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2022-2023学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. 正方形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 平行四边形
2.下列说法中，正确的是( )
A. “任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件
B. “在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件
C. “从一副扑克牌(含大小王)中抽一张，恰好是红心A”是随机事件
D. 可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
3.今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是( )
A. 2000名学生是总体B. 每位学生的数学成绩是个体
C. 这100名学生是总体的一个样本D. 100名学生是样本容量
4.若分式|x|−2x+2的值为零，则x的值等于( )
A. −2B. ±2C. 0D. 2
5.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A. AB//CD，∠C=∠AB. ∠A=∠B，∠C=∠D
C. AB//CD，AD=BCD. AB=AD，CB=CD
6.如图，在▱ABCD中，BD=6，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为( )
A. 3πB. 3C. 6πD. 6
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.一只不透明的袋子中装有10个白球、20个黄球和30个红球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则下列事件：(1)该球是白球；(2)该球是黄球；(3)该球是红球，则发生的可能性最大的为：______(只填写序号)．
8.一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1−4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是______．
9.分式1m2−1和12m+2的最简公分母是______．
10.关于x的分式方程2xx−2+2m2−x=1有增根，则m的值为______．
11.已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，用反证法证明：第一步是：假设______．
12.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为______．
13.如图，若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，且AC=3，BD=4，则四边形ABCD的面积为______．
14.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前4天完成任务．设原计划每天种x棵树，则根据题意可列方程为______．
15.点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点(不与A，B，C重合).线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q.在点D的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；
③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；
④存在一个中点四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点E在BC边上，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
17.解方程：
(1)x2x−1=2−31−2x
(2)x+1x−1−4x2−1=1
18.定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x−2x+1+−5x+1=2−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和皆分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______(填序号)；
①x+1x；②2+x2；③x+2x+1；④y2+1y2
(2)将“和谐分式a2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：a2−2a+3a−1=______+______．
(3)应用：先化简3x+6x−1−x−1x÷x2−1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
四、解答题：本题共8小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：
(1)2aa2−9−1a−3；
(2)a2−aa2+1+2a÷a−1a+1．
20.(本小题6分)
先化简2a−1+a2−4a+4a2−1÷a−2a+1，再从1，−1，2，−2四个数中选取一个合适的数代入求值．
21.(本小题6分)
为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二、初三两个年级随机抽取了一部分同学的成绩(百分制)，并对数据(x分)进行了整理，“A优秀：90≤x≤100；B良好：89≤x≤75；C合格74≤x≤60；D不合格：x<60”四类分别进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图(不完整)．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了______名学生；
(2)扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为______；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数．
22.(本小题6分)
如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．
(1)转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______(填写序号)．
①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；
②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．
(2)怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．
23.(本小题6分)
