2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区八年级下学期期末数学试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。

下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
B.C.D.
不等式3 + 2? ≥ 1的解在数轴上表示正确的是()
A.B.
C.D.
若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是()
A.7B.8C.9D.10
若分式?2−4的值为零，则?的值是()
?+2
A.± 2B.2C.−2D.0
将点?(2,−1)向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点?，则点?的坐标是
()
A.(5,3)B.(−1,3)C.(−1,−5)D.(5,−5)
，
如图，?，?，?，?分别在四边形????是的??，??，??，?的边上，对于四边形????的形状，某班学生在一次数学活动课中通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是( )
当?，?，?，?不是各边中点时，四边形????不可能为菱形
当?，?，?，?不是各边中点时，四边形????可以为平行四边形
当?，?，?，?是各边中点，且?? = ??时，四边形????为菱形
当?，?，?，?是各边中点，且?? ⊥ ??时，四边形????为矩形
如图，在平行四边形????中，用直尺和圆规作∠???的平分线??交??于点?.若?? = 8，?? = 5，则??的长为()
4
6
8
10
小丽周二在某面包店花15元买了几个面包，周六再去买时，恰好该面包店搞优惠酬宾活动，同样的面包每个比原来便宜1元，结果小丽比上次少花了1元，却比上次多买了2个面包．若设她周二买了?个面包，根据题意可列方程为()
15=15−1−1B.15−1=15−1
??+2??+2
C.15=15−1−1D.15=15−1+2
?+2???−1
下列说法中错误的是()
邻边相等的四边形是正方形
两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
四个角都相等的四边形是矩形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
如图，在??△???中，∠???=90°，∠?=60°，??=2，将△ ???绕点?按逆时针方向旋转得到△ ?′?′?，此时点?′恰好 在边??上，则点?′与点?之间的距离为()
A.4
3
B.2
C.3
3
D.
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
因式分解：?3−6?2 + 9? =．
?24
计算：−= ．
?−2?−2
在平面直角坐标系???中，一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0,?,?均为常数)与正比例函数? = −1
2
?的图象如图所示，则关于?的不等式??+?>−1?的解集为．
2
如图，点
7
?的坐标为(1,
2
)，点?在?轴上，把 △ ???沿?轴向右平移到△ ???，四边形???
?的面积为14，则点?的坐标为．
如图，在△ ???中，点?，?分别是边??，??的中点，点?是线段??上的一点，连接?
?，??，∠???= 90°.已知?? = 4，?? = 1，则??的长是．
在▱????中，∠? = 60°，点?在直线??上，?? = 4，?? = 3??，点?是??的中点，??
平分∠???，则?? =．
三、计算题（本大题共 2 小题，共 14.0 分）
解方程：2?+ 3= 1．
?−22−?
先化简，再求值(1 +?2
?−??
) ⋅，其中 = 3．
?2−?2??
(本小题8.0分)
因式分解：
(1)?3?−2?2?2+??3；
(2)(?2+4)2−16?2．
(本小题8.0分)
3(?+ 2) ≥ 2?+ 5
利用数轴解不等式组：{?−1>?−2．
32
(本小题8.0分)
如图，在▱????中，点?是??延长线上的一点，∠??? = ∠???，连接??交??于点?．
(1)求证：?? = ??，?? = ??；
(2)若∠???= 4∠???，∠??? = 50°，∠?的度数为．
(本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中， △ ???的三个顶点坐标分别为?(1,1)，?(4,2)，?(3,4)．
将△ ???沿?轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△ ?1?1?1(点?的对应点为?1，点?的对应点为?1，点?的对应点为?1)；
将△ ???绕着点?顺时针旋转180°，画出旋转后得到的△ ?2?2?2(点?的对应点为?2，点?
