2023-2024学年湖北省武汉市硚口区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市硚口区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若分式x−2x−3的值为0，则x的值为( )
A. −3B. −2C. 0D. 2
2.成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245米，用科学记数法表示为7.245×10n米，则n的值是( )
A. −6B. −5C. 6D. 5
3.点A(a,1)和点B(2,b)关于y轴对称，则a的值是( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
4.剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.如图四张剪纸图形，其中是轴对称图形的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
5.如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
6.下列运算正确的是( )
A. a3⋅a4=a12B. (a3)2=a3C. (−2a2)3=−8a6D. ab−a2(a−b)2=aa−b
7.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子为( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. a2−b2=(a+b)(a−b)D. (a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
8.运用乘法公式计算(a+2b−2)2，得到的结果是( )
A. a2+4b2+4ab−4a−4b+4B. a2+4b2+2ab−2a−4b+4
C. a2+4b2+4ab−4a−8b+4D. a2+4b2+4ab−4a+8b+4
9.欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家.在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索(克罗索是古代欧洲的一种货币名称)，”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖203个克罗索.”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是( )
A. 13个克罗索B. 14个克罗索C. 15个克罗索D. 16个克罗索
10.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)，B(4,0)，C(m+2,2)，D(m,2)，当四边形ABCD的周长最小时，m的值是( )
A. 13
B. 23
C. 1
D. 43
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若分式1x+1有意义，则实数x的取值范围是______.
12.如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，农民李伯伯的做法是：过点P作PM垂直于河岸l，垂足为M，沿PM开挖水渠距离最短，其中的数学道理是______.
13.一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是__________边形．
14.已知x+y=5，x2+y2=17，则(x−y)2的值是______.
15.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，∠BAC的邻补角的角平分线AE交∠ABC的角平分线BD于点D，交直线BC于点E，作DF⊥AE交BE于点F，连接AF.下列四个结论：
①∠ADB=45∘；
②BD垂直平分AF；
③EC=2BF；
④ED=AF+DF.
其中正确的是______.(填写序号)
16.如图，在等腰Rt△EAB和等腰Rt△EDC中，∠EAB=∠EDC=90∘，AB=AE，DC=DE，AE三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.计算(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x.
四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
因式分解：
(1)3x2+6xy+3y2；
(2)a3b−4ab.
19.(本小题8分)
解下列方程：
(1)2x+3=1x−1；
(2)3x+16x−2−52=13x−1.
20.(本小题8分)
已知：如图，AB//DE，AB=DE，AF=DC.求证：∠B=∠E.
21.(本小题8分)
如图是由相同的小正方形组成10×8的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.长方台球桌ABCD的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点P，Q处.
(1)在图1中，先在边BC上画点E，使EQ⊥PQ，再在边AD上画点F，使∠FPQ=135∘；
(2)在图2中，先在边CD上画点G，连接PG，QG，使∠PGD=∠QGC，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹(反射角等于入射角)后，正好撞到球Q.
22.(本小题10分)
一辆汽车开往距离出发地360km的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前50min到达目的地.
(1)求原计划的行驶速度；
(2)汽车按原路返回，若司机准备一半路程以akm/h的速度行驶，另一半路程以bkm/h的速度行驶(a≠b)，共用时t1小时；若司机准备用一半时间以akm/h的速度行驶，另一半时间以bkm/h的速度行驶，共用时t2小时.
①直接写出用含a，b的式子分别表示t1和t2；
②试比较t1，t2的大小，并说明理由.
23.(本小题10分)
问题提出：如图1，在锐角等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，K是动点，满足BK⊥AK，将线段AK绕点A逆时针旋转α至AD，连接DK并延长，交BC于点M，探究点M的位置.
特例探究：(1)如图2，当点K在BC上时，连接CD，求证：CD=12BC.
(2)如图3，当点K在AC上时，求证：M是BC的中点.
问题解决：再探究一般化情形，如图1，求证：M是BC的中点.
24.(本小题12分)
如图1，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(0,b)两点，∠OBA=30∘.
(1)若a，b满足a2−2a+1+|b− 3|=0.
①直接写出△AOB的周长；
②P在第一象限内，若△PBA为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标.
(2)如图2，C是x轴上点A右侧的动点，D在第一象限内，满足∠BCD=60∘，∠ABC=∠ADC.