证明：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．已知：______．
求证：______．
证明：
24.(本小题8分)
某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的500千克按售价的8折售完．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)超市销售这种干果共盈利多少元？
25.(本小题8分)
已知直线l和直线外一点A，只利用圆规完成以下作图．(保留作图列迹，不写画法)
(1)图①中，作点B，使直线AB//l；
(2)图②中，作点B、C、D，使A、B、C、D为矩形的四个顶点．
26.(本小题8分)
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E、F相遇时除外)？
答：______；(直接填空，不用说理)
(2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在(1)条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.“任意画一个多边形，其内角和不一定是360°”是随机事件，故不正确；
B.“在数轴上任取一点，则这点表示的数可能是有理数，也可能是无理数”是随机事件，故不正确；
C.“从一副扑克牌(含大小王)中抽一张，恰好是红心A”是随机事件，说法正确；
D.可能性是50%的事件，是指发生的可能性有50%，但并不是说发生与不发生就一定各占一半，这只是种可能性，故原说法错误；
故选：C．
根据必然事件与随机事件的概念逐一判断即可．
本题考查的是概率的意义，即一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A)=p．
3.【答案】B
【解析】解：A、2000名学生的数学成绩是总体，故选项不合题意；
B、每位学生的数学成绩是个体，故选项符合题意；
C、这100名学生的数学成绩是总体的一个样本，故选项不合题意；
D、样本容量是100，故选项不合题意；
故选：B．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
本题主要考查了总体、个体、样本和样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本的区别，关键是明确考查对象的范围．样本容量只是个数字，没有单位．
4.【答案】D
【解析】解：由分式|x|−2x+2的值为0，得
|x|−2=0且x+2≠0．
解得x=2，
故选：D．
根据分子为零，分母不为零分式的值为零，可得答案．
本题考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5.【答案】A
【解析】解：A、∵AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠C=∠A，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意；
B、∵两组邻角相等也有可能是等腰梯形，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB//CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项C不符合题意；
D、∵AB=AD，CB=CD，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也有可能是筝形，故选项D不符合题意；
故选：A．
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=OB=12BD=3，
∵将平行四边形ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径是以线段BD为直径的半圆，
∴点D所转过的路径长=12×6π=3π，
故选：A．
将平行四边形ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径是以线段BD为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可．
本题考查了弧长的计算：弧长=nπr180(n为弧所对的圆心角的度数，R为圆的半径).也考查了平行线四边形的性质以及旋转的性质．
7.【答案】(3)
【解析】解：∵共有10+20+30=60球，
∴摸到白球的概率是：1060=16，
摸到黄球的概率是：2060=13，
摸到红球的概率是：3060=12，
∴发生的可能性最大的为：(3)；
故答案为：(3)．
先求出总球的个数，再根据概率公式分别求出摸到白球、黄球和红球的概率，然后进行比较即可．
本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】0.1
【解析】解：根据题意得：40−(12+10+6+8)=40−36=4，
则第5组的频率为4÷40=0.1，
故答案为：0.1．
根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．
此题考查了频数与频率，弄清题中的数据是解本题的关键．
9.【答案】2(m+1)(m−1)
【解析】解：∵m2−1=(m+1)(m−1)，2m+2=2(m+1)，
∴分式1m2−1和12m+2的最简公分母是：2(m+1)(m−1)，
故答案为：2(m+1)(m−1)．
确定最简公分母的方法是：
(1)取各分母系数的最小公倍数；
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母的知识，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
10.【答案】2
【解析】解：解分式方程：2xx−2+2m2−x=1，
∴去分母得：2x−2m=x−2，
∴解得x=2m−2，
∵关于x的分式方程2xx−2+2m2−x=1有增根，
∴该分式方程的增根为：x=2，
∴2m−2=2，
∴m=2，
故答案为：2．
根据分式方程有增根，即可得到x=2，进而得到m的值．
本题考查了分式方程的增根以及分式方程的解法等相关知识点，熟记分式方程增根的定义是解方程的关键．
11.【答案】∠B≥90°
【解析】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
(1)假设结论不成立；
(2)从假设出发推出矛盾；
(3)假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12.【答案】65°
【解析】解：∵AD=DB，AE=EC，
∴DE//BC，
∴∠ADE=∠B=65°，
∵AE=EC.CF=BF，
∴EF//AB，
∴∠CFE=∠B=65°，
故答案为65°．
利用三角形的中位线的性质解决问题即可．
本题考查三角形中位线定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】6
【解析】解：∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD=S△AED+S△CED+S△BEC+S△AEB=12EA⋅ED+12EC⋅ED+12EC⋅EB+12EB⋅EA=12ED(EA+EC)+12EB(EC+EA)=12(EC+EA)(ED+EB)=12AC⋅BD=12×3×4=6，
