2023年云南省红河州中考数学一模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 下列安全标志，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
2. 预计到2023年3月底，云南省转移就业人数将达15700000人以上．将数据15700000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【详解】解：．
故选：B．
3. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据由主视图和左视图可确定是柱体，还是锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，即可解答．
【详解】解：由于主视图和左视图是矩形，可确定是柱体，又有俯视图是圆，故该几何体是圆柱．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握由主视图和左视图可确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状是解题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，负整数指数幂的意义，幂的乘方与积的乘方的性质和完全平方公式，利用绝对值的意义，负整数指数幂的意义，幂的乘方与积的乘方的性质和完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论，熟练掌握上述法则与公式是解题的关键．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，计算正确，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意，
故选：C．
5. 如图，是的平分线，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行线的性质可得，，再由角平分线的定义可得，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故选：D．
6. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≠﹣1B. x≠1C. x＝﹣1D. x＝1
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用分式有意义即分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，
解得：x＝﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题的关键
7. 六边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和即可解决问题，熟练掌握多边形的内角和公式及应用是解题的关键．
【详解】解：根据多边形的内角和可得：
．
故选：．
8. 为加强学生的体育锻炼，某校利用课外活动时间开设以下四种活动项目：坐位体前屈、一分钟仰卧起坐、一分钟跳绳、50米跑．规定每位学生只能选一种活动项目，小君从全校1500名学生中随机调查了部分学生，并绘制了条形统计图和扇形统计图（如图所示），下列结论正确的是（ ）
​
A. 调查了50名学生
B. 被调查的学生中，选一分钟跳绳的人数是选一分钟仰卧起坐的2倍
C.
D. 全校选50米跑的人估计有255人
【答案】C
【解析】
【分析】根据频率可求出调查人数，对选项A进行判断；根据条形统计图中得到选一分钟跳绳的人数和选一分钟仰卧起坐的人数即可对选项B作出判断；
求出一分钟跳绳所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数，即可对选项C作出判断；样本估计总体，求出样本中选50米跑的学生所占的百分比，进而估计总体中选50米跑的学生所占的百分比，进而可求出总体中选50米跑的学生人数，即可对选项D作出判断即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系以及频率是正确解答的前提．
【详解】解：A．由两个统计图可知，样本中选择坐位体前屈的有25人，占调查人数的，因此调查人数为（人）；
B．由条形统计图可知选一分钟跳绳的人数是10人，选一分钟仰卧起坐的人数是20人，所以被调查的学生中，选一分钟跳绳的人数是选一分钟仰卧起坐的一半，因此选项B不符合题意；
C．选一分钟跳绳的人数是10人，占调查人数的，所以扇形统计图中“一分钟跳绳”所对应的圆心角，因此选项C符合题意；
D．样本中选择“50米跑”所占的百分比为，所以全校选50米跑的人估计有255人（人），因此选项D不符合题意；
故选：C．
9. 小丽家离动物园1200米，其中有一段路为上坡路，另一段路为下坡路．她步行去动物园一共需要20分钟．假设小丽上坡平均速度是千米时，小丽下坡的平均速度是千米时，若小丽上坡用了小时，下坡用了小时，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设小丽上坡用了小时，下坡用了小时，根据题意可知：上坡路程下坡路程总路程，上坡时间下坡时间总时间，即可列出相应的方程组，注意单位要统一，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
【详解】解：设小丽上坡用了小时，下坡用了小时，由题意得，
由米千米，
，
故选：．
10. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，E，F五个点均在格点上，，，则与的面积比为（ ）
A. 5：3B. 3：5C. 25：9D. 9：25
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．先根据平行线的性质得到，，则可判断，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴与的面积比．
故选：C．
11. 如图图形是同样大小的小五角星按一定规律组成的，按此规律排列，则第n个图形中小五角星的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分别求出前4个图形中的小五角星的个数，找出一般的计算方法求解．
