北京市怀柔区第一中学2024届高三下学期零模数学试卷及详细答案

这是一份北京市怀柔区第一中学2024届高三下学期零模数学试卷及详细答案，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则其共轭复数（ ）
A．B．C．D．
3．在的展开式中，常数项是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
5．设为非零向量，则“”是“存在负数， 使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，屋顶的体积为，算得侧面展开图的圆心角约为（ ）
A．B．C．D．
7．圆C的圆心在抛物线上，且圆C过抛物线的焦点，则圆C上的点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年，我国城乡深化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米，已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是（参考数据：，）（ ）
A．1个月B．3个月C．半年D．1年
9．已知函数，，及其导函数的图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）
A．存在点E，使平面
B．三棱锥的体积随动点E变化而变化
C．直线与所成的角不可能等于
D．存在点E，使平面
二、填空题
11．函数的定义域是 .
12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则双曲线C的离心率为 .
13．甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用、表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是 .
14．设首项是1的数列的前n项和为，且，则 ；若，则正整数m的最大值是 .
15．已知函数.给出下列四个结论：
①存在实数a，使得有最大值；
②对任意实数a，使得存在至少两个零点；
③若，则存在，使得；
④函数的值域不可能是R.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16．在①，
②，
③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问題：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且选择条件______，
(1)求角A；
(2)若O是内一点，，，，，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分；选择第②个条件解答不给分.
17．三棱台中，若平面，，，，M，N分别是，中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)求点C到平面的距离.
18．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值；
(2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为X，求X的分布列和期望；
(3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有k名学生参加公益劳动时间在（单位：小时）内的概率，其中，1，2，，20.当最大时，写出k的值.（只需写出结论）.
19．椭圆的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆的交点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程和长轴长；
(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.
20．已知函数，（且）.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数存在两个极值点，设是极小值点，是极大值点，若，求实数a的取值范围.
21．有穷数列{}共m项()．其各项均为整数，任意两项均不相等．，．
(1)若{}：0，1，．求的取值范围；
(2)若，当取最小值时，求的最大值；
(3)若，，求m的所有可能取值．
参考答案：
1．C
【分析】借助交集定义计算即可得.
【详解】由可得，故，则.
故选：C.
2．B
【分析】由复数除法以及共轭复数的概念即可得解.
【详解】因为，所以.
故选：B.
3．A
【分析】由二项式定理得展开通项并整理，令，求出回代到展开通项即可求解.
【详解】的展开式通项为，
由题意令，解得，从而常数项是.
故选：A.
4．C
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.
【详解】依题意，，
显然，则，于是，
所以函数的值域是.
故选：C
5．B
【分析】根据数量积的定义和向量共线要求结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由，可得的夹角为钝角或，不能推出，
由存在负数， 使得，可得共线且反向，夹角为，则，
所以“”是“存在负数， 使得”的必要而不充分条件，
故选：B.
6．C
【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧长，再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开图的圆心角.
【详解】底面圆的面积为，得底面圆的半径为，
所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
屋顶的体积为，由得圆锥的高，
所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形半径，
得侧面展开图扇形的圆心角约为.
故选：C.
7．A
【分析】结合抛物线定义以及圆上点到定直线距离的最值即可求解.
【详解】设圆心为，半径为，
由抛物线的焦点为，准线方程为，
可得，
所以圆C上的点到直线距离的最小值为，取等条件是圆圆心与坐标原点重合.
故选：A.
8．B
【分析】由题意可知，，利用指数与对数的运算性质进行化简求解，即可得到答案．
【详解】由题意可知，，故，
则，即，
所以，则要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是90天，即三个月．
故选：B．
9．C
【分析】根据给定图象，由可得，由时可得函数的单调性，进而确定及其导函数图象求解.
【详解】观察图象知，，而，，则，
当时，，则函数在上单调递增，
因此最大值为1的函数图象为函数的图象，即，
由，求导得，则，解得，
即，由，得，又，
于是，所以函数的解析式为.