故答案为：6．
由四边形ABCD的面积是四个小三角形的面积和可得到：S四边形ABCD=S△AED+S△CED+S△BEC+S△AEB=12EA⋅ED+12EC⋅ED+12EC⋅EB+12EB⋅EA，再利用乘法的分配律求解即可．
此题考查了对角线互相垂直的四边形的面积是对角线积的一半的性质．此题比较简单，应掌握此结论的证法．
14.【答案】480x−480x+10=4
【解析】解：设原计划每天种x棵树，实际每天种树(x+10)棵树，
由题意得，480x−480x+10=4．
故答案为：480x−480x+10=4．
设原计划每天种x棵树，实际每天种树(x+10)棵树，根据提高工作效率之后时间减少4天列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
15.【答案】①②③
【解析】解：连接AC、BD，
∵AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q，
∴PQ//AC,PQ=12AC，MN//AC,MN=12AC，MQ//AC,MQ=12AC，PN//AC,PN=12AC，
∴PQ//MN，PQ=MN，QM//PN，QM=PN，
①当AC与BD不平行时，如图1，
∵PQ//MN，PQ=MN，
∴中点四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；
②当AC=BD且AC与BD不平行时，如图2，
∵PQ=MN=12AC，QM=PN=12BD，AC=BD，
∴PQ=MN=QM=PN，
∴中点四边形MNPQ是菱形；故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；
③当AC⊥BD(B,D不重合)时，如图3，
∵PQ//MN//AC，QM//PN//BD，AC⊥BD，
∴PQ⊥PN，
∴中点四边形MNPQ是矩形；
故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；
④当AC⊥BD，AC=BD时，如图4，
∵PQ//MN//AC，QM//PN//BD，AC⊥BD，
∴PQ⊥PN，
∵PQ=MN=12AC，QM=PN=12BD，AC=BD，
∴PQ=MN=QM=PN
∴中点四边形MNPQ是正方形；
故存在两个中点四边形MNPQ是正方形．
综上：正确的有①②③．
故答案为：①②③．
连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到PQ//MN，PQ=MN，QM//PN，QM=PN，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
16.【答案】4
【解析】解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形MHNB是矩形，
∴MH=BN，
∵BE=2，
∴EC=4，
∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC，
∴EC=EH=4，EN=NC=2，∠HEC=60°，
∴BN=4=MH，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE=GE，∠FEG=60°=∠HEC，
∴∠FEH=∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
FE=GE∠FEH=∠GECHE=EC，
∴△FEH≌△GEC(SAS)，
∴FH=GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，FH=HM=4，
∴CG的最小值为4．
故答案为：4．
以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH=BN，由“SAS”可证△FEH≌△GEC，可得FH=GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)去分母得到：x=4x−2+3，
解得：x=−13，
经检验x=−13是分式方程的解；
(2)去分母得：x2+2x+1−4=x2−1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】(1)①③④ ;
(2) a−1， 2a−1 ;
(3)3x+6x−1−x−1x÷x2−1x2+2x
=3(x−1)+9x−1−x−1x×x(x+2)(x+1)(x−1)
=3+9x−1−x+2x+1
=3+9x−1−1−1x+1
=2+9x−1−1x+1
当x=2、4、10、0、−2、−8时，9x−1是整数；
当x=0、−2时，1x+1是整数．
所以当x=0或−2时，分式运算的结果是整数．
【解析】解：(1)①x+1x=1+1x，是和谐分式；②是整式，③x+2x+1=1+1x+1，是和谐分式，
④y2+1y2=1+1y2，是和谐分式．
故答案为：①③⑤；
(2)a2−2a+3a−1=a2−2a+1+2a−1
=(a−1)2+2a−1
=a−1+2a−1
故答案为：a−1，2a−1；
(3)见答案．
(1)把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；
(2)把分式先变形为a2−2a+1+2a−1，再写成整式与分式分子为常数的形式；
(3)先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．
本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”.解决本题的关键是理解定义的内容并能运用．
19.【答案】解：(1)2aa2−9−1a−3
=2a(a+3)(a−3)−1a−3
=2a−(a+3)(a+3)(a−3)
=2a−a−3(a+3)(a−3)
=a−3(a+3)(a−3)
=1a+3；
(2)a2−aa2+1+2a÷a−1a+1
=a(a−1)(a+1)2⋅a+1a−1
=aa+1．
【解析】(1)根据分式的减法可以解答本题；
(2)根据分式的除法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
20.【答案】解：2a−1+a2−4a+4a2−1÷a−2a+1
=2a−1+(a−2)2(a+1)(a−1)⋅a+1a−2
=2a−1+a−2a−1
=aa−1，
∵(a+1)(a−1)≠0，a−2≠0，
∴a≠±1，2，
∴a=−2，
当a=−2时，原式=−2−2−1=23．
【解析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从1，−1，2，−2四个数中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21.【答案】120 54°
【解析】解：(1)此次共调查学生：(25+23)÷40%=120(名)，
故答案为：120；
(2)360°×10+8120=54°，
即扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为54°，
故答案为：54°；
(3)C的女生人数为：120×20%−12=12(名)；