本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
【详解】解：则第1个图形中小五角星的个数为：；
则第4个图形中小五角星的个数为：；
则第3个图形中小五角星的个数为：；
则第4个图形中小五角星的个数为：；
……；
则第n个图形中小五角星的个数为：，
故选：A．
12. 如图是二次函数图象的一部分，与x轴一交点为，下列结论正确的个数有（ ）
①；
②；
③；
④；
⑤当时，不等式．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组）之间的关系，二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
①观察图象发现对称轴在y轴的右侧可判断a、b符号，同理根据抛物线与y轴的位置关系可判断c的符号，即可得出结论；
②根据抛物线的对称性找出兑成点即可得出结论．
③根据抛物线与x轴交点的个数判断时根的情况，再根据判别式即可得出结论．
④由图象可知当时开口向上有最小值，结合图象不难发现当有最小值，再将代入函数解析式得出从而进行比较即可得出结论．
⑤观察图象发现时，抛物线在负半轴可判断，即．
【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，开口向上，
∴，，
∴．
又∵抛物线交y轴于负半轴．
∴，即，故①错误；
②由图象可知：对称轴且与x轴的一个交点是，
另一个交点坐标为．
当时，．
即，即，故②正确．
③由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴有两个不相等的实数根．
∴．
即，故③错误．
④由图象知：当有最小值，当时．
∴当时有，
即：，故④错误．
⑤由图象可知：时，．
即，故⑤正确．
故选A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．把点代入函数解析式来求的值即可．
【详解】解：把点代入得到：
，即．
故答案为：2．
14. 如图，在正方形中，，长为半径画弧，则阴影部分的面积为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形面积计算，掌握扇形面积的计算方法是解决问题的前提，理解面积之间的和差关系是正确解答的关键．
根据进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
15. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可，正确应用平方差公式是解题关键．
【详解】解：，
，
故答案为：．
16. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有3个整数解，即可得到a的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得： ，
∴该不等式组的解集是，
∴不等式组有且只有3个整数解，
∴这三个整数解是3，4，5，
∴，
解得，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
．
18. 如图，点B，F，C，E在同一直线上， ，，，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．属于中考常考题型．
只要证明即可推出，即可推出．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
，
，
．
19. 为引导广大青少年追寻红色记忆，弘扬英雄精神，赓续红色血脉，致敬心中英雄，传承红色基因为主题的课外阅读活动．为有效了解学生课外阅读情况，调查结果如下：
收集数据（单位：min）：
，整理数据：
分析数据：
根据上述数据回答以下问题：
（1）表格中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）如果该校九年级现有学生400名，估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上学生有多少名？
（3）若小东在本次主题课外阅读活动中的阅读时间为75分钟，请你从平均数、中位数和众数中选择一个统计量来说说小东本次主题课外阅读活动的阅读情况如何？
【答案】（1）9，70，70
（2）估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上的学生有280名
（3）小东本次主题课外阅读活动的阅读时间多于一半以上的学生
【解析】
【分析】（1）根据各组频数之和等于数据总数可得a的值，根据中位数和众数的定义可得b、c的值；
（2）用总人数乘以样本中课外阅读时间在60分钟及以上的学生人数所占比例即可；
（3）根据中位数的定义解答即可．本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用．
【小问1详解】
数据（单位：min）：
，
一共有20个，
故，
中位数，众数为70，
故答案为：9,70,70．
【小问2详解】
（名），
答：估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上的学生有280名．
【小问3详解】
由数据的中位数为70分，
，
故小东本次主题课外阅读活动的阅读时间多于一半以上的学生．
20. 云南自然风光独特，气候温暖舒适．2023年初，在多项利好政策下，云南旅游市场实现“开门红”，甲、乙两个家庭到云南旅游可选择的交通工具分别有：A．自驾车、B．飞机、C．高铁、D．旅游大巴车．假设这两个家庭选择的交通工具不受任何因素影响
（1）甲家庭选择乘坐高铁到云南旅游的概率是 ；
（2）用列表法或树状图法中的一种方法，求甲、乙两个家庭选择同一种交通工具到云南旅游的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接用概率公式求解可得；
（2）列出图表，然后根据概率公式求解可得．
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【小问1详解】
甲家庭选择乘坐高铁到云南旅游概率为；
故答案为：；
