证：≌；
    四边形是平行四边形．

23. 为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八班参加本校知识竞赛的名同学的成绩满分为分，得分为正整数且无满分，最低为分分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：

表中______，______；
请补全频数分布直方图；
本次知识竞赛中，成绩在分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

24. 如图所示，九班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树、之间的距离，他们在河边与平行的直线上取相距的、两点，测得，，．
    求河的宽度；
    求古树、之间的距离．结果保留根号

25. 如图，内接于，是的直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接．
    判断直线与的位置关系并说明理由；
    若的半径为，，求的长；
    在的条件下，求阴影部分的面积．

26. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队名学生，则还剩名学生没老师带；若每位老师带队名学生，就有一位老师少带名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：

学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过元．
参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
学校租车总费用最少是多少元？

27. 如图，在矩形中，，，点、分别在、上，且，点为的中点，连接交于点．
    当为的中点时，求证：；
    若，求的值；
    若，求的值．

28. 如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
    求这条抛物线所对应的函数的表达式；
    若点为该抛物线上的一个动点，且在直线上方，求点到直线的距离的最大值及此时点的坐标；
    点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为：两部分，求点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．根据相反数的定义，即可解答．
【解答】
解：的相反数是，
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：这组数据的平均数为：辆，
故选：．
根据算术平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查实数平均数，掌握算术平均数的计算方法是正确计算的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：和不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B.，故符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，故不符合题意．
故选：．
根据合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则以及同底数幂除法的运算法则计算并作出判断即可．
本题综合考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键，属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件，故A选项不符合题意；
B.要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查调查，故B选项符合题意；
C.一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项不符合题意；
D.样本中个体的数目称为样本容量，故D选项不符合题意．
故选：．
根据随机事件的定义，抽样调查和全面调查的特点，方差的特点，样本容量的定义解答即可．
本题主要考查了随机事件，抽样调查和全面调查，方差的，样本容量，熟练掌握相关的定义和特点是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，
“话”与“走”是对面，
故答案为：．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的得，，，再证，则，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
，
选项的结论成立；
，
，
选项的结论不成立；
，，
，
，
选项的结论不成立；
，，
，
，
选项的结论不成立．
故选：．
依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出，的取值范围是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据图形可以看出，绕点顺时针旋转，再向下平移个单位可以得到．
故选：．
观察图形可以看出，通过变换得到，应先旋转然后平移即可．
本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设点，，则，，，
．
点在反比例函数的图象上，
．
，
，
．
．
，
解得：．
故选：．
设点，则，依据已知条件利用待定系数法解答即可．
本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接、，
六边形为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
的长为：，
故选：．
连接、，根据正六边形的性质求出，根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据弧长公式求出的长．
本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算，正确求出正六边形的中心角是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴，
，，，
，
正确．
当时，，
，
错误．
抛物线对称轴，，
，
，
，
，
正确．
如图：

设，，
由图值，时，或，
故错误．
故选：．
利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
根据被开方数非负列式求解即可．
【解答】
解：根据题意得，，
解得．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：由圆周角定理得：，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得：．
经检验，是原方程的根，
．
故答案为：．
利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．
本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边是，则：
，，，
且：，


．
故答案为：．
由勾股定理和乘法公式完成计算即可．
本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理和乘法公式表示三个正方形的面积是求解本题的关键．
17.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解．
本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点作轴，交双曲线与点，过点作轴，交双曲线与点，如图，

，反比例函数，
，．
一次函数的值随值的增大而增大，
点在，之间，
．
故答案为：．
过点分别作轴，轴的平行线，与双曲线分别交于点，，利用解析式分别求得，坐标，依据题意确定点的移动范围，从而得出结论．
本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法，反比例函数的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，确定点的移动范围是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：、是关于的方程的两实数根，
，，，
，
，
，
，
解得或，
当时，关于的方程为，，符合题意；
当时，关于的方程为，，方程无实数解，不符合题意；
，
故答案为：．
根据、是关于的方程的两实数根，可得，，，把变形再整体代入可得，解出的值，并检验即可得．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系得出，，从而根据已知得到关于的方程，注意最后要由求得的值检验原方程是否有实数根．
 

20.【答案】 

【解析】解：延长到，使，连接，

，，
四边形是平行四边形，
，
，
当点、、三点共线时，的值最小为，
由勾股定理得，，
的最小值为，
故答案为：．
延长到，使，连接，则四边形是平行四边形，得，则，可知当点、、三点共线时，的值最小为，利用勾股定理求出的长即可．
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线将的最小值转化为的长是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式