①探究三条线段AO，AD，AC之间的数量关系，并给出证明；
②设△BCD与△BOA的面积的比值为k，直接写出k的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵x−2=0，x−3≠0，
∴x=2，
故选：D.
根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：0.000007245=7.245×10−6，
∴n=−6.
故选：A.
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】D
【解析】解：∵点A(a,1)和点B(2,b)关于y轴对称，
∴a=−2.
故选：D.
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
本题考查的是关于x、y轴对称点的坐标特点，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4.【答案】B
【解析】解：左起第一、第二和第三共3个图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
第四个图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
所以是轴对称图形的个数是3.
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，∠A、AB、∠B都可以测量，
即他的依据是ASA.
故选：B.
根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．
本题考查了全等三角形的应用，准确识图，并熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A.a3⋅a4=a7，故选项A不符合题意；
B. (a3)2=a6，故选项B不符合题意；
C. (−2a2)3=−8a6，故选项C符合题意；
D. ab−a2(a−b)2=a(b−a)(a−b)2=−aa−b，故选项D不符合题意．
故选：C.
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，分式的基本性质逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，分式的基本性质，根据运算法则准确计算是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵两个图中的阴影部分的面积相等，
即甲的面积=a2−b2，乙的面积=(a+b)(a−b).
∴a2−b2=(a+b)(a−b).
所以验证成立的公式为：a2−b2=(a+b)(a−b).
故选：C.
图甲中阴影的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，即a2−b2，图乙中平行四边形底边为a+b，高为a−b，即面积=(a+b)(a−b)，两面积相等所以等式成立．
本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：原式=[(a+2b)−2]2
=(a+2b)2−4(a+2b)+4
=a2+4ab+4b2−4a−8b+4，
故选：C.
利用完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2进行计算即可．
本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9.【答案】B
【解析】解：设第一个农妇所带鸡蛋个数为x个，则第二个农妇所带鸡蛋个数为(100−x)个，由题意得：
15100−x⋅x=203x⋅(100−x)，
解得：x=40.
经检验，x=40是原方程的根，
∴第一个农妇的每个鸡蛋价格是15100−40=14(克罗索).
故选：B.
设第一个农妇所带鸡蛋个数为x个，利用两人卖的钱数相同列出方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵C(m+2,2)，D(m,2)，
∴CD//x轴，CD=2，CD所在直线的解析式为y=2..
∵A(0,1)，B(4,0)，
∴OA=1，BO=4，
∴AB= OA2+OB2= 17.
∵四边形ABCD的周长=AB+CD+BC+AD，
∴求四边形ABCD的周长的最小值，就是求BC+AD的最小值，
将点A向右平移2个单位长度得到点E，则AE=2，AE//x轴，E(2,1)，如图，
∴AE//CD，AB=CD=2，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AD=EC.
作点E关于CD的对称点F，则F(2,3)，连接CF，FB，FB交CD于点K，
∴CF=CE，
∴CF=AD，
∴BC+AD=BC+CF，
∵BC+CF≥BF，
∴BC+AD≥BF，
∴当点C与点K重合时，BC+AD取得最小值，四边形ABCD的周长取得最小值．
设直线BF的解析式为y=kx+b，
∴4k+b=02k+b=3，
∴k=−32b=6，
∴直线BF的解析式为y=−32x+6.
令y=2，则2=−32x+6，
∴x=83，
∴C(83,2)，
∴m+2=83.
∴m=23.
故选：B.
由题意：求四边形ABCD的周长的最小值，就是求BC+AD的最小值，利用平移和轴对称的性质，将点A向左平移2个单位长度得到点E，作点E关于CD的对称点F，根据两点之间线段最短，当点C与点K重合时，BC+AD取得最小值，四边形ABCD的周长取得最小值．利用待定系数法求得直线CF的解析式，令y=0，求得点C坐标，则结论可求．
本题主要考查了最短路线问题，坐标与图形的性质，轴对称的性质，一次函数的性质，待定系数法，利用平移和轴对称的性质取得四边形ABCD的周长最小时的点C的位置是解题的关键．
11.【答案】x≠−1
【解析】解：根据题意，得
x+1≠0，
解得x≠−1；
故答案是：x≠−1.
