2021届北京市怀柔区高三数学一模试卷及答案

北京市怀柔区高三数学一模试卷

一、单项选择题

1.集合 ，那么图中阴影局部的集合为〔    〕 

A. {-1}                                  B.                                   C.                                   D. 

2.在复平面内，复数 对应的点的关于实轴对称，假设 ，那么 〔    〕           

A.                                          B. 5                                         C.                                          D. 3 

3.在 的展开式中， 的系数为〔    〕           

A. 20                                        B. -20                                        C. -40                                        D. 40 

4.曲线 与曲线 的〔    〕           

A. 焦距相等                      B. 实半轴长相等 

                      C. 虚半轴长相等                      D. 离心率相等 

5.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象〔    〕           

A. 向右平移 个单位      B. 向右平移 个单位 

      C. 向左平移 个单位      D. 向左平移 个单位 

6.某四棱柱的三视图如下列图，该几何体的体积为〔    〕 

A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8 

7.“ 〞是直线 与圆 相交的〔    〕           

A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件 

         C. 充分必要条件         D. 即不充分也不必要条件 

8.设等比数列 的前n项和为 ，假设 ，那么以下式子中的数值不能确定的是〔    〕           

A.                                       B.                                       C.                                       D. 

9.函数 ，且关于x的方程 恰有两个互异的实数解，那么实数a的取值范围为〔    〕           

A.                                B.                                C.                                D. 

10.形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如下列图，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形〞；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形〞；依次进行“n次分形〞，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，那么n最小值是〔    〕(取 ) 

A. 15                                         B. 16                                         C. 17                                         D. 18 

二、填空题

11.函数 的定义域为________.   

C顶点在原点，焦点在y轴上，且过点 ，那么C的标准方程是________.   

13.在 中， ，那么 ________.   

14.假设函数 的一个零点为 ，那么常数 的一个取值为________.   

15.如图，在直角梯形 中， ，P为线段 上一个动点，设 ，对于函数 给出以下四个结论： 

①当 时，函数 的值域为 ；

② ，都有 成立；

③ ，函数 的最大值都等于4；

④ ，函数 的最小值为负数.

其中所有正确结论的序号是________.

三、解答题

16.如图，在四棱柱 中， 平面 ，底面 是边长为1的正方形，侧棱 .

〔1〕求证： 平面 ；   

〔2〕求证： ；   

〔3〕求二面角 的余弦值.   

17.函数 ，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为，求：   

〔1〕的单调递增区间；   

〔2〕在区间 的取值范围. 

条件①： ；条件②： ；条件③： .

注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.

18.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表： 

包装质量在 克的产品为一等品，其余为二等品

〔1〕估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；   

〔2〕从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；   

〔3〕从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望 与那么望 的大小.(结论不要求证明)   

19.函数 ，其中 .   

〔1〕假设曲线 在 处的切线与直线 平行，求a的值；   

〔2〕假设函数 在定义域内单调递减，求a的取值范围.   

20.椭圆 过点 ，且 ，假设直线 与椭圆C交于M  ， N两点，过点M作x轴的垂线分别与直线 交于点A  ， B  ， 其中O为原点.   

〔1〕求椭圆C的方程；   

〔2〕假设 ，求k的值.   

21.定义满足以下两个性质的有穷数列 为 阶“期待数列〞：① ；② .   

〔1〕假设等比数列 为4阶“期待数列〞，求 的公比；   

〔2〕假设等差数列 是 阶“期待数列〞( .k是正整数，求 的通项公式；   

〔3〕记 阶“期待数列〞 的前n项和为 ( .k是不小于2的整数)，求证： .   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】由维恩图可知，阴影局部为集合 .

故答案为：B.

 
【分析】根据题意由韦恩图结合交集的定义即可得出答案。

2.【解析】【解答】因为复数 对应的点的关于实轴对称，

所以 互为共轭复数，

所以 ，

故答案为：B

 
【分析】根据题意由复数的定义结合复数代数形式的运算性质计算出结果即可。

3.【解析】【解答】由题得 的展开式的通项为

令5-r=2,那么r=3,所以 的系数为

故答案为：C

 
【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式，结合条件令5-r=2,那么r=3，代入到通项公式计算出结果即可。

4.【解析】【解答】由双曲线 可知， ， ，

由双曲线 可知 ，

所以焦距相等，实半轴长不相等，虚半轴长不相等，离心率不相等.

