四川省成都市成都七中万达学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

这是一份四川省成都市成都七中万达学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了椭圆的焦距为2，则为，如图，在三棱锥中，点满足，则，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1.记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（ ）
A. B. C. D.是等比数列
2.椭圆的焦距为2，则为（ ）
A.5或13 B.5 C.8或10 D.8
3.如图，在三棱锥中，点满足，则（ ）
A. B. C.2 D.
4.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋各摸出一个球，记事件A：2个球都是红球，事件B：2个球中恰有1个红球，事件C：2个球至少有1个红球，事件D：2个球不都是红球，则下列说法正确的是（ ）
A.事件A与事件互斥 B.
C.事件A与事件D对立 D.
5.已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A.0或2 B.0或 C.2 D.
7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列，前后两项之差并不相等，但是逐项差数成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，这样的数列称为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（ ）
A.4862 B.4962 C.4852 D.4952
8.已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（ ）
A.2 B. C. D.
二､多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分）
9.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在内，则（ ）
A.图中的
B.
C.同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2
D.该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为71，则甲将会被邀请参与产品改进会议
10.下列说法正确的是（ ）
A.已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30
B.已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为
C.已知直线运动的汽车速度与时间的关系是，则时瞬时加速度为7
D.已知函数，则
11.已知函数，，动直线l过原点且与曲线相切，切点的横坐标从小到大依次为.则下列说法错误的是（ ）
A. B.数列为等差数列
C. D.
三､填空题（本大题共3小题，每5分，共15分）
12.设是随机事件，且，则___________.
13.已知点M在抛物线上运动，过点M的两直线，与圆相切，切点分别为A，B，则当取最小值时，点M的坐标为___________.
14.已知向量在向量上的投影向量的模为，则___________，使为整数的n的值按照从小到大的顺序排列，得到的新数列的前n项和___________.
四､解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）
15.（13分）已知曲线，求
（1）曲线过点的切线方程；
（2）曲线平行于直线的切线方程.
16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点为的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值；
17.（15分）已知数列的前项和为.数列的首项，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）设，求数列的前项和.
18.（17分）已知双曲线的左､右焦点分别为､，左､右顶点分别为､，点在上，.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）若过焦点且斜率存在的直线与双曲线的右支交于､两点，线段的垂直平分线与轴交于点，试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
19.（17分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，
（1）求，的通项公式；
（2）记为的前项和，求证：；
（3）若，求数列的前项和.
成都七中万达学校高2025届高二下学期3月月考答案
一､选填题
1-8.ACCDDADB
9.ABC 10.BD 11.ABC
12. 13. 14.5；
15.【详解】（1）因为切点在曲线上，所以可设切点为，
则，则切线方程为，
因为切线过，代入切向方程得：化简得，
则或
所以曲线过点的切线方程为：或.
（2）直线的斜率为，设切点为，
则由（2）知切线方程为，
则由切线与直线平行得，即或，
所以切线方程为或，
即或
16.【详解】（1）证明：连结OP，BD，如图：
因为底面ABCD为菱形，，
故，又O为AD的中点，故.
在中，，O为AD的中点，所以.
设，则，，
因为，
所以.（也可通过来证明），
又因为，平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD；
（2）因为，，
，平面POB，
所以平面POB，又平面POB，所以.
由（1）得，又由，
所以OA，OB，OP所在的直线两两互相垂直.
故以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建系，如图：
设，则，，，.
所以，，，
由（1）知平面PAD，
故可以取与平行的向量作为平面PAD的法向量.
设平面PBC的法向量为，
则，即
令，所以.
设平面PBC与平面PAD所成二面角为θ，显然为锐角，则
，
所以平面与平面所成二面角的余弦值为.
17.【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，依然成立，所以的通项公式是.
（2）由，得，.又.
故是以3为首项，3为公比的等比数列，所以.
（3）由（1）（2）知，，
则
.
令①，
②，
①-②得，，，
，.
18.【详解】（1）解：由点在双曲线上，可得.
因为，所以.又，所以，，，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：为定值，理由如下：
设直线的方程为，设点，，
联立，可得，
当时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线只有一个交点，不合题意，
故，此时，则，，
由已知可得，可得，则，，所以，线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为.
令在直线的方程中，令得，即，
所以.
又，
在中，由正弦定理得，所以.
在中，由正弦定理得，所以，
所以为定值.
19.【详解】（1）解：由已知可得，
，
联立①②，得，解得或，
因为是各项都为正数的等比数列，所以，代入①式可得，
所以，；
（2），，，
则
，所以；
（3）
，令
，
则，
，得
，
令
，
.