根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12.【答案】垂线段最短
【解析】解：∵PM⊥l，
∴沿PM开挖水渠距离最短，其中的数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
根据垂线段的性质得出即可．垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
本题考查了垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两个中去选择．
13.【答案】八
【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得：
(n−2)⋅180∘=3×360∘，
解得n=8，
所以这个多边形为八边形．
故答案为：八．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n−2)⋅180∘，外角和等于360∘，然后根据题意列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
14.【答案】9
【解析】解：∵x+y=5，
∴(x+y)2=25，
∴x2+2xy+y2=25，
∵x2+y2=17，
∴2xy=25−17=8，
∴(x−y)2
=x2−2xy+y2
=17−8
=9，
故答案为：9.
结合已知条件，利用完全平方公式求得2xy的值，然后将(x−y)2展开后代入数值计算即可．
本题考查完全平方公式，结合已知条件求得2xy的值是解题的关键．
15.【答案】①②④
【解析】解：①∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45∘，
∵∠ABC的角平分线BD和∠BAC的邻补角的角平分线交于点D，
∴∠ABD=12∠ABC=22.5∘，∠CAD=12(180∘−45∘)=67.5∘，
在△ABD中，∠ADB=180∘−∠BAD−∠ABD
=180∘−67.5∘−45∘−22.5∘
=45∘，
故①正确；
②∵DF⊥AD，∠ADB=45∘，
∴∠ADB=∠FDB=45∘，
∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠FBD，
在△ABD和△FBD中，
∠ABD=∠FBDBD=BD∠ADB=∠FDB，
∴△ABD≌△FBD(ASA)，
∴AB=BF，AD=DF，
∴BD垂直平分AF；
故②正确；
③如图1，过点E作EM⊥AB于M，则∠BME=90∘，
∵AE平分∠CAM，∠ACE=90∘，
∴CE=EM，
∵AE=AE，
∴Rt△AEM≌Rt△AEC(HL)，
∴AM=AC，
∵∠ABC=45∘，∠BME=90∘，
∴∠ABC=∠BEM=45∘，
∴EM=BM，
设AC=a，则AB= 2a，
∴BM=AM+AB=a+ 2a，
∴CE=EM=BM=( 2+1)a，
∵AB=BF= 2a，
∴CEBF= 2+1 2=2+ 22，
故③不正确；
④如图2，在AE上取一点M，使AD=DM，连接FM，
∵DF⊥AE，
∴AF=FM，
∵△ADF是等腰直角三角形，
∴∠AMF=∠DAF=45∘，
∵∠ADB=45∘，∠DBF=22.5∘，
∴∠E=45∘−22.5∘=22.5∘，
∴∠EFM=45∘−22.5∘=22.5∘=∠E，
∴EM=FM，
∵DE=EM+DM，
∴DE=FM+DM=AF+DF，
故④正确；
所以本题正确的结论有：①②④．
故答案为：①②④．
①先根据等腰直角三角形可得两个锐角为45∘，由角平分线的定义和三角形的内角和定理可得∠BAD的度数，由此可作判断；
②证明△ABD≌△FBD(ASA)得出AB=BF，AD=DF，即可判断②；
③如图1，过点E作EM⊥AB于M，则∠BME=90∘，证明Rt△AEM≌Rt△AEC(HL)，得AM=AC，设AC=a，则AB= 2a，分别计算CE和BF的长，可作判断；
④如图2，在AE上取一点M，使AD=DM，连接FM，先根据线段垂直平分线的性质得：AF=FM，再根据三角形外角的性质可得∠E=∠EFM=22.5∘，得EM=FM，最后由线段的和得结论可作判断．
本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
16.【答案】92
【解析】解：如图所示，
∵△EAB，△EDC是等腰直角三角形，AB=AE，DC=DE，AE∴设AB=AE=a，DE=DC=b，
∵∠EAB=∠EDC=90∘，
将△AED绕点A顺时针旋转90∘，AE与AB重合，点D的对应点为F，将△ADE绕点D逆时针旋转90∘，DE与DC重合，点A的对应点为点G，连接FG，
∴AD=AF=DG=3，AD⊥AF，AD⊥DG，
∴四边形ADGF是正方形，且BF=ED=b，CG=EA=a，
∴四边形ABCD的面积等于四边形GCBF的面积，
∴S△AED+S四边形ABCD=S△ABF+S四边形ABCD=S△DCG+S四边形GCBF，
S△ABF+S四边形ABCD+S△DCG+S四边形GCBF=S正方形AFGD，
∴S△AED+S四边形ABCD=S五边形ABCDE=12S正方形AFGD=12×3×3=92，
故答案为：92.