的对应点为?2，点?的对应点为?2)，此时四边形???2?2的形状是；
在平面内有一点?，使得以?，?，?，?为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点?的坐标是．
(本小题10.0分)
为了美化周围环境，社区购买了?、?两种不同品种的花苗，已知?种花苗的单价比?种花苗的单价多1.5元，且用8000元购买?种花苗的数量与用5000元购买?种花苗的数量相同．
求?、?两种花苗的单价各是多少元？
根据实际情况需要，社区还需要增加购买一些花苗，增加购买?种花苗数量是增加购买?种花苗数量的2倍，若本次增加购买的总费用不超过7200元，求增加购买?种花苗的数量最多是多少株？
(本小题12.0分)
如图，等边三角形???边长为10??，点?从点?出发，以1厘米/秒的速度沿??从?向?运动，点?是??边上一动点，?? = 3??−2，作?关于?对称点为点?，以??、??为邻边作平行四边
(< ? <4)
形????，设?点的运动时间为?秒2．
3
当?点落在??上时，求?的值；
四边形????能否成为菱形？若能，求出?的值；若不能，请说明理由； (3)直接写出?为何值时，点?落在△ ???的一个内角的角平分线上．
(本小题12.0分)
如图1，两个全等的矩形????和????中，?? = ?? = 2，?? = ?? =3，矩形????绕?点旋转，点?在直线??的上方，??与??相交于点?，
(1)求证：?? = ??；
(2)如图2，当∠??? = 30°时，求证：?? = ??；
当??与直线??所成锐角为30°时，直接写出点?到??的距离．
答案和解析
【答案】?
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
【解答】
解：?、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选：?．
【答案】?
【解析】解：不等式3 + 2? ≥ 1，移项得：2? ≥ 1−3，
合并同类项得：2? ≥ −2，解得：? ≥ −1，
数轴表示如下：
．故选：?．
不等式移项，合并同类项，把?系数化为1求出解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法及数轴上解集的表示方法是解本题的关键．
【答案】?
【解析】解：设这个多边形的边数为?，则该多边形的内角和为(?−2) × 180°，依题意得：(?−2) × 180° = 360° × 4，
解得：? = 10，
∴ 这个多边形的边数是10．故选：?．
设这个多边形的边数为?，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于?的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程(?−2) × 180° = 360° × 4．
【答案】?
【解析】
【分析】
此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．
分式的值为0的条件是：(1)分子= 0；(2)分母≠ 0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】
解： ∵ ?2−4= 0，
?+2
{
?2−4=0
∴?+ 2 ≠ 0，
∴ ? = 2，故选：?． 5.【答案】?
【解析】解：将点?(2,−1)向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点?(−1.3)，故选：?．
根据：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题．本题考查坐标平移，记住坐标平移的规律是解决问题的关键．
【答案】?
【解析】解：?.如图所示，若?? = ?? = ?? = ??，则四边形????为菱形，此时?，?，?，?不是四边形????各边中点，故 A 错误，符合题意；
B.如图所示，若??//??，?? = ??，则四边形????为平行四边形，此时?，?，?，?不是四边形?
???各边中点，故 B 正确，不符合题意；
C.当?，?，?，?是四边形????各边中点，且?? = ??时，存在?? = ?? = ?? = ??，故四边形?
???为菱形，故 C 正确，不符合题意；
D.当?，?，?，?是四边形????各边中点，且?? ⊥ ??时，存在∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，故四边形????为矩形，故 D 正确，不符合题意；
故选：?．
连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．
本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关．
【答案】?
【解析】解：??交??于?点，如图，由作法得??平分∠???，?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，?? ⊥ ??，
∵ 四边形????为平行四边形，
∴ ??//??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ??=??=1??=4，
2
??2−??2
在?? △ ???中，?? =
=
= 3，
52−42
∴ ?? = 2?? = 6．故选：?．
??交??于?点，如图，由作法得??平分∠???，?? = ??，则∠??? = ∠???，根据等腰三角形的性质，利用?? = ??，∠??? = ∠???得到?? = ??，?? ⊥ ??，接着证明∠??? = ∠???得到?? =
??，则根据等腰三角形的性质得到?? = ?? = 1?? = 4，然后利用勾股定理计算出??，从而得到?
2
?的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行四边形的性质．
【答案】?
【解析】解：设她周二买了?个面包，则这次买了(? + 2)个，
根据题意得15−1 = 15−1，
?
故选：?．
?+2
由设她周二买了?个面包，，则这次买了(? + 2)本，然后可求得两次面包的价格，由等量关系：每个比原来便宜1元，即可得到方程．
此题考查了分式方程的应用．注意准确找到等量关系是关键．
【答案】?
【解析】解：?、邻边相等的矩形是正方形，原命题是假命题； B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；C、四个角都相等的四边形是矩形，是真命题；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题；故选：?．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法可以判断出四个选项正误．
此题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是熟记各种四边形的判定定理．
【答案】?