A的男生人数为：120×(1−40%−20%−10+8120×100%)−16=14(名)，
将条形统计图补充完整：
(4)1500×14+16120=375(人)，
答：估计卫生防疫知识考核优秀的学生约375人．
(1)根据B组人数以及频率求出总人数即可；
(2)用D的人数除以总人数，再乘360°，列式计算即可；
(3)用总人数乘C所占比例，得出C的人数，再减去男生人数即可得出C的女生人数；用总人数乘A所占比例，得出A的人数，再减去女生人数即可得出A的男生人数；然后将条形统计图补充完整即可；
(4)利用样本估计总体的思想解决问题即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用、用样本估计总体的应用等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】(1)①②③；
(2)将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【解析】解：(1)①转动6次，指针都指向红色区域，但第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误；
②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；
故答案为：①②③．
(2)当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同，故将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE=12BC，DE//BC，
证明：延长DE到F，使得DE=EF，连接CF，
∵E是AC的中点，
∴AE=EC，
在△ADE和△CFE中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠ADE=∠F，AD=FC，
∴AB//CF，
∴DB//CF，
∵D是AB的中点，
∴AD=DB，
∴DB=CF．
∵DB//CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴BC=DF，DF//BC，
∵DE=EF，
∴DE=12DF．
∵DF//BC，BC=DF，
∴DE//BC，DE=12BC．
【解析】已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE=12BC，DE//BC，
证明：延长DE到F，使得DE=EF，连接CF，
∵E是AC的中点，
∴AE=EC，
在△ADE和△CFE中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠ADE=∠F，AD=FC，
∴AB//CF，
∴DB//CF，
∵D是AB的中点，
∴AD=DB，
∴DB=CF．
∵DB//CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴BC=DF，DF//BC，
∵DE=EF，
∴DE=12DF．
∵DF//BC，BC=DF，
∴DE//BC，DE=12BC．
延长DE到F，使得DE=EF，连接CF，先证△ADE≌△CFE(SAS)，得∠ADE=∠F，AD=FC，再证四边形DBCF为平行四边形，得BC=DF，DF//BC，即可解决问题．
本题考查了三角形中位线定理的证明、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克(1+20%)x元，
由题意，得9000(1+20%)x=2×3000x+300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
(2)[30005+90005×(1+20%)−500]×9+500×9×80%−(3000+9000)
=(600+1500−500)×9+3600−12000
=1600×9+3600−12000
=14400+3600−12000
=6000(元)．
答：超市销售这种干果共盈利6000元
【解析】(1)设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克(1+20%)x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；
(2)根据利润=售价−进价，可求出结果．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)如图①，点B为所作；
(2)如图②，点B、C、D为所作．
【解析】(1)在直线l上任意取点M、N，再分别以点A、N为圆心，MN、AM的长为半径画弧，两弧相交于B点，则直线AB//直线l；
(2)在直线l任意取点O，以O点为圆心，OA为半径作圆交直线l于E、F，然后分别以E、F为圆心，EA为半径画弧交⊙O于B、C、D．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
26.【答案】四边形EGFH是平行四边形
【解析】解：(1)∵四边形EGFH是平行四边形，理由如下：
由题意得：AE=CF=t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠GAE=∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴AG=12AD，CH=12BC，
∴AG=CH，
∴△AEG≌△CFH(SAS)，
∴EG=FH，∠AEG=∠CFH，
∴∠FEG=∠EFH，
∴EG//HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为：四边形EGFH是平行四边形；
(2)如图1，连接GH，
由(1)得AG=BH，AG//BH，∠B=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=6，
①如图1，当四边形EGFH是矩形时，
∴EF=GH=6，
∵AE=CF=t，
∴EF=10−2t=6，
∴t=2；
②如图2，当四边形EGFH是矩形时，
∵EF=GH=6，AE=CF=t，
∴EF=t+t−10=2t−10=6，
∴t=8；
综上，四边形EGFH为矩形时t=2或t=8；
(3)如图3，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O，
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
∴OA=OC，AG=AH，
∴四边形AGCH为菱形，
∴AG=CG，
设AG=CG=x，则DG=8−x，
由勾股定理可得：AB2+BG2=AG2，
即：62+(8−x)2=x2，
解得：x=254，
∴MG=254−4=94，即t=94，
∴当t=94时，四边形EGFH为菱形．
(1)利用三角形全等可得EG=FH，∠AEG=∠CFH，则EG//FH，即可证明；
(2)分为两种情况，一种是四边形EGFH为矩形，另一种是FGEH为矩形，利用EF=GH即可求解；
(3)根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形AGCH为菱形，再利用勾股定理即可求解．
本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用．
