广东省广州市天河区大观学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(原卷版+解析版)
展开1. 下列方程中,关于x的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 下列四个图形中,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 矩形的对角线长为5,边的长是方程的一个根,则该矩形的面积为( )
A. 6B. 12C. 6或12D. 8或12
4. 将二次函数的图象向上平移个单位,得到的图象对应的函数表达式是( )
A. B.
C. D.
5. 一元二次方程根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 根的情况无法确定
6. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点B的对应点E恰好落在边AC上,点A的对应点为D,延长DE交AB于点F,则下列结论一定正确的是( )
A. AE=ECB. AB=CDC. ∠B=∠DD. ∠AEF=∠B
7. 抛物线y=x2﹣2与y轴交点的坐标是( )
A. (0,2)B. (0,﹣2)C. (2,0)D. (﹣2,0)
8. 某地2018年为做好“精准扶贫”,投入资金1480万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2020年在2018年的基础上增加投入资金2000万元.若设从2018年到2020年该地投入异地安置资金的年平均增长率为,则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图,在同一坐标系中,二次函数与一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
10. 如图,在平面直角坐标系中,已知点,,,且点B在第一象限内,将绕点O顺时针旋转,每次旋转,则第2024次旋转后,点B的坐标是( )
A. B. C. D.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11. 在函数中,自变量x的取值范围 ____________.
12. 已知为一元二次方程两个实数根,那么________.
13. 已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的一个交点为(m,0),则代数式2m2﹣2m+2019的值为_____.
14. 若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于的方程的两个根,则的值为______.
15. 如图,C为线段AB中点,D为AB垂直平分线上一点,连接BD,将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,连接AE,若AB=2,AE=4,则CD的长为 ___.
16. 已知二次函数图象如图所示,下列结论:①;②;③;④点都在抛物线上,则有.其中正确的结论有__________(填写正确的序号)
三.解答题(共9小题,满分72分)
17. 解方程:
(1)3x2﹣7x﹣10=0;
(2)(x+1)(x+3)=15.
18. 如图,将绕点A逆时针旋转一个角度,得到,点B的对应点D恰好落在边上.且点A、B、E在同一条直线上.
(1)求证:平分;
(2)若,求旋转角的度数.
19. 如图,在平面直角坐标系中,A(0,1),B(2,0),C(1,2),D(3,3).
(1)作出△ABC绕点D旋转180°得到;
(2)作出点绕点顺时针旋转90°得到点E;
(3)在轴上存在点P,使得最大,直接写出点P的坐标
20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根,求的取值范围.
21. 某服装店在销售中发现,进货价每件60元,销售价每件100元的服装平均每天可售出20件,为了迎接“双十一”,服装店决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利.经调查发现:如果每件服装降价1元,那么平均每天就可多售出2件,请解答下列问题:
(1)降价前服装店每天销售该服装可获利多少元?
(2)如果服装店每天销售这种服装盈利1200元,同时又要使顾客得到更多的实惠,那么每件服装应降价多少元?
22. 已知抛物线L:y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=2,交y轴于(0,4a).
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)直线y=kx﹣2k+4(k≠0)与抛物线L相交A,B两点(A在B左侧),抛物线L的顶点记为点C;
①若点A的横坐标为1,△ABC的面积为10,求a的值;
②过点A作AE⊥x轴,垂足为E,延长AE交直线BC于F,求线段EF的长.
23. 阅读下面的材料:
老师出了一道家庭作业题,题目是:已知关于x方程的两根为,且,求正数m的值.
小玉解法如下:
解:∵,,又∵,∴,解得,.
问题:小玉的解法对吗?如果不对,她错在哪里?应如何改正?
24. 如图1,点E是正方形外的一点,以为边构造正方,点M是边上的动点,点N是的边上的动点.
(1)证明:;
(2)如图(1):当和分别是和的中线时,试猜想和的数量关系和位置关系,并说明理由.
类比猜想:
小亮解决完上述问题后,进行了积极的思考,他认为:在(2)问中,当分别是和的高(如图2),其他条件不变时,问题(2)的结论依然成立.请你说明小亮的观点是否正确,并说明理由.
感悟发现:
小惠认为:在问题(2)中,当时,问题(2)的结论依然成立.请你思考:
1)小惠的说法是否正确?答: .(填写“正确”或“不正确”,不需要证明)
2)思考上面的探究过程,当和还满足什么条件(其他条件不变)时,使得(2)中的结论依然成立?请直接写出满足的条件(写出一个即可,不要求证明).
25. 已知拋物线.
(1)若此拋物线与轴只有一个公共点且过点.
①求此抛物线的解析式;
②直线与该抛物线交于点和点.若,求的取值范围.
(2)若,将此抛物线向上平移个单位得到新抛物线,当时,;当时,.试比较与1的大小,并说明理由.
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