【解析】解：如图，连接??′，
∵ 将△ ???绕点?按逆时针方向旋转得到△ ?′?′?，
∴ ∠???′ = ∠???′，?? = ??′，?? = ??′，
∵∠? = 60°，
∴ △ ???′是等边三角形，∠??? = 30°，
∴∠???′ = 60°，?? = 2??，
∴∠???′ = 60°，
∴ △ ???′是等边三角形，
∴ ??′ = ??，
在?? △ ???中，?? = 2?? = 4，
??2−??2
∴ ?? =
=
= 23，
42−22
∴ ??′ = 23，故选：?．
由旋转的性质，可证△ ???′、 △ ???′都是等边三角形，由勾股定理求出??的长即可．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【答案】?(?−3)2
【解析】解：原式= ?(?2−6? + 9) = ?(?−3)2，故答案为：?(?−3)2．
原式提取?，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】? + 2
?4?−4
22
【解析】解：−== ? + 2.故答案为? + 2．
?−2?−2?−2
根据同分母分式的加减法法则计算，注意结果要化简．
本题主要考查了同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
【答案】? <2
【解析】解：把? = −1代入? = −1?，
2
解得：? = 2，
由图象可知，不等式?? + ? > −1?的解集为：? <2，
2
故答案为：? <2．
把? = −1代入? = −1?，得出? = 3，再根据函数的图象即可得出不等式?? + ? > −1?的解集．
22
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
7
【答案】(5, )
2
【解析】解： ∵ 把△ ???沿?轴向右平移到△ ???，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，?和?的纵坐标相同，
∵ 四边形????的面积为14，点?的坐标为 7，
(1,)
2
∴7??=14，
2
∴ ?? = 4，
7
∴ ?(5,)，
2
7
故答案为：(5, ).
2
根据平移的性质得出四边形????是平行四边形，从而得?和?的纵坐标相同，根据四边形????的面积求得??的长，即可求得?的坐标．
本题考查了坐标与图形的变换−平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
【答案】6
【解析】解： ∵ 点?，?分别是边??，??的中点，
∴ ?? = 1??，
2
在?? △ ???中，点?是边??的中点，?? = 4，
∴??=1??=2，
2
∴ ?? = ?? + ?? = 2 + 1 = 3，
∴ ?? = 2?? = 6，故答案为：6．
根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得结论．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
33
【答案】33−1或2+ 2
【解析】解：(1)当?再线段??上时：如图1，延长??交??的延长线于?，过?作?? ⊥ ??于?，设?? = ?，则?? = 3?? = 3?，
在▱????中，∠? = ∠? = 60°，??//??，??//??，
∴ ∠??? = ∠?，∠? = ∠???，
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠?，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = 4 + ?，
∴ 4 + ? + 4 = 3?，解得：? = 4，
在?? △ ???中，∠? = 60°，?? = 4，
∴ ?? = 2，?? = 23，∴
??2−??2
?? == 233，
33
∴ ?? = 2+ 2；
当?在??的延长线上时，如图2，延长??交??的延长线于?，过?作?? ⊥ ??于?，设?? = ?，则?? = 3?? = 3?，
在▱????中，∠??? = ∠? = 60°，??//??，??//??，
∴ ∠??? = ∠?，∠? = ∠???，
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠?，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = 4−?，
∴ 4−? + 4 = 3?，解得：? = 2，
在?? △ ???中，∠??? = ∠??? = 60°，?? = 2，
∴ ?? = 1，?? =3，
??2−??2
∴ ?? ==33，
∴ ?? =33−1；
33
故答案为：33−1或2+ 2．
分两种情况求解，根据勾股定理解三角形全等的性质求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握三角形全等的性质及勾股定理是解题的关键．
【答案】解：2?+ 3= 1
?−22−?
2?3
方程变形得：−= 1，
?−2?−2
去分母得：2?−3 = ?−2，解得：? = 1，
经检验：? = 1是原方程的解．
【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到?的值，经检验即可得到分式方程的解．
18.【答案】解：原式=(?2−?2+?2
?−?
) ⋅
=
?2
(?+?)(?−?)
?−?
⋅?
?2−?2
?2−?2?
?
=?+?，
?