1.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. 正方形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 平行四边形
2.下列说法中，正确的是( )
A. “任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件
B. “在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件
C. “从一副扑克牌(含大小王)中抽一张，恰好是红心A”是随机事件
D. 可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
3.今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是( )
A. 2000名学生是总体B. 每位学生的数学成绩是个体
C. 这100名学生是总体的一个样本D. 100名学生是样本容量
4.若分式|x|−2x+2的值为零，则x的值等于( )
A. −2B. ±2C. 0D. 2
5.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A. AB//CD，∠C=∠AB. ∠A=∠B，∠C=∠D
C. AB//CD，AD=BCD. AB=AD，CB=CD
6.如图，在▱ABCD中，BD=6，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为( )
A. 3πB. 3C. 6πD. 6
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.一只不透明的袋子中装有10个白球、20个黄球和30个红球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则下列事件：(1)该球是白球；(2)该球是黄球；(3)该球是红球，则发生的可能性最大的为：______(只填写序号)．
8.一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1−4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是______．
9.分式1m2−1和12m+2的最简公分母是______．
10.关于x的分式方程2xx−2+2m2−x=1有增根，则m的值为______．
11.已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，用反证法证明：第一步是：假设______．
12.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为______．
13.如图，若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，且AC=3，BD=4，则四边形ABCD的面积为______．
14.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前4天完成任务．设原计划每天种x棵树，则根据题意可列方程为______．
15.点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点(不与A，B，C重合).线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q.在点D的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；
③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；
④存在一个中点四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点E在BC边上，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
17.解方程：
(1)x2x−1=2−31−2x
(2)x+1x−1−4x2−1=1
18.定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x−2x+1+−5x+1=2−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和皆分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______(填序号)；
①x+1x；②2+x2；③x+2x+1；④y2+1y2
(2)将“和谐分式a2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：a2−2a+3a−1=______+______．
(3)应用：先化简3x+6x−1−x−1x÷x2−1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
四、解答题：本题共8小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：
(1)2aa2−9−1a−3；
(2)a2−aa2+1+2a÷a−1a+1．
20.(本小题6分)
先化简2a−1+a2−4a+4a2−1÷a−2a+1，再从1，−1，2，−2四个数中选取一个合适的数代入求值．
21.(本小题6分)
为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小佑同学分别从初二、初三两个年级随机抽取了一部分同学的成绩(百分制)，并对数据(x分)进行了整理，“A优秀：90≤x≤100；B良好：89≤x≤75；C合格74≤x≤60；D不合格：x<60”四类分别进行统计，并绘制了如图所示的两幅统计图(不完整)．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了______名学生；
(2)扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为______；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)若该校共有1500名学生，请你估计卫生防疫知识考核优秀的学生的人数．
22.(本小题6分)
如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．
(1)转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______(填写序号)．
①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；
②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．
(2)怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．
23.(本小题6分)
证明：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．已知：______．
求证：______．
证明：