故选：C
10．D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用空间向量求出线线角的余弦判断C；利用等体积法确定的体积情况判断B.
【详解】在正方体中，以点D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
由在线段上运动，设（），则，
平面的法向量，显然，则直线与平面不平行，A错误；
，设直线与所成角为，则，
显然当时，，，即存在点E使得直线与所成的角为，C错误；
设平面的法向量为，则，令，得，
当时，，因此平面，D正确；
点在正方体的对角面矩形的边上，则，
而平面平面，则，又，
可得平面，点到平面的距离为，则三棱锥的体积为定值，B错误.
故选：D
【点睛】思路点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，可选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
11．
【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得或，
所以函数的定义域是.
故答案为：
12．2
【分析】根据二倍角公式求出，再求出离心率即可.
【详解】易知关于x轴对称，令，，
∴，，∴，∴．
，，，
∴，∴．
故答案为: 2.
13．
【分析】根据全概率公式即可求解.
【详解】因为，
所以,
故答案为：
14． 8 11
【分析】由递推公式可直接求出，分为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，进而根据分组求和结合等比求和公式可得为偶数时的前项和，再确定的值即可．
【详解】
，，
当为偶数时，
，
，又，
故，故；
当为奇数时，
，
，又，
故，故；
当为偶数时，
由于
当时，，
当时，，
当为奇数时，，
当时，，
故正整数的最大值是11，
故答案为：8，11．
15．①④
【分析】根据时，根据二次函数的性质，结合求导判断函数的单调性即可判断①，根据即可判断②，构造，利用导数求解函数的单调性即可判断③，根据二次函数的性质，结合指数函数的性质即可判断④.
【详解】当时，当时，，此时在单调递增，在单调递减，此时
当时，，此时，此时在单调递增，且,
综上可得时，，故①正确，
当时，当时，，此时在单调递减，此时只有一个零点，
当时，，此时无零点，
故当时，只有一个零点，故②错误，
当时，，若，则，所以，
令（），则，
故在上单调递增，故，
故当时，此时在上没有实数根，因此不存在，使得，③错误，
当时， （）为开口向上的二次函数，，
故此时的值域为的子集，而时，，
且当时，，故此时值域不可能为,
当时， （）为开口向下的二次函数，，
故此时的值域为的子集，而时，，故此时值域不可能为,
当时，值域为，不为,
因此值域不可能为,④正确
故答案为：①④
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
16．(1)选②不符合题意，无论选①还是选③，都有
(2)
【分析】（1）结合正弦定理或者余弦定理进行边角转换，由三角形内角和为及和差公式化简等式，再根据角的范围及函数值，即可求得A；
（2）先由角度关系得，即，在、中，分别由正弦定理可得，，，即可建立等式化简得，即可求得.
【详解】（1）若选①，
则，
又因为，所以，即，
所以，又因为，所以，
所以，解得；
若选②，则，
所以，即矛盾，故选②不符合题意；
若选③，
则，
又因为，所以，从而；
综上所述，选②不符合题意，无论选①还是选③，都有；
（2）
，，
所以，
在中，由正弦定理得，，
，
在中，，
，
，整理得，
.
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）（3）由（1）中坐标系，利用面面角、点到平面距离的向量求法求解即得.
【详解】（1）在三棱台中，平面，，显然直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
由M，N分别是，中点，得，则，
因此，而点直线，则，又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
设二面角的大小为，则，
所以二面角的正弦值.
（3）由（1）知，，由（2）知，平面的法向量，
所以点C到平面的距离.
18．(1)
(2)分布列见解析，期望为
(3)
【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，求出的值即可；
（2）由频率分布直方图求出这500名学生中参加公益劳动时间在，，三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列，由分布列即可计算期望；
（3）根据独立重复试验的概率公式得到不等式组，解得的取值范围，即可得解.
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得；
（2）由频率分布直方图得：
这500名学生中参加公益劳动时间在，，三组内的学生人数分别为：
人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
的分布列为：
则其期望为；
（3）由（1）可知参加公益劳动时间在的概率，
所以，
依题意，即，
即，解得，
因为为非负整数，所以，
即当最大时，.