∵?=3，
∴ ? = 3?，
∴ 原式= 3?= 3．
3?+?4
【解析】先把括号内的通分相加，然后因式分解再约分即可将所求式子化简，再将? = 3?代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确题意分式混合运算的运算法则和运算顺序．
19.【答案】解：(1)?3?−2?2?2 + ??3
=??(?2−2??+?2)
= ??(?−?)2．
(2)(?2+4)2−16?2
=(?2+4)2−(4?)2
=(?2+4+4?)(?2+4−4?)
= (? + 2)2(?−2)2．
【解析】(1)根据因式分解的一般方法，能提取公因式就先提公因式，而后考虑公式法．那么，?3
?−2?2?2+??3=??(?2−2??+?2)=??(?−?)2．
(2)根据因式分解的定义，由(?2 + 4)2−16?2 = (?2 + 4)2−(4?)2 = (?2 + 4 + 4?)(?2 + 4−4?) = (?
+ 2)2(?−2)2．
本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
{
3(?+ 2) ≥ 2?+ 5①
【答案】解：?−1>?−2②，
32
解不等式①，得? ≥ −1，解不等式②，得? < 0，
在同一条数轴上表示不等式解集如下：
所以，原不等式组的解集为−1 ≤ ? <0．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上，确定其公共部分即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
【答案】104°
【解析】(1)证明： ∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ??//??，??//??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ??//??，
∵ ??//??，
∴ 四边形????是平行四边形，
∴ 线段??，??互相平分，
∴ ?? = ??，?? = ??；
(2)解： ∵ ∠??? = 50°，
∴∠??? =180°−50° = 130°，
∵ 四边形????是平行四边形，
∴∠??? = ∠??? = 130°，
∵ ∠??? = 4∠???，
∴∠??? = 5∠??? = 130°，
∴∠??? = ∠??? = 26°，
∴ ∠? = ∠??? = ∠???−∠??? = 104°．故答案为：104°．
(1)根据平行四边形的性质得到??//??，??//??，根据平行线的性质得到∠??? = ∠???，根据平行四边形的判定定理得到四边形????是平行四边形，于是得到线段??，??互相平分；
(2)根据平角的定义得到∠??? = 180°−50° = 130°，根据平行四边形的性质得到∠??? = ∠??? =130°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
【答案】(1)如图， △ ?1?1?1，即为所求．
(2)平行四边形； (3)(2,−1)或(0,3)或(6,5)．
【解析】解：(1)见答案．
(2)如图， △ ?2?2?2，即为所求．四边形???2?2的形状是平行四边形．
(3)?的坐标是(2,−1)或(0,3)或(6,5)．
故答案为：(2,−1)或(0,3)或(6,5)．
(1)根据平移变换的性质分别作出?，?，?的对应点?1，?1，?1即可． (2)根据中心对称的性质分别作出?，?，?的对应点?2，?2，?2即可． (3)有三种情形，画出平行四边形，可得结论．
本题考查作图−旋转变换，平移变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，正确作出图形，属于中考常考题型．
【答案】解：(1)设?种花苗的单价为?元，则?种花苗的单价为(?−1.5)元，根据题意，得：8000= 5000，
??−1.5
解方程，得：? = 4．
经检验：? = 4是原方程的根，且符合题意．所以?−1.5 = 2.5．
答：?种花苗的单价为4元，?种花苗的单价为2.5元；
(2)设增加购买?种花苗的数量是?个，根据题意，得：2.5 × 2? + 4? ≤ 7200，解不等式，得：? ≤ 800．
因为?为正整数，所以正整数?的最大值为800，答：增加购买?种花苗的数量最多是800个．
【解析】(1)设?种花苗的单价为?元，则?种花苗的单价为(?−1.5)元，根据“用8000元购买?种花苗的数量与用5000元购买?种花苗的数量相同”列出方程并解答；
(2)设增加购买?种花苗的数量是?个，根据“增加购买?种花苗数量是?种花苗数量的2倍，若总费用不超过7200元”列出不等式．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
【答案】解：设?点运动的时间为?秒(23
则?? = 1 × ? = ???，
∵ 点?与点?关于点?对称，
∴ ?? = ?? = ???，
∴ ?? = 3??−2 = (3?−2)??，
∵ 等边三角形???边长为10??，
∴?? = ?? = ?? = 10??，∠? = ∠? = ∠? = 60°，
∵ 四边形????为平行四边形，
∴ ?? = ?? = ???，??//??；
当?点落在??上时，如图，
∵ ??//??，
∴∠??? = ∠? = 60°，∠??? = ∠? = 60°，