24.(本小题8分)
某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的500千克按售价的8折售完．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)超市销售这种干果共盈利多少元？
25.(本小题8分)
已知直线l和直线外一点A，只利用圆规完成以下作图．(保留作图列迹，不写画法)
(1)图①中，作点B，使直线AB//l；
(2)图②中，作点B、C、D，使A、B、C、D为矩形的四个顶点．
26.(本小题8分)
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E、F相遇时除外)？
答：______；(直接填空，不用说理)
(2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在(1)条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.“任意画一个多边形，其内角和不一定是360°”是随机事件，故不正确；
B.“在数轴上任取一点，则这点表示的数可能是有理数，也可能是无理数”是随机事件，故不正确；
C.“从一副扑克牌(含大小王)中抽一张，恰好是红心A”是随机事件，说法正确；
D.可能性是50%的事件，是指发生的可能性有50%，但并不是说发生与不发生就一定各占一半，这只是种可能性，故原说法错误；
故选：C．
根据必然事件与随机事件的概念逐一判断即可．
本题考查的是概率的意义，即一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A)=p．
3.【答案】B
【解析】解：A、2000名学生的数学成绩是总体，故选项不合题意；
B、每位学生的数学成绩是个体，故选项符合题意；
C、这100名学生的数学成绩是总体的一个样本，故选项不合题意；
D、样本容量是100，故选项不合题意；
故选：B．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
本题主要考查了总体、个体、样本和样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本的区别，关键是明确考查对象的范围．样本容量只是个数字，没有单位．
4.【答案】D
【解析】解：由分式|x|−2x+2的值为0，得
|x|−2=0且x+2≠0．
解得x=2，
故选：D．
根据分子为零，分母不为零分式的值为零，可得答案．
本题考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5.【答案】A
【解析】解：A、∵AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠C=∠A，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意；
B、∵两组邻角相等也有可能是等腰梯形，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB//CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项C不符合题意；
D、∵AB=AD，CB=CD，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也有可能是筝形，故选项D不符合题意；
故选：A．
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=OB=12BD=3，
∵将平行四边形ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径是以线段BD为直径的半圆，
∴点D所转过的路径长=12×6π=3π，
故选：A．
将平行四边形ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径是以线段BD为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可．
本题考查了弧长的计算：弧长=nπr180(n为弧所对的圆心角的度数，R为圆的半径).也考查了平行线四边形的性质以及旋转的性质．
7.【答案】(3)
【解析】解：∵共有10+20+30=60球，
∴摸到白球的概率是：1060=16，
摸到黄球的概率是：2060=13，
摸到红球的概率是：3060=12，
∴发生的可能性最大的为：(3)；
故答案为：(3)．
先求出总球的个数，再根据概率公式分别求出摸到白球、黄球和红球的概率，然后进行比较即可．
本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】0.1
【解析】解：根据题意得：40−(12+10+6+8)=40−36=4，
则第5组的频率为4÷40=0.1，
故答案为：0.1．
根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．
此题考查了频数与频率，弄清题中的数据是解本题的关键．
9.【答案】2(m+1)(m−1)
【解析】解：∵m2−1=(m+1)(m−1)，2m+2=2(m+1)，
∴分式1m2−1和12m+2的最简公分母是：2(m+1)(m−1)，
故答案为：2(m+1)(m−1)．
确定最简公分母的方法是：
(1)取各分母系数的最小公倍数；
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母的知识，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
10.【答案】2
【解析】解：解分式方程：2xx−2+2m2−x=1，
∴去分母得：2x−2m=x−2，
∴解得x=2m−2，
∵关于x的分式方程2xx−2+2m2−x=1有增根，
∴该分式方程的增根为：x=2，
∴2m−2=2，
∴m=2，
故答案为：2．
根据分式方程有增根，即可得到x=2，进而得到m的值．
本题考查了分式方程的增根以及分式方程的解法等相关知识点，熟记分式方程增根的定义是解方程的关键．
11.【答案】∠B≥90°
【解析】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
(1)假设结论不成立；
(2)从假设出发推出矛盾；
(3)假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12.【答案】65°
【解析】解：∵AD=DB，AE=EC，
∴DE//BC，
∴∠ADE=∠B=65°，
∵AE=EC.CF=BF，
∴EF//AB，
∴∠CFE=∠B=65°，
故答案为65°．
利用三角形的中位线的性质解决问题即可．
本题考查三角形中位线定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】6
【解析】解：∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD=S△AED+S△CED+S△BEC+S△AEB=12EA⋅ED+12EC⋅ED+12EC⋅EB+12EB⋅EA=12ED(EA+EC)+12EB(EC+EA)=12(EC+EA)(ED+EB)=12AC⋅BD=12×3×4=6，
故答案为：6．
