河南省开封市通许县等3地2023届高三下学期信息押题卷（二）数学（理）试卷(含答案)

这是一份河南省开封市通许县等3地2023届高三下学期信息押题卷（二）数学（理）试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则集合中元素的个数为( )
A.30B.28C.26D.24
3．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念,A市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动,购买柳树,银杏,梧桐,樟树四种树苗共计600棵,比例如图所示.青年教师,中年教师,老年教师报名参加植树活动的人数之比为,若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配,则中年教师应分得梧桐的数量为( )
A.30棵B.50棵C.72棵D.80棵
4．《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解(图1),得到一模一样的两个堑堵(图2),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2),得一个四棱锥称为阳马(图3),一个三棱锥称为鳖臑(图4).若长方体的体积为V,由该长方体斜解所得到的堑堵,阳马和鳖臑的体积分别为,,,则下列等式错误的是( )
A.B.C.D.
5．黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率,中外比,即把一条线段分成长短不等a,b两段,使得长线段a与原线段的比等于短线段b与长线段a的比,即,其比值约为0.618339….小王酷爱数学,他选了其中的6,1,8,3,3,9这六个数字组成了手机开机密码,如果两个3不相邻,则小王可以设置的不同密码个数为( )
A.180B.210C.240D.360
6．已知函数,将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标变为原来的2倍,然后向上平移1个单位长度得到函数的图象,则( )
A.
B.在上单调递增
C.的图象关于点中心对称
D.在上的值域为
7．已知函数,则的图象大致是( )
A.B.C.D.
8．在平面直角坐标系中,不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为,若x,y满足上述约束条件,则z＝的最小值为( )
A.B.C.D.
9．已知中,,,,,,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
10．已知抛物线的焦点F关于直线的对称点为,O为坐标原点,点M,N在C上且满足(M,N均不与O重合),则面积的最小值为( )
A.4B.8C.16D.20
11．若关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
12．已知在中,,若(表示的面积)恒成立,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知函数是偶函数,则实数______.
14．已知,则______.
15．设双曲线的离心率为,实轴长为2,设直线l与双曲线C在y轴左,右两侧的交点分别是Q,P,若以线段PQ为直径的圆恰过坐标原点O,则的最小值为______.
16．在四面体ABCD中,,,,且,,异面直线AB,CD所成的角为,则该四面体外接球的表面积为______.
三、解答题
17．手工刺绣是中国非物质文化遗产之一,指以手工方式,用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术,大致分为绘制白描图和手工着色,电脑着色,选线,配线和裁布三个环节,简记为工序A,工序B,工序C.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为,,.现某单位推出一项手工刺绣体验活动,报名费30元,成功通过三道工序最终的奖励金额是200元,为了更好地激励参与者的兴趣,举办方推出了一项工序补救服务,可以在着手前付费聘请技术员,若某一道工序没有成功,可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序,每聘请一位技术员需另付费100元,制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.
（1）若小李聘请一位技术员,求他成功完成三道工序的概率;
（2）若小李聘请两位技术员,求他最终获得收益的期望值.
18．已知数列与的前n项和分别为和,且对任意,恒成立.
（1）若,,求;
（2）若对任意,都有及恒成立,求正整数的最小值.
19．已知正四棱台的体积为,其中.
（1）求侧棱与底面ABCD所成的角;
（2）在线段上是否存在一点P,使得?若存在请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.
20．已知椭圆的左,右焦点分别为,,长轴的长度为4,离心率为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设,过点P作两条直线,,直线与椭圆C交于A,B两点,直线与椭圆C交于D,E两点,AB的中点为M,DE的中点为;若直线与直线的斜率之积为,判断直线MN是否过定点.若过定点,求出此定点的坐标,若不过定点,请说明理由.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）若有两个零点,求a的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线,相交于A,B两点,曲线经过变换后得到曲线.
（1）求曲线的普通方程和线段AB的长度;
（2）设点是曲线上的一个动点,求的面积的最大值.
23．已知函数.
（1）求不等式的解;
（2）若对任意恒成立,求k的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：将整理化简可得,
所以复数z在复平面内对应的点坐标为,
由点位于第四象限可得,解得,
所以实数m的取值范围是.
故选:A
2．答案：B
解析：,,
因为,
当时,xy为偶数,共有个元素.
当时,xy为奇数,
此时,9,15,21,27,33,39,45,51,57,共有个元素.
当,时,xy为奇数,
此时,15,25,35,45,55,65,75,85,95,有重复数字15,45,去掉,共有8个元素.
综上中元素的个数为个.
故选:B
3．答案：C
解析：由题意,中年教师应分得树苗的数量为棵.
所以中年教师应分得梧桐的数量为棵.
故选:C
4．答案：B
解析：由题设,,,则,A对;
如下图,连接BD,将阳马一分为二,又,
所以,,则,故,
所以B错,C,D对.
故选:B
5．答案：C
解析：先把6,1,8,9排列,然后选两个空档插入3,总方法为.
故选:C.
6．答案：D
解析：由题意,平移后函数为:,故A不正确;
B中,,可知,
先增后减,即在上单调递增不正确,故B不正确;
C中,,
函数不关于对称,故C不正确;
D中,,则,
,,故D正确.
故选:D.
7．答案：C
解析：由,而恒成立,
对于,则,即在定义域上递增,
所以时,恒成立,
综上,上,排除A,B,D.
故选:C
8．答案：D
解析：作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由题意,知,解得.因为目标函数表示区域内上的点与点连线的斜率加上1,由图知当区域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小.设切线方程为,即,则有,解得或(舍),所以,
故选D.