如图所示，将△AED绕点A顺时针旋转90∘AE与AB重合，点D的对应点为F，将△ADE绕点D逆时针旋转90∘，DE与DC重合，点A的对应点为点G，连接FG，可得正方形AFGD，由此可得S△AED+S四边形ABCD=S五边形ABCDE=12S正方形AFGD，由此即可求解．
本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，正方形的判定和性质的综合，掌握图形旋转的性质，将规则图形转换为正方形求面积是解题的关键．
17.【答案】解：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x
=[x+2x(x−2)−x−1(x−2)2]⋅xx−4
=(x+2)(x−2)−(x−1)⋅xx(x−2)2⋅xx−4
=x2−4−x2+x(x−2)2⋅1x−4
=x−4(x−2)2⋅1x−4
=1(x−2)2.
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，本题得以解决．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
18.【答案】解：(1)3x2+6xy+3y2
=3(x2+2xy+y2)
=3(x+y)2；
(2)a3b−4ab
=ab(a2−4)
=ab(a+2)(a−2).
【解析】(1)直接提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；
(2)直接提取公因式ab，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
19.【答案】解：(1)原方程去分母得：2(x−1)=x+3，
去括号得：2x−2=x+3，
移项，合并同类项得：x=5，
检验：将x=5代入(x−1)(x+3)得4×8=32≠0，
故原方程的解为x=5；
(2)原方程去分母得：3x+1−5(3x−1)=2，
去括号得：3x+1−15x+5=2，
移项，合并同类项得：−12x=−4，
系数化为1得：x=13，
检验：将x=13代入2(3x−1)得2×0=0，
则x=13是原方程的增根，
故原方程无解．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
20.【答案】证明：∵AF=DC，
∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF，
∵AB//DE，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠B=∠E.
【解析】由AF=DC，得AC=DF，由AB//DE，得∠A=∠D，即可证△ABC≌△DEF(SAS)，故∠B=∠E.
本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
21.【答案】解：(1)如图1中，点E，点F即为所求；
(2)如图2中，点G即为所求，路径P→E→F→Q即为所求．

【解析】(1)取格点T，连接QT交BC于点E，连接PA，构造等腰直角三角形APM，取AM的中点N，作射线PN交AD于点F，点E，点F即为所求；
(2)作点P关于CD的对称点P′，连接QP′交CD一点G，连接PG，点G即为所求，作点Q关于CB的对称点Q′，连接P′Q′分别交CD，BC于点E，F，连接PE，FQ，路径P→E→F→Q即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：(1)设原计划的行驶速度为xkm/h，则一小时后的速度为1.2xkm/h，
由题意得：360−xx−360−x1.2x=5060，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
答：原计划的行驶速度为60km/h；
(2)①t1=180a+180b=180(a+b)ab，
∵12t2a+12t2b=360，
∴t2=720a+b，
②t1>t2，理由如下：
∵t1=180(a+b)ab，t2=720a+b，
∴t1−t2=180(a+b)ab−720a+b=180(a+b)2ab(a+b)，
∵a、b均为正数，且a≠b，
∴(a−b)2>0，ab(a+b)>0，
∴180(a+b)2ab(a+b)>0，
即t1−t2>0，
∴t1>t2.
【解析】(1)设原计划的行驶速度为xkm/h，则一小时后的速度为1.2xkm/h，根据一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前50min到达目的地．列出分式方程，解方程即可；
(2)①求出t1，t2的大小即可；
②求出t1−t2=180(a+b)ab−720a+b=180(a+b)2ab(a+b)，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及列代数式等知识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵AB=AC，BK⊥AK，
∴BK=KC=12BC，∠BAK=∠CAK，
∵∠BAC=α，∠KAD=α，
∴∠BAC=∠KAD，
∴∠BAC−∠KAC=∠KAD−∠KAC，
∴∠BAK=∠DAC.
在△BAK和△CAD中，
BA=CA∠BAK=∠CADKA=DA，
∴△BAK≌△CAD(SAS)，
∴CD=BK，
∴CD=12BC.