19．(1)，长轴长为.
(2)存在，当时，点；当时，点
【分析】（1）根据题意，利用椭圆的定义求得，再由椭圆的离心率为，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）联立方程组，结合，求得，设，得到，，再求得的中点，假设存在实数和点使得成立，结合和，列出方程求得，进而得到点的坐标.
【详解】（1）解：如图所示，设两圆与椭圆的交点为，
根据椭圆的定义可知：，所以，
又由椭圆的离心率为，可得，则，
所以椭圆的方程为，椭圆的长轴长为.
（2）解：联立方程组，整理得，
由，解得，
设，则，
再设的中点为，则，
可得，所以，
假设存在实数和点，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
则，可得，所以，
解得，所以点，
又因为，可得，即，
整理得，
所以，
将代入可得，
即，
整理得，所以，解得，
当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，
此时，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的存在性问题注意事项：
对于圆锥曲线的存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.
1、当条件和结论不唯一时，要注意分类讨论；
2、当给出结论而要推到出存在条件时，通常先假设成立，再推出条件；
3、当条件和结论都未知时，特别是按常规方法解答很难时，要开发思想，可先通过特殊情况探索，再加以论证.
20．(1)
(2)
【分析】（1）首先代入得，求导得的值，由此即可得解；
（2）求出的导数，，根据后者有变号零点结合极值点的情况可得，再根据最值的符号得到，最后结合零点存在定理判断即可.
【详解】（1）当时，，，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2），
设，由题设有两个变号零点，
且在的左侧附近，，在的右侧附近，，
在的左侧附近，，在的右侧附近，，
又，令，
令，则，设，
若，则为上的增函数，
当时，，时，，
故在上为减函数，在为增函数，
因为有两个变号零点，故
且，，
此时的左侧附近，，在的右侧附近，，
这与题设矛盾，
故，为上的减函数，
此时当时，，时，，
故在上为增函数，在为减函数，
故即，化简得到：，
故即，故，所以，
所以.
下证：当，有两个变号零点.
此时，而，
故在上存在一个零点，且在的左侧附近，，
在的右侧附近，，故为的极大值点，
设，则，
故在上为增函数，故，
故恒成立，故恒成立，
故当时，有,
故当时，有，
故此时在上存在一个零点，且在的左侧附近，，
在的右侧附近，，故为的极大值点，
所以即为，即为，
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得出如果，那么在递减，在递增；如果，那么在递增，在递减，其中，由此即可顺利得解.
21．(1)且
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义有，即可求范围；
（2）首先确定中的前5项为，再根据定义及绝对值的几何意义求最大值；
（3）根据分析的元素分布，讨论m研究数列，进而确定数列元素，结合题设判断数列存在性，即可得结果．
【详解】（1）由题设，则，即或，
所以或，任意两项均不相等，故、，
故的取值范围且；
（2）由{}各项均为整数，任意两项均不相等，要使最小，即尽量小，
则，故中的前5项为，
要使最大，即最大，
而，则
不妨令，只需依次使取到最大，
要使最大，则；
要使最大，则；
要使最大，则，故；
此时，
综上，.
（3）对于，则的最小值为，而，
由，且，
所以有如下情况：①最后一项为3，前面各项都为1；②最后两项为2，前面各项都为1；
，数列不可能出现3，或同时出现两个2，排除；
，数列为，对应数列为，故存在满足题设的情况；
，以下过程中，
若存在满足①的数列元素依次为，
令数列前4项为，则第5项为（存在重复项，舍）或，
而第5项为，不满足题设；
若存在满足②的数列元素依次为，
令数列前3项为，则第4项为（存在重复项，舍）或，
第4项为，则第5项为（存在重复项，舍）或，而不满足题设；
同上讨论，时不可能存在满足题设的数列；
综上，.
【点睛】关键点睛：第二、三问，根据、约束条件及定义，结合绝对值的几何意义确定的最值、元素分布.
0
1
2
3