湖南省株洲市第一中学2021届高三第三次模拟检测数学试题

这是一份湖南省株洲市第一中学2021届高三第三次模拟检测数学试题，共11页。


注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.考生必须把所有的答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
3.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案选项框涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案选项框，不要填涂和勾划无关选项。其他试题用黑色碳素笔作答，答案不要超出给定的答题框。
一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意)
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知单位向量，满足，若向量，则（ ）
A．B．C．D．
5．某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班，现将个参赛名额分配给这个班，每班至少个参赛名额，则不同的分配方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
6．设，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数，的部分图象如图所示，且，现将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的值域是（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题(本大题共 4 小题，每题5分，共 20 分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知数列是等差数列，都是正整数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．不可能是等比数列
C．不是等差数列D．若，则
10．医用口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率（ ）
，（，，）
A．
B．
C．
D．假设生产状态正常，记表示抽取的100只口罩中过滤率大于的数量，则
11．已知抛物线：的准线经过点，过的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最小值为16
C．四边形的面积的最小值为64D．若直线的斜率为2，则
12．若实数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．若，，且，，则的值是 .
14．已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ．
15．已知 e1,e2 是单位向量， AB=2e1+e2 ， BC=−e1+3e2 ， CD=λe1−e2 ，若 A,B,D 三点共线，则实数 λ= ________.
16．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设点，分别为，的内心，则的取值范围是________．
四、解答题(本大题共6 小题，共 70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知数列的前n项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
18．已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．
19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，的中点为.
（1）求证：平面.
（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.
①四棱锥的体积为，②与平面所成的角为，
③.若___________，求二面角的余弦值.
20．甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.
(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即.
(i)求的取值范围；
(ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.
21．已知，，E，F分别为的外心和重心，且.
（1）求点C的轨迹Γ的方程；
（2）设M､N､P为轨迹Γ上的三个点，以为直径的圆过原点O，点D在线段上，且，求的最大值.
22．已知函数.
(1)若关于的不等式恒成立，求实数的值；
(2)设函数，在（1）的条件下，证明：存在唯一的极小值点，且.
参考答案
1-8 AACBBDDD 9-12 AD ACD ABD AC
13． 14． 15．5 16．
17．（1）∵，则有：
当时，，解得；
当时，则，
两式相减得，即；
注意到，故，
∴是首项为3，公比为3的等比数列，
故.
（2）由（1）得，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时；
综上所述：.
18．（1）在中，由及二倍角公式，得，
即，整理得，
因此，即，而，
所以.
（2）由（1）及已知，得，即有，
由余弦定理得，即，
因此，即，
于是，当且仅当时取等号，而，
所以面积的最小值为.
19．（1）连结交于，连结，
在菱形中，为的中点，
又因的中点为，
所以，
因为平面，
所以平面；
（2）选①，设，
，
所以，即，
如图，以边上的中线为轴，为轴，为轴，建系，
则，，，
，，，
因为平面，
所以即为平面的法向量，
设为平面的法向量，
则，
令，则，所以，
所以，
所以二面角的余弦值.
选②，取的中点，连结，，
因为的中点为，
所以，，
因为平面，
所以平面，
所以即为与平面所成的角的平面角，
即，所以，
由，得
下面步骤同①；
选③，
因为，所以，即，
下面步骤同①.
20．（1），即采用3局2胜制，所有可能取值为，
，
的分布列如下表：
所以的数学期望为.
（2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：
，
采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：
，
，
得.
（ii）由（i）知.
局比赛中恰好甲赢了局的概率为，
局比赛中恰好甲赢了局的概率为，
则局比赛中甲至少赢局的概率为.
考虑局比赛的前局：
如果这局比赛甲至少赢局，则无论后面结果如何都胜利，其概率为，
如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场至少赢一局，其概率为，
如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场都赢，其概率为，
因此局里甲最终获胜的概率为：，
因此，即数列单调递增.
该结论的实际意义是：比赛局数越多，对实力较强者越有利.
21．
解：（1）设，则的重心，
因为，则，
又因为E为的外心，所以，
所以，
化简得，
所以点C的轨迹Γ的方程为；
（2）设，若，则为等腰直角三角形，
由对称性不妨设，代入椭圆方程，得；
若，同理可得；
若，设直线的方程为，其中，，
设，，
由，得，
依题意得，，，
因为，所以，
所以，
所以，化简得，
所以，化简得，
因为，所以，所以
综上，D的轨迹方程是.
设点，则，所以，
因为，所以，所以，
所以当P为，D为或P为，D为
取到最大值．
22．(1)
解：因为的定义域为，且，.
由题意可知，，，则.
当时，，，则函数在上单调递增，
故当时，，不合乎题意；
当时，由，可得.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
故，解得.
(2)
解：由（1）可知，，则，
所以，，
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以在上有唯一零点，在上有唯一零点，
且当时，；当时，；
当时，.
因为，所以时的唯一极小值点,
由得，故，
由得，，
因为当时，在取得最小值，
由，得，所以.
2
3