湖南省株洲市