9．答案：D
解析：由,结合向量加法法则知:A到BC的距离为2,
又,则,所以,故为等腰直角三角形,
由,则,所以P,B,C共线,
又,则,,若D,E为BC的两个四等分点,N为BC中点,如下图示,
所以P线段DE上运动,且,,,
由图:若,则,又,此时,
故上述情况,易知,
由图知:P与E重合时,,
综上,的取值范围为.
故选:D
10．答案：C
解析：在中,焦点为,
焦点F关于直线即的对称点为,
,解得,
抛物线的方程为,
显然直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为,且,
设,,
联立整理可得,
,即,且,,,
又因为,即,,
,
即直线MN的方程为,
直线MN恒过点,
,
当且仅当时,等号成立.
故选:C.
11．答案：A
解析：,,则,
原不等式化为,即,,
设,原不等式即为,
易知是R上的增函数,所以,
,
设,则,
时,,递减,时,,递增,
所以,
所以,,综上,.
故选:A.
12．答案：A
解析：记角所对的边分别为.因为,
所以由正弦定理可得..
,
令,则,
令,则,
故当时,,当时,,
故,故,
则实数的取值范围为.
故选:A
13．答案：2
解析：函数的定义域为,
又为偶函数,
则,,
解得,
经检验,,,符合题意.
故答案为:2.
14．答案：
解析：,所以,
则.
故答案为:
15．答案：
解析：由双曲线离心率为,实轴长为2可得,所以;
即可得双曲线方程为;
依题意如下图所示:
由Q,P在y轴左,右两侧,所以OQ,OP的斜率均存在,
可设OP的斜率为k,易知,所以可得OQ的斜率为;
直线OP的方程为,
联立直线OP和双曲线方程,消去y整理可得,易知;
所以,因此;
同理可得;
易知,
所以,
由基本不等式可得,
当且仅当时,即时,等号成立;
所以的最小值为.
故答案为:
16．答案：或
解析：依题意,将四面体ABCD放到长方体中,则D在长方体的后侧面所在的平面内,
因为异面直线AB,CD所成的角为,,
所以可得或,所以D应为图中或,如下图所示:
由对称性可知,当D点在轴负方向时,解法与或位置相同;
可设AC的中点为F,四面体ABCD外接球的球心为O,球的半径为R,
由题意可知,球心O在过点F且垂直于平面ABC的垂线上,且满足,
建立如上图所示的空间直角坐标系,因为,,,
设,又,,,
由,所以,或,
解得或,
所以或,
即可知四面体ABCD外接球的表面积为或.
故答案为:或
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”,
当技术员完成工序A时,小李成功完成三道工序的概率为:,
当技术员完成工序B时,小李成功完成三道工序的概率为:,
当技术员完成工序C时,小李成功完成三道工序的概率为:,
当技术员没参与补救时,小李成功完成三道工序的概率为:,
故小李成功完成三道工序的概率为;
（2）设小李最终收益为X,小李聘请两位技术员参与比赛,
有如下几种情况:
两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序,此时,;
两位技术员都参与补救并成功完成三道工序,此时,;
只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序,此时,;
技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序,此时,;
故.
18．答案：（1）;
（2）3
解析：（1）由题设,且,而,
显然也满足上式,故,
由,又,
所以是首项,公差均为2的等差数列.
综上,.
（2）由,,则,
所以,而,故,即是公比为3的等比数列.
所以,则,
,而,
所以,
所以对都成立,
所以,故,则正整数的最小值为3.
19．答案：（1）
（2）不存在,理由见解析
解析：（1）依题意,在正四棱台中,,
所以上底面积,下底面积,
设正四棱台的高为,则.
连接AC,,则,,
所以,
设侧棱与底面ABCD所成的角为,则,
由于线面角的取值范围是,所以.
（2）连接BD,,设正四棱台上下底面的中心分别为,O,
以为原点,OA,OB,分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
,,,
设线段上存在一点P,满足,
,,,
,
则,
,
若,则,
即,
解得,舍去,
所以在线段上不存在一点P,使得.
20．答案：（1）;
（2）l过定点,且定点坐标为.
解析：（1）由题意知,,
所以,所以,由可得,
所以椭圆C的方程为.
（2）由题意知的,斜率必存在,
设的斜率为,的斜率为,,
设的方程为,联立消元可得,
恒成立,由韦达定理;,
所以,
同理可得,,
:,即
l过定点,且定点坐标为
21．答案：（1）当时,在R上为减函数,时,在上递减,在上递增,
（2）
解析：（1）定义域为R,
由,
得,
当时,,所以在R上为减函数,
当时,令,则,得,
当时,,当时,,
所以在上递减,在上递增,
综上,当时,在上为减函数,时,在上递减,在上递增,
（2）由（1）可知,当时,在R上为减函数,则至多有一个零点,
所以,由（1）得在上递减,在上递增,
所以当时,取得最小值,
即
,
当时,,所以只有一个零点,不合题意,
当时,则,所以没有零点,不合题意,
当时,,即,
因为,
所以在上有一个零点,
取正整数,满足,则
,
因为,
所以在上有一个零点,
所以当时,有两个零点,
所以a的取值范围为
22．答案：（1）,;
（2）
解析：（1）由题设,为,
消去参数t得:为,
由圆心为,半径为2,则圆心到距离,
所以.
综上,的普通方程为,线段AB的长度为.
（2）由经过变换后得到曲线,
则,
所以的一般方程为,设,
所以到距离,,
所以,
的面积的最大值为.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,等价于,
该不等式恒成立,所以;
当时,等价于,
解得,此时不等式无解;
当时,等价于,解得,所以.
综上所述,不等式的解为.
（2）由,得,
当时,恒成立,所以;
当时,恒成立,
因为,
当且仅当时取等号,所以.综上所述,k的取值范围是.