2023年湖北省随州市中考数学试卷

这是一份2023年湖北省随州市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的绝对值是
A．2023B．C．D．
2．（3分）如图，直线，直线与，相交，若图中，则为
A．B．C．D．
3．（3分）如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是
A．主视图和俯视图B．左视图和俯视图
C．主视图和左视图D．三个视图均相同
4．（3分）某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为
A．5和5B．5和4C．5和6D．6和5
5．（3分）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修千米，则可列出方程为
A．B．C．D．
6．（3分）甲、乙两车沿同一路线从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，关于下列结论：①，两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达城；④甲车在追上乙车．正确的有
A．①②B．①③C．②④D．①④
7．（3分）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，过，两点作直线交于点，交，于点，，下列结论不正确的是
A．B．C．D．
8．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为
A．B．C．D．
9．（3分）设有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为
A．6B．7C．8D．9
10．（3分）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有
①；
②；
③方程的两个根为，；
④抛物线上有两点，和，，若且，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
11．（3分）计算： ．
12．（3分）如图，在中，，，则的度数为 ．
13．（3分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ．
14．（3分）如图，在中，，，，为上一点，若是的角平分线，则 ．
15．（3分）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为的100盏灯，分别对应着编号为的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律；
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．
16．（3分）如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（6分）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）如图，矩形的对角线，相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
19．（11分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中的值为 ，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
20．（7分）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得建筑物顶端的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上）
（1）求点到地面的距离；
（2）求该建筑物的高度．
21．（9分）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，垂直于过点的直线，垂足为，的延长线交直线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，
①求的半径；
②求线段的长．
22．（10分）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第天且为整数）的售价（元千克）与的函数关系式销量（千克）与的函数关系式为，已知第5天售价为50元千克，第10天售价为40元千克，设第天的销售额为元．
（1） ， ；
（2）求第天的销售额元与之间的函数关系式；
（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
23．（9分）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕点顺时针旋转得到△，连接，
由，，可知为 三角形，故，又，故，
由 可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，
且有 ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 点．
（2）如图4，在中，三个内角均小于，且，，，已知点为的“费马点”，求的值；
（3）如图5，设村庄，，的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站沿直线向，，三个村庄铺设电缆，已知由中转站到村庄，，的铺设成本分别为元，元，元，选取合适的的位置，可以使总的铺设成本最低为 元．（结果用含的式子表示）
24．（12分）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点，为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．
（1）直接写出抛物线和直线的解析式；
（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
（3）当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）的绝对值是
A．2023B．C．D．
【分析】依据题意，由绝对值的性质即可得解．
【解答】解：由题意，根据一个负数的绝对值是它的相反数，
．
故选：．
2．（3分）如图，直线，直线与，相交，若图中，则为
A．B．C．D．
【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：直线，，
．
故选：．
3．（3分）如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是
A．主视图和俯视图B．左视图和俯视图
C．主视图和左视图D．三个视图均相同
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【解答】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为矩形；俯视图是一个圆．
故选：．
4．（3分）某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为
A．5和5B．5和4C．5和6D．6和5
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：将数据重新排列为3，4，5，5，6，7，
所以这组数据的众数为5，中位数为．
故选：．
5．（3分）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修千米，则可列出方程为
A．B．C．D．
【分析】根据两个工程队工作效率间的关系，可得出乙工程队每个月修千米，利用工作时间工作总量工作效率，结合乙工程队所用的时间比甲工程队少半个月，即可列出关于的分式方程，此题得解．
【解答】解：乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，且甲工程队每个月修千米，
乙工程队每个月修千米．
根据题意得：．
故选：．
6．（3分）甲、乙两车沿同一路线从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，关于下列结论：①，两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达城；④甲车在追上乙车．正确的有