∴ ∠? = ∠??? = ∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴ ?? = ??，
∴ 3?−2 = ?，解得? = 1，
即当?点落在??上时，?的值为1；
四边形????能成为菱形，理由：如图，
若四边形????为菱形，则?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∵∠? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = (3?−2)??，?? = 10??，
∴?? = ??−?? =10−(3?−2) = (12−3?)??，
∴ 12−3? = ?，解得? = 3，
即当? = 3时，四边形????为菱形；
①作∠???的平分线??交??于点?，当点?在??上时，如图，
∵ △ ???是等边三角形，
∴ ?? ⊥ ??，∠??? = ∠??? = 30°，
∵ ??//??，
∴ ?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴ ?? = 1??，
2
∴ ? = 1(3?−2)，
2
解得? = 2；
②作∠???的平分线??交??于点?，当点?在??上时，如图，
∵∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠??? = 30°，
∵ ??//??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
∴ 12−3? = ?，解得? = 3；
③作∠???的平分线??交??于点?，当点?在??上时，如图，
∵ △ ???是等边三角形，
∴ ??⊥ ??，??= ??= 1??= 5??，∠???= ∠???= 30°，
2
∵?? = (12−3?)??，
∴?? = ??−?? = 5−(12−3?) = (3?−7)??，
∵ ??//??，
∴∠??? = ∠??? = 30°，
∴??=1??， 2
∴ 3?−7 = 1?，
2
解得? = 2.8；
综上，?的值是2或3或2.8．
【解析】(1)由四边形????为平行四边形得出?? = ?? = ??，??//??，证得△ ???是等边三角形，得出?? = ??，即可求出?的值；
(2)由四边形????为菱形得出?? = ??，于是有?? = ??，又∠? = 60°，可得出△ ???是等边三角形，得到?? = ??，即可求出?的值；
(3)分三种情况讨论：①作∠???的平分线??，当点?在??上时，根据等边三角形三线合一得出??
⊥ ??，∠??? = 30°，于是有?? ⊥ ??，根据直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半即可求出?的值；②作∠???的平分线??交??于点?，当点?在??上时，根据平行线的性质得出∠?
? = ∠???，于是得出∠??? = ∠???，得到?? = ??，即可求出?的值；③作∠???的平分线??交
??于点?，当点?在??上时，先求出??的长，∠??? = 30°，然后根据直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半即可求出?的值．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握分类讨论思想的运用．
【答案】(1)证明：如图1，
连接??，
∵ 矩形????和????全等，?? = ?? = 2，?? = ?? =3，
∴∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴??△???≌??△???(??)，
∴ ?? = ??；
(2)证明：由(1)知：?? △ ???≌?? △ ???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵∠??? = 30°，
∴∠??? = ∠??? = 30°，
3
∴??=3??=3×
= 1，
33
∴ ?? = ??−?? = 1，
∴ ?? = ??；
(3)如图2，
当??在??的上方时，
作?? ⊥ ??于?，作?? ⊥ ??于?，交??于?，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 30°，
∴ ??=1??=3，
2
??2−??2
∴ ?? =
2
=
(3)2−(
2
3)2
=3， 2
同理可得：?? = 1?? = 1× 2 = 1，
22
∵ ?? = ?? = 3，
2
∴ ??= ??+?? =3+1 =5，
22
如图3，
当??在??的下方时，
由上知：?? = 3，?? = 1，
22
∴??=3−1=1，
22
即?到??的距离为：1，
综上所述：点?到??的距离为：3或1．
2
【解析】(1)连接??，可证明?? △ ???≌?? △ ???，进而得出结论；
3
(2)可证得∠??? = ∠??? = 30°，从而?? = 3?? = 3×
= 1，进而得出结论；
33
(3)分为??在??的上方和下方两种情形：当??在??的上方时，作?? ⊥ ??于?，作?? ⊥ ??于?，
交??于?，可证得∠??? = ∠??? = 30°，从而?? = 1?? = 3，进而得出??的值，同理可得：??
22
= 1?? = 1× 2 = 1，进而得出结果；当??在??的下方时，根据上面数据得出结果．
22
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．