由四边形ABCD的面积是四个小三角形的面积和可得到：S四边形ABCD=S△AED+S△CED+S△BEC+S△AEB=12EA⋅ED+12EC⋅ED+12EC⋅EB+12EB⋅EA，再利用乘法的分配律求解即可．
此题考查了对角线互相垂直的四边形的面积是对角线积的一半的性质．此题比较简单，应掌握此结论的证法．
14.【答案】480x−480x+10=4
【解析】解：设原计划每天种x棵树，实际每天种树(x+10)棵树，
由题意得，480x−480x+10=4．
故答案为：480x−480x+10=4．
设原计划每天种x棵树，实际每天种树(x+10)棵树，根据提高工作效率之后时间减少4天列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
15.【答案】①②③
【解析】解：连接AC、BD，
∵AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q，
∴PQ//AC,PQ=12AC，MN//AC,MN=12AC，MQ//AC,MQ=12AC，PN//AC,PN=12AC，
∴PQ//MN，PQ=MN，QM//PN，QM=PN，
①当AC与BD不平行时，如图1，
∵PQ//MN，PQ=MN，
∴中点四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；
②当AC=BD且AC与BD不平行时，如图2，
∵PQ=MN=12AC，QM=PN=12BD，AC=BD，
∴PQ=MN=QM=PN，
∴中点四边形MNPQ是菱形；故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；
③当AC⊥BD(B,D不重合)时，如图3，
∵PQ//MN//AC，QM//PN//BD，AC⊥BD，
∴PQ⊥PN，
∴中点四边形MNPQ是矩形；
故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；
④当AC⊥BD，AC=BD时，如图4，
∵PQ//MN//AC，QM//PN//BD，AC⊥BD，
∴PQ⊥PN，
∵PQ=MN=12AC，QM=PN=12BD，AC=BD，
∴PQ=MN=QM=PN
∴中点四边形MNPQ是正方形；
故存在两个中点四边形MNPQ是正方形．
综上：正确的有①②③．
故答案为：①②③．
连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到PQ//MN，PQ=MN，QM//PN，QM=PN，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
16.【答案】4
【解析】解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形MHNB是矩形，
∴MH=BN，
∵BE=2，
∴EC=4，
∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC，
∴EC=EH=4，EN=NC=2，∠HEC=60°，
∴BN=4=MH，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE=GE，∠FEG=60°=∠HEC，
∴∠FEH=∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
FE=GE∠FEH=∠GECHE=EC，
∴△FEH≌△GEC(SAS)，
∴FH=GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，FH=HM=4，
∴CG的最小值为4．
故答案为：4．
以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH=BN，由“SAS”可证△FEH≌△GEC，可得FH=GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)去分母得到：x=4x−2+3，
解得：x=−13，
经检验x=−13是分式方程的解；
(2)去分母得：x2+2x+1−4=x2−1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】(1)①③④ ;
(2) a−1， 2a−1 ;
(3)3x+6x−1−x−1x÷x2−1x2+2x
=3(x−1)+9x−1−x−1x×x(x+2)(x+1)(x−1)
=3+9x−1−x+2x+1
=3+9x−1−1−1x+1
=2+9x−1−1x+1
当x=2、4、10、0、−2、−8时，9x−1是整数；
当x=0、−2时，1x+1是整数．
所以当x=0或−2时，分式运算的结果是整数．
【解析】解：(1)①x+1x=1+1x，是和谐分式；②是整式，③x+2x+1=1+1x+1，是和谐分式，
④y2+1y2=1+1y2，是和谐分式．
故答案为：①③⑤；
(2)a2−2a+3a−1=a2−2a+1+2a−1
=(a−1)2+2a−1
=a−1+2a−1
故答案为：a−1，2a−1；
(3)见答案．
(1)把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；
(2)把分式先变形为a2−2a+1+2a−1，再写成整式与分式分子为常数的形式；
(3)先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．
本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”.解决本题的关键是理解定义的内容并能运用．
19.【答案】解：(1)2aa2−9−1a−3
=2a(a+3)(a−3)−1a−3
=2a−(a+3)(a+3)(a−3)
=2a−a−3(a+3)(a−3)
=a−3(a+3)(a−3)
=1a+3；
(2)a2−aa2+1+2a÷a−1a+1
=a(a−1)(a+1)2⋅a+1a−1
=aa+1．
【解析】(1)根据分式的减法可以解答本题；
(2)根据分式的除法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
20.【答案】解：2a−1+a2−4a+4a2−1÷a−2a+1
=2a−1+(a−2)2(a+1)(a−1)⋅a+1a−2
=2a−1+a−2a−1
=aa−1，
∵(a+1)(a−1)≠0，a−2≠0，
∴a≠±1，2，
∴a=−2，
当a=−2时，原式=−2−2−1=23．
【解析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从1，−1，2，−2四个数中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21.【答案】120 54°
【解析】解：(1)此次共调查学生：(25+23)÷40%=120(名)，
故答案为：120；
(2)360°×10+8120=54°，
即扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为54°，
故答案为：54°；
(3)C的女生人数为：120×20%−12=12(名)；
A的男生人数为：120×(1−40%−20%−10+8120×100%)−16=14(名)，
将条形统计图补充完整：