．
原式

．
当，时，原式． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
先根据分式的运算法则化简分式，再代入求值．
本题考查了二次根式的运算，特殊角的函数值，负指数次幂的运算，以及分式的化简求值，正确熟练的运算是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌；
由可知，≌，
，，
，即，
，
，，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，利用定理证明≌；
根据全等三角形的性质得到，，根据平行线的判定定理证明，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：，，
故答案为：，；
补全频数分布直方图如下：

成绩在分以上的选手有人，男生和女生各占一半，
名是男生，名是女生，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中确定的名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有种，
确定的名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．
由样本容量乘以频率得出的值，再由频率的定义求出的值即可；
由的结果，补全频数分布直方图即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中确定的名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率、频数分布表和频数分布直方图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】解：过点作，垂足为，

设米，
米，
米，
，，
，
在中，米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
河的宽度为米；
过点作，垂足为，

则米，，
，
，
在中，米，
米，
古树、之间的距离为米． 

【解析】过点作，垂足为，设米，则米，先利用平角定义求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答；
过点作，垂足为，米，，先利用平角定义求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：直线与相切．
理由如下：连接，

为圆切线，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又为圆的半径，
为圆的切线；
≌，
，
，
为中点，
即，，
，，，
，
，
，
；
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
阴影部分的面积为． 

【解析】连接，证明≌，由全等三角形的判定与性质得出，由切线的判定可得出结论；
由直角三角形的性质求出，可得出，则可求出答案；
证明是等边三角形，求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
 

26.【答案】解：设参加此次劳动实践活动的老师有人，参加此次劳动实践活动的学生有人，
根据题意得：，
解得，
，
答：参加此次劳动实践活动的老师有人，参加此次劳动实践活动的学生有人；
师生总数为人，
每位老师负责一辆车的组织工作，
一共租辆车，
设租甲型客车辆，则租乙型客车辆，
根据题意得：，
解得，
为整数，
可取、、，
一共有种租车方案：租甲型客车辆，租乙型客车辆或租甲型客车辆，租乙型客车辆或租甲型客车辆，租乙型客车辆；
设租甲型客车辆，则租乙型客车辆，
由知：，
设学校租车总费用是元，
，
，
随的增大而增大，
时，取最小值，最小值为元，
答：学校租车总费用最少是元． 

【解析】设参加此次劳动实践活动的老师有人，可得：，即可解得参加此次劳动实践活动的老师有人，参加此次劳动实践活动的学生有人；
根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租辆车，设租甲型客车辆，可得：，解得的范围，解得一共有种租车方案：租甲型客车辆，租乙型客车辆或租甲型客车辆，租乙型客车辆或租甲型客车辆，租乙型客车辆；
设学校租车总费用是元，，由一次函数性质得学校租车总费用最少是元．
本题考查一元一次方程，一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．
 

27.【答案】证明：为的中点，
，
四边形是矩形，
，
，
，
≌，
，
点为的中点，
，
，
，
；
解：，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由同理得，，
，
解得，
，
． 

【解析】根据矩形的性质，利用证明≌，得，再利用点为的中点，即可证明结论；
利用∽，得，从而求出的长，再利用∽，得，求出的长，可得答案；
首先利用同角的余角相等得，则，得，可得的长，由同理可得答案．
本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出的长是解决和的关键．
 

28.【答案】解：抛物线与轴交于，，与轴交于点．
，
解得：，
抛物线的解析式为；

过点作于，交直线于点，过点作于，如图．

设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为．
设点的横坐标为，则点的横坐标也为，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，点到直线的距离取得最大值．
此时，
即点的坐标为；

如图，设直线交轴于点，

直线把四边形的面积分为：两部分，
又：：：，
则：：或：
则或，
即点的坐标为或，
将点的坐标代入直线的表达式：，
解得：或，
故直线的表达式为：或，
联立方程组或，
解得：或不合题意值已舍去，
故点的坐标为或 

【解析】运用待定系数法即可解决问题；
过点作于，交直线于点，过点作于，可用待定系数法求出直线的解析式，设点的横坐标为，则点的横坐标也为，从而可以用的代数式表示出，然后利用得到，可得出关于的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
根据：：：，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图象面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．