A．①②B．①③C．②④D．①④
【分析】根据图象可判断①和③选项，根据“路程时间速度”可求出甲和乙的速度，即可判断②选项，设甲车出发后小时，追上乙车，根据甲车追上乙车时，两车的路程相等列方程，求出的值，进一步判断即可．
【解答】解：由图象可知，，两城相距，乙车先出发，甲车先到达城，
故①符合题意，③不符合题意；
甲车的平均速度是（千米小时），
乙车的平均速度是（千米小时），
故②不符合题意；
设甲车出发后小时，追上乙车，
，
解得，
甲车出发1.5小时追上乙车，
甲车出发，
甲车在追上乙车，
故④符合题意，
综上所述，正确的有①④，
故选：．
7．（3分）如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，过，两点作直线交于点，交，于点，，下列结论不正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据作图可知：垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，故，正确；无法证明，故错误．
【解答】解：根据作图可知：垂直平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，故，正确；
无法证明，故错误；
故选：．
8．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为
A．B．C．D．
【分析】根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：设，
图象过，
，
，
当电阻为时，电流为：（A）．
故选：．
9．（3分）设有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为
A．6B．7C．8D．9
【分析】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据、、类卡片的形状可得答案．
【解答】解：
，
若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张．
故选：．
10．（3分）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有
①；
②；
③方程的两个根为，；
④抛物线上有两点，和，，若且，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．
【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确；
抛物线对称轴为直线，时，，
时，，
，故②正确；
由可得方程的解，，
的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
抛物线与轴另一个交点为，
方程的两个根为，6，
，，
，
而若方程的两个根为，，则，，故③错误；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
若且，则点，到对称轴的距离小于，到直线的距离，
，故不正确．
故选：．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
11．（3分）计算： 0 ．
【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算乘法，后计算加法即可．
【解答】解：
．
故答案为：0．
12．（3分）如图，在中，，，则的度数为 ．
【分析】连接，根据垂径定理及圆心角、弧、弦的关系求得的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得答案．
【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，
故答案为：．
13．（3分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 2 ．
【分析】直接利用根于系数的关系，，再代入计算即可求解．
【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
，，
．
故答案为：2．
14．（3分）如图，在中，，，，为上一点，若是的角平分线，则 5 ．
【分析】过点作于点，由角平分线的性质得到，再通过证明，得到，根据勾股定理可求出，进而求出，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：如图，过点作于点，
，
，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故答案为：5．
15．（3分）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为的100盏灯，分别对应着编号为的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律；
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 10 盏．
【分析】分析各号开关被按的次数，可得出号开关被按的次数等于的约数的个数，进而可得出约数个数是奇数，则一定是平方数．结合，可得出100以内共有10个平方数，即最终状态为“亮”的灯共有10盏．
【解答】解：号开关被按了1次，2号开关被按了2次，3号开关被按了2次，4号开关被按了3次，5号开关被按了2次，6号开关被按了4次，7号开关被按了2次，8号开关被按了4次，9号开关被按了3次，，
号开关被按的次数等于的约数的个数，
约数个数是奇数，则一定是平方数．
，
以内共有10个平方数，
最终状态为“亮”的灯共有10盏．
故答案为：10．
16．（3分）如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点时，连接，则的面积为 10 ；的最大值为 ．
【分析】的面积直接以为底，为高即可求；当点和重合时，的值最大，画出图形，利用勾股定理构造方程即可解答．
【解答】解：的面积为；
当点和重合时，的值最大，如图；
设，则，，
，
在中，根据勾股定理有：，
解得，
，
故答案为：10，，
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先把除法转化为乘法，再约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
，
当时，原式．
18．（8分）如图，矩形的对角线，相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再根据矩形性质可得：，利用菱形的判定即可证得结论；
（2）先求出矩形面积，再根据矩形性质可得，再由菱形性质可得菱形的面积可解答．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
矩形的对角线，相交于点，
，，，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，，，
，，
，
四边形是菱形，
菱形的面积．
19．（11分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 80 人，条形统计图中的值为 ，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【分析】（1）将基本了解的人数除以其所占百分比即可得到接受调查的学生总数；将接受调查的学生总数减去另外三项人数即可求出的值；将“非常了解”占比乘以即可求出扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（2）将该校学生总数乘以样本中该校学生中对心理健康知识“不了解”的占比即可；
（3）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到2名女生的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）基本了解的有40人，占，
接受问卷调查的学生共有（人，