【小问2详解】
列表如下：
由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两个家庭选择同一种交通工具的有4种结果，
所以甲、乙两个家庭恰好选择同一种交通工具上班的概率为．
21. 已知二次函数的图象经过点和．
（1）求二次函数解析式及对称轴；
（2）若点是抛物线上不同的两个点，且，求m的值．
【答案】（1），
（2）3
【解析】
【分析】（1）由题意，把点和．代入解析式解方程即可求解解析式，再根据对称轴公式即可解决问题
（2）根据题意，把点代入二次函数解析式，再根据即可求解．
【小问1详解】
解：由题意，把点和．代入，
，
解得，
∴二次函数解析式为：，
∴对称轴：；
【小问2详解】
解：把点代入，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵点是抛物线上不同的两个点，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的基础性质，一是利用待定系数法求解析式，二是对称轴公式，三是点在函数上，直接代入解析式求解，同时注意取值范围的确定．
22. “母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束元、元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的倍，若消费者用元购买百合的数量比用元购买康乃馨的数量少束．
（1）求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元；
（2）花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低元，康乃馨的售价每束降低元．求花店应如何进货才能获得最大利润．（假设购进的两种鲜花全部销售完）
【答案】（1）康乃馨的售价为每束元，百合的售价为每束元；
（2）购进百合束，购进康乃馨束．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
（）设康乃馨的售价为每束元，根据消费者用元购买百合的数量比用元购买康乃馨的数量少束得：，解方程并检验可得答案；
（）设购进百合束，根据使用不超过元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，有，，设花店获得利润为元，可得：，再根据一次函数性质可得答案；
【小问1详解】
设康乃馨的售价为每束元，则百合的售价为每束元；
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：康乃馨的售价为每束元，百合的售价为每束元；
【小问2详解】
设购进百合束，则购进康乃馨束，
∵使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，
∴，
解得，
设花店获得利润为元，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值（元），
此时，
答：购进百合束，购进康乃馨束．
23. 如图，在平面直角坐标系中，，、，且．以为直径作交于点D，过点D作直线交线段于点E，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若线段上存在一点P，使以点P为圆心，为半径的与y轴相切，求点P的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，，利用点的坐标的特征表示出线段，的长度，利用矩形的判定与性质和圆周角定理，勾股定理求得的长，则得到为等边三角形，通过计算得到，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）利用圆的切线的定义得到点P到y轴的距离等于，过点P作轴于点F，轴于点H，利用直角三角形的边角关系定理和矩形的判定与性质得到
，，利用，列出方程求得，进而求得，的长度，利用点的坐标的特征即可得出结论．
【小问1详解】
证明：连接，，如图，

∵、，
，．
∵以为直径作交于点D，
．
，
，
∴四边形为矩形，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：∵线段上存在一点P，使以点P为圆心，为半径的与y轴相切，
∴点P到y轴的距离等于．
过点P作轴于点F，轴于点H，如图，

则．
由（1）知：，
，．
轴，轴，，
∴四边形为矩形，
，
，
，
，，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，圆的切线的判定定理，等边三角形的判定与性质，点的坐标的特征，矩形的判定与性质，圆的切线的定义与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
24. 在正方形中，两条对角线，相交于点O，且，连接．
​
（1）如图1，若，，求线段的长；
（2）如图2，将的顶点移到上任意一点处，绕点旋转，交的延长线上一点E，射线交的延长线上一点F，连接，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）易求得正方形的边长为4，由同角加等角相等可得，进而利用可证明，得到，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）过点作交于点G，则，由同角加等角相等可得，由平行线的性质可得，进而得到为等腰直角三角形，，于是利用证明，得到，根据等量代换和等腰直角三角形的性质即可得．
【小问1详解】
（1）解：∵四边形正方形，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，即，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
在中，；
【小问2详解】
证明：过点作交于点G，
∵四边形为正方形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
，，
在和中，
，
，
，
．课外阅读的时间（min）
频数
1
5
a
5
平均数
中位数
众数
69
b
c
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）