(4)1500×14+16120=375(人)，
答：估计卫生防疫知识考核优秀的学生约375人．
(1)根据B组人数以及频率求出总人数即可；
(2)用D的人数除以总人数，再乘360°，列式计算即可；
(3)用总人数乘C所占比例，得出C的人数，再减去男生人数即可得出C的女生人数；用总人数乘A所占比例，得出A的人数，再减去女生人数即可得出A的男生人数；然后将条形统计图补充完整即可；
(4)利用样本估计总体的思想解决问题即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用、用样本估计总体的应用等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】(1)①②③；
(2)将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【解析】解：(1)①转动6次，指针都指向红色区域，但第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误；
②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；
故答案为：①②③．
(2)当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同，故将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE=12BC，DE//BC，
证明：延长DE到F，使得DE=EF，连接CF，
∵E是AC的中点，
∴AE=EC，
在△ADE和△CFE中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠ADE=∠F，AD=FC，
∴AB//CF，
∴DB//CF，
∵D是AB的中点，
∴AD=DB，
∴DB=CF．
∵DB//CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴BC=DF，DF//BC，
∵DE=EF，
∴DE=12DF．
∵DF//BC，BC=DF，
∴DE//BC，DE=12BC．
【解析】已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE=12BC，DE//BC，
证明：延长DE到F，使得DE=EF，连接CF，
∵E是AC的中点，
∴AE=EC，
在△ADE和△CFE中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠ADE=∠F，AD=FC，
∴AB//CF，
∴DB//CF，
∵D是AB的中点，
∴AD=DB，
∴DB=CF．
∵DB//CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴BC=DF，DF//BC，
∵DE=EF，
∴DE=12DF．
∵DF//BC，BC=DF，
∴DE//BC，DE=12BC．
延长DE到F，使得DE=EF，连接CF，先证△ADE≌△CFE(SAS)，得∠ADE=∠F，AD=FC，再证四边形DBCF为平行四边形，得BC=DF，DF//BC，即可解决问题．
本题考查了三角形中位线定理的证明、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克(1+20%)x元，
由题意，得9000(1+20%)x=2×3000x+300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
(2)[30005+90005×(1+20%)−500]×9+500×9×80%−(3000+9000)
=(600+1500−500)×9+3600−12000
=1600×9+3600−12000
=14400+3600−12000
=6000(元)．
答：超市销售这种干果共盈利6000元
【解析】(1)设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克(1+20%)x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；
(2)根据利润=售价−进价，可求出结果．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)如图①，点B为所作；
(2)如图②，点B、C、D为所作．
【解析】(1)在直线l上任意取点M、N，再分别以点A、N为圆心，MN、AM的长为半径画弧，两弧相交于B点，则直线AB//直线l；
(2)在直线l任意取点O，以O点为圆心，OA为半径作圆交直线l于E、F，然后分别以E、F为圆心，EA为半径画弧交⊙O于B、C、D．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
26.【答案】四边形EGFH是平行四边形
【解析】解：(1)∵四边形EGFH是平行四边形，理由如下：
由题意得：AE=CF=t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠GAE=∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴AG=12AD，CH=12BC，
∴AG=CH，
∴△AEG≌△CFH(SAS)，
∴EG=FH，∠AEG=∠CFH，
∴∠FEG=∠EFH，
∴EG//HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为：四边形EGFH是平行四边形；
(2)如图1，连接GH，
由(1)得AG=BH，AG//BH，∠B=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=6，
①如图1，当四边形EGFH是矩形时，
∴EF=GH=6，
∵AE=CF=t，
∴EF=10−2t=6，
∴t=2；
②如图2，当四边形EGFH是矩形时，
∵EF=GH=6，AE=CF=t，
∴EF=t+t−10=2t−10=6，
∴t=8；
综上，四边形EGFH为矩形时t=2或t=8；
(3)如图3，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O，
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
∴OA=OC，AG=AH，
∴四边形AGCH为菱形，
∴AG=CG，
设AG=CG=x，则DG=8−x，
由勾股定理可得：AB2+BG2=AG2，
即：62+(8−x)2=x2，
解得：x=254，
∴MG=254−4=94，即t=94，
∴当t=94时，四边形EGFH为菱形．
(1)利用三角形全等可得EG=FH，∠AEG=∠CFH，则EG//FH，即可证明；
(2)分为两种情况，一种是四边形EGFH为矩形，另一种是FGEH为矩形，利用EF=GH即可求解；
(3)根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形AGCH为菱形，再利用勾股定理即可求解．
本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用．
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