(2)∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ABC=∠ACB=180∘−α2，
∵AK=AD，∠KAD=α，
∴∠AKD=∠D=180∘−α2，
∴∠AKD=∠C，
∵∠AKD=∠MKC，
∴∠MKC=∠C，
∴MK=MC，
∵BK⊥AK，
∴∠BKC=90∘，
∴∠MKB+∠MKC=90∘，∠MBK+∠C=90∘，
∴∠MKB=∠MBK，
∴MB=MK，
∴MB=MC，
∴M是BC的中点；
问题解决：连接CD，过点B作BE⊥KD于点E，过点C作CF⊥DK于点F，如图，
在△BAK和△CAD中，
BA=CA∠BAC=∠CAD=αKA=DA，
∴△BAK≌△CAD(SAS)，
∴BK=CD，∠AKB=∠ADC=90∘，
∴∠ADK+∠CDF=90∘，∠AKD+∠BKE=90∘.
∵AK=AD，
∴∠ADK=∠AKD，
∴∠CDF=∠BKE，
在△CDF和△BKE中，
∠CDF=∠BKE∠CFD=∠BEK=90∘CD=BK，
∴△CDF≌△BKE(AAS)，
∴CF=BE，
在△BEM和△CFM中，
∠BME=∠CMF∠BEM=∠CFM=90∘BE=CF，
∴△BEM≌△CFM(AAS)，
∴BM=CM，
∴M是BC的中点．
【解析】(1)利用等腰三角形的三线合一的性质，旋转的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
(2)利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠ABC=∠ACB=∠AKD=∠D=180∘−α2，再利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
连接CD，过点B作BE⊥KD于点E，过点C作CF⊥DK于点F，利用全等三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，垂直的意义，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质和旋转的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)①∵a2−2a+1+|b− 3|=0，
∴a=1，b= 3，
∴A(1,0)，B(0, 3)，
∴AO=1，BO= 3，
∴AB= AO2+BO2= 1+3=2，
∴△AOB的周长=AB+AO+BO=1+2+ 3=3+ 3；
②如图1，当∠BAP=90∘，BA=AP时，过点P作PH⊥x轴于H，
∴∠PHA=∠AOB=∠PAB=90∘，
∴∠ABO+∠OAB=90∘=∠OAB+∠PAH，
∴∠ABO=∠PAH，
又∵AB=AP，
∴△ABO≌△PAH(AAS)，
∴BO=AH= 3，AO=PH=1，
∴点P(1+ 3,1)；
当∠ABP′=90∘，AB=BP′时，同理可求：点P( 3,1+ 3)；
当∠AP′′B=90∘，AP′′=BP′′时，
∵AB=AP，
∴BP′′=PP′′，
∴点P′′是BP的中点，
∴点P′′(1+ 32,1+ 32)；
综上所述：点P(1+ 3,1)或( 3,1+ 3)或(1+ 32,1+ 32)；
(2)①AD=2AO+AC，理由如下：
如图2，延长BA至H，使AH=AC，连接CH，设BC与AD交于点Q，
∵∠OBA=30∘，∠AOB=90∘，
∴∠OAB=60∘=∠CAH，AB=2AO，
又∵AC=AH，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠H=60∘，AC=CH=AH，
∵∠ABC=∠ADC，∠AQB=∠CQB，
∴∠BCD=∠BAD=60∘，
∴∠DAC=60∘，
∴∠DAC=∠H，
∴△ACD≌△HCB(AAS)，
∴AD=BH，
∴AD=2AO+AC；
②∵AO=1，BO= 3，
∴S△ABO=12OA⋅BO=12×1× 3= 32，
∵△ACD≌△HCB，
∴BC=CD，
又∵∠BCD=60∘，
∴△BCD是等边三角形，
∴S△BCD= 34BD2，
∵∠BAD=∠CAD=60∘，
∴点D在∠BAC的平分线上运动，
又∵点C在点A右侧，
∴当点C与点A重合时，BD=2，
∴△BCD的面积> 3，
∴k=S△BCDS△BOA>2，
即k>2.
【解析】(1)①由非负性可求a，b的值，由勾股定理可求AB的长，即可求解；
②分三种情况讨论，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解；
(2)①由“AAS”可证△ACD≌△HCB，可得AD=BH，即可求解；
②分别求出△BCD与△BOA的面积，由点D在∠BAC的平分线上运动，点C在点A右侧，可得BD>2，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．