条形统计图中的值为：，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：80，16，；
（2）可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：人），
故答案为：40；
（3）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种，
（恰好抽到2名女生）．
20．（7分）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得建筑物顶端的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上）
（1）求点到地面的距离；
（2）求该建筑物的高度．
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到；
（2）过点作于点，则，设，则，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）过点作，交的延长线于点，
，
解得，
．
点到地面的距离为．
（2）过点作于点，
则，
设，则，
在中，，
解得，
，
在中，，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
．
居民楼的高度为．
21．（9分）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，垂直于过点的直线，垂足为，的延长线交直线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，
①求的半径；
②求线段的长．
【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，根据已知易得，从而利用等弧所对的圆周角相等可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平行线的性质可得，即可解答；
（2）①过点作，垂足为，根据垂径定理可得，再根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
②根据平角定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：①过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的半径为3；
②，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
线段的长为2．
22．（10分）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第天且为整数）的售价（元千克）与的函数关系式销量（千克）与的函数关系式为，已知第5天售价为50元千克，第10天售价为40元千克，设第天的销售额为元．
（1） ， ；
（2）求第天的销售额元与之间的函数关系式；
（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
【分析】（1）用待定系数法可得，的值；
（2）由销售额，分两种情况可得答案；
（3）分两种情况，结合（2）可列出方程解得答案．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得，
，
故答案为：，60；
（2）当时，；
当时，；
；
（3）在中，令得：，
整理得，
方程无实数解；
由得，
整数，
可取24，25，26，27，28，29，30，
销售额超过1000元的共有7天．
23．（9分）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕点顺时针旋转得到△，连接，
由，，可知为 等边 三角形，故，又，故，
由 可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，
且有 ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 点．
（2）如图4，在中，三个内角均小于，且，，，已知点为的“费马点”，求的值；
（3）如图5，设村庄，，的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站沿直线向，，三个村庄铺设电缆，已知由中转站到村庄，，的铺设成本分别为元，元，元，选取合适的的位置，可以使总的铺设成本最低为 元．（结果用含的式子表示）
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析后即可得出结论，然后填空即可；
（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到△，即可得出可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，再根据可证明，根据勾股定理即可求出；
（3）根据总铺设成本，将绕点顺时针旋转得到△，得到等腰直角△，推出，即可得出当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为的长，然后根据已知条件和旋转的性质求出即可．
【解答】解：（1），，
为等边三角形，
，，
又，
，
根据两点之间线段最短可知，当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，
此时的点为该三角形的“费马点”，
，，
，，
将绕点顺时针旋转得到△，
△，
，
，
，
，
，，
，，
三个顶点中顶点到另外两个顶点的距离和最小，
又已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，
该三角形的“费马点”为点．
故答案为：等边；两点之间线段最短；；；
（2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接，
由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，
，
，
又，
，
根据旋转的性质可知：，
，
即的最小值为5；
（3）总铺设成本，
当最小时，总铺设成本最低，
将绕点顺时针旋转得到△，连接，，
由旋转性质可知：，，，，
，
，
当、、、在同一条直线上时，取最小值，
即取最小值为，
过点作于，
，，
，
，
，
，
，
即的最小值为，
总铺设成本为：总铺设成本（元．
故答案为：．
24．（12分）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点，为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．
（1）直接写出抛物线和直线的解析式；
（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
（3）当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点坐标代入求，进而得到抛物线的解析式；设直线的解析式为，将、两点坐标代入求解即可得到直线的解析式．
（2）由题可得坐标，分别求出，，，对等腰三角形中相等的边界线分类讨论，进而列方程求解．
（3）对点在点左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而得到点，点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入得，，
，
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的表达式为．
（2）点在直线上，且，
点的坐标为，
，，
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得；
②若，则，
即，
解得或（舍去）；
③若，则，
即，
解得或（舍去）．
综上，或或．
（3）点与点相对应，
或，
①若点在点的左侧，
则，
当，即时，
直线的表达式为，
，
解得或（舍去），
，即，
，即，
解得，
，
当，即时，
，
，即，
解得（舍去）．
②若点在点的右侧，
则，，
当，即时，
直线的表达式为，
，
解得或（舍去），
，
，即，
解得，
，
当，即时，
，，
，即，
解得或（舍去），
，
综上，，或，或，．