故答案为：A

 
【分析】根据题意由双曲线的简单性质即可求出a、b、c的值，对选项逐一判断即可得出答案。

5.【解析】【解答】解：函数 ，

要得到函数 的图象，

只需将函数 的图象向左平移 个单位．

故答案为：D．

 
【分析】首先整理函数的解析式，再由函数平移的性质即可答案。

6.【解析】【解答】解：由三视图复原原几何体如下列图：

该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，那么其体积为 ．

故答案为：C．

 
【分析】根据题意由三视图复原原几何体即可得出该几何体为直四棱柱，代入数值计算出结果即可。

7.【解析】【解答】当 时，直线为 ，过圆心 ，故直线与圆 相交，

当直线 与圆 相交时，圆心到直线的距离 ，化简得 ，显然恒成立，不能推出 ，

所以“ 〞是直线 与圆 相交的充分不必要条件，

故答案为：A

 
【分析】 根据题意，分析直线〔a+1〕x+〔a-1〕y+2a=0经过定点〔-1，-1〕，而点〔-1，-1〕在圆的内部，即可得对于任意的实数a，直线与圆相交，结合充分必要条件的定义分析可得答案．

8.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，所以 ，

所以 ， ， ，所以

故答案为：D

 
【分析】根据题意由条件结合等比数列的通项公式整理计算出公比的值，再由等比数列的性质结合等比数列的前n项和公式计算出答案即可。

9.【解析】【解答】方程 恰有两个互异的实数解，转化为 与 的图象有2个不同的交点，

作函数 与 的图象如下，

由图可知，当 时，方程 恰有两个互异的实数解.

故答案为：B

 
【分析】 根据题意分别作出y=f〔x〕和y=-x的图象，结合图象可得所求范围．

10.【解析】【解答】设正三角形的一条边长为a  ， “一次分形〞后变为长为 的折线，

“二次分形〞后折线长度为 ， “n次分形〞后折线长度为 ，

所以得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，只需满足 ，

两边同时取常用对数得： ，

即得： ，

解得 ，

故至少需要17次分形，

故答案为：C.

 
【分析】 根据分形的变化规律，得出一条长为a的线段n次分形后变为长为的折线，建立不等关系，利用对数求解即可．

二、填空题

11.【解析】【解答】因为函数 ，

所以 解得 ，

所以函数定义域为[0,1)，

故答案为：[0,1)

 
【分析】结合函数定义域的求法：真数大于零，被开方数大于等于零即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。

12.【解析】【解答】解：因为抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，故设抛物线方程为 ，又抛物线过点 ，所以 ，即 ，所以抛物线方程为

故答案为：

 
【分析】首先根据题意设出抛物线的方程，再把点的坐标代入到抛物线的方程计算出m的值，进而求出抛物线的方程。

13.【解析】【解答】解：因为 ， ，所以 解得 或 〔舍去〕

故答案为：2

 
【分析】根据题意由余弦定理代入数值计算出c的值即可。

14.【解析】【解答】因为函数 的一个零点为 ，

所以 ，即 ，

所以 时，满足条件， 是常数 的一个取值.

故答案为：

 
【分析】根据题意由零点的定义代入数值计算出即可。

15.【解析】【解答】建立如图坐标系，

根据题意， ， ，

故 ， ，故 ，

那么 ， ，

那么 ，

当 时， ， ，故当 时， 最小值为 ，当 时， 最大值为 ，即值域为 ，①错误；

时， ，②正确；

，对称轴为 ，

当 时，即 ，函数 在 上递减，故当 时， 取得最大值 ，当 时， 取得最小值 ；

当 时， ，根据抛物线对称性可知，当 时，函数 取得最大值 ，当 时， 取得最小值 .

综上可知， ，函数 的最大值都等于4，故③正确；

取 时， 取得最小值 ，故④正确.

故答案为：②③④.

 
【分析】 先利用垂直关系建立直角坐标系，根据长度求出点的坐标，再化简函数f〔x〕，利用二次函数的性质依次判断四个选项的正误即可．

三、解答题

16.【解析】【分析】(1)根据四棱柱的性质即可得出面面平行，再由面面平行的性质即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系，由向量法证明出线线垂直。
(3)根据题意由平面法向量的定义求出向量，再由法向量的夹角公式代入数值计算出结果即可。

17.【解析】【分析】 根据题意选①②③时，对于(1)主要利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的单调递增区间；
(2)利用函数的定义域求出函数的值域．

18.【解析】【分析】 (1)根据题意直接利用古典概率的概率公式计算即可得解；
(2)根据题意结合条件，求出X的可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，可得分布列；
(3)由条件结合， 即可求出Y的分布列和数学期望，即可得解．

19.【解析】【分析】 (1)首先求得f〔x〕的导数，再令f′〔1〕=e，解方程可得所求a的值；
(2)由题意可得f′〔x〕≤0在x∈〔0，+∞〕恒成立，由参数别离，结合导数求得最值，即可得到所求范围．

20.【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质代入点的坐标计算出a、b、c的值由此得到椭圆的方程。
(2)根据题意设出点的坐标， 即可得出点A的坐标，由此得出由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再把结果代入到两点间的距离公式整理计算出k的值即可。

21.【解析】【分析】 (1)根据题意首先根据新定义得到对应关系式，再结合等比数列求和公式求出公比即可；
(2)先根据新定义得到对应关系式，结合等差数列求和公式和性质得到ak+1=0，再利用等差数列性质求绝对值之和解得d，根据an=ak+1+[n-〔k+1〕]d，求出通项公式即可；
(3)先利用新定义计算数列中所有非负项之和与所有负数项之和，再求Sk的最大值和最小值，即可证明：成立．