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广东省广州市天河区大华学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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A. B. C. D.
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 一个矩形的长和宽恰好是方程的两个根，则矩形的周长和面积分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A. x2﹣2x＋2＝0B. x（x﹣2）＝﹣1
C. （x﹣k）（x＋k）＝2x＋1D. x2＋1＝0
6. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（ ）
A. 45°B. 55°C. 60°D. 65°
7. 二次函数，当时，y的取值范围是什么（ ）
A. B. C. D.
8. 某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 函数的定义域是________．
12. 写出二次项系数为5，以x1=1，x2=2为根的一元二次方程________
13. 抛物线与x轴相交于点、，点A在点B左侧，若，则当时，y______0（填“”“”或“”号）
14. 已知等腰三角形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为8，则的周长________．
15. 如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 ___．
16. 已知抛物线函数关系为，则该抛物线的顶点坐标为______（用含a的代数式表示）；若该抛物线与线段有两个公共点，则a的取值范围为______．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 解方程
18. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，且于点，求的度数．
19. 如图，三个顶点的坐标分别为、．
（1）请画出与关于原点成中心对称的图形；
（2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于2，求a的取值范围．
21. 有一批商品，原售价为每件40元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一件单价为39元，买两件每件都为38元，依此类推，即每多买一件，则所买各台单价均再减1元；乙公司一律按原售价的七五折促销．某单位需购买这批商品：
（1）若此单位需购买5件商品，应去哪家公司购买花费较少？
（2）若该单位计划购买a件商品，经过对比发现，在两家公司购买相差24元，试求a的值．
22. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点．
（1）求和的值；
（2）若点，，是该抛物线上的点，请比较，与的大小，并说明理由．
23. 【阅读材料1】
为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，经过运算，原方程的解是，，，．
我们将上述解题的方法叫换元法．
【阅读材料2】
已知实数，满足，且，显然m，n是方程两个不相等实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
解方程，可设__________，原方程可化__________．
经过运算，原方程的解是__________．
（2）间接应用：
已知实数，满足，，且，求的值．
24. 正方形和等腰共顶点D，，将绕点D逆时针旋转一周．
（1）如图1，当点F与点C重合时，若，求长；
（2）如图2，M为中点，连接，探究的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）条件下，连接并延长交于点Q，若，在旋转过程中，的最小值为 ．
25. 如图，抛物线，经过点.
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上点且在第一象限，当时，求N点的坐标；
（3）我们通常用表示整数的最大公约数，例如. 若，则称a、b互素，关于最大公约数有几个简单的性质：①，其中k为任意整数；②； 若点满足：a，b均为正整数，且，则称Q点为“互素正整点”，当时，该抛物线上有多少个“互素正整点”？
A. B. C. D.
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 一个矩形的长和宽恰好是方程的两个根，则矩形的周长和面积分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A. x2﹣2x＋2＝0B. x（x﹣2）＝﹣1
C. （x﹣k）（x＋k）＝2x＋1D. x2＋1＝0
6. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（ ）
A. 45°B. 55°C. 60°D. 65°
7. 二次函数，当时，y的取值范围是什么（ ）
A. B. C. D.
8. 某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 函数的定义域是________．
12. 写出二次项系数为5，以x1=1，x2=2为根的一元二次方程________
13. 抛物线与x轴相交于点、，点A在点B左侧，若，则当时，y______0（填“”“”或“”号）
14. 已知等腰三角形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为8，则的周长________．
15. 如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 ___．
16. 已知抛物线函数关系为，则该抛物线的顶点坐标为______（用含a的代数式表示）；若该抛物线与线段有两个公共点，则a的取值范围为______．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 解方程
18. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，且于点，求的度数．
19. 如图，三个顶点的坐标分别为、．
（1）请画出与关于原点成中心对称的图形；
（2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于2，求a的取值范围．
21. 有一批商品，原售价为每件40元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一件单价为39元，买两件每件都为38元，依此类推，即每多买一件，则所买各台单价均再减1元；乙公司一律按原售价的七五折促销．某单位需购买这批商品：
（1）若此单位需购买5件商品，应去哪家公司购买花费较少？
（2）若该单位计划购买a件商品，经过对比发现，在两家公司购买相差24元，试求a的值．
22. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点．
（1）求和的值；
（2）若点，，是该抛物线上的点，请比较，与的大小，并说明理由．
23. 【阅读材料1】
为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，经过运算，原方程的解是，，，．
我们将上述解题的方法叫换元法．
【阅读材料2】
已知实数，满足，且，显然m，n是方程两个不相等实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
解方程，可设__________，原方程可化__________．
经过运算，原方程的解是__________．
（2）间接应用：
已知实数，满足，，且，求的值．
24. 正方形和等腰共顶点D，，将绕点D逆时针旋转一周．
（1）如图1，当点F与点C重合时，若，求长；
（2）如图2，M为中点，连接，探究的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）条件下，连接并延长交于点Q，若，在旋转过程中，的最小值为 ．
25. 如图，抛物线，经过点.
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上点且在第一象限，当时，求N点的坐标；
（3）我们通常用表示整数的最大公约数，例如. 若，则称a、b互素，关于最大公约数有几个简单的性质：①，其中k为任意整数；②； 若点满足：a，b均为正整数，且，则称Q点为“互素正整点”，当时，该抛物线上有多少个“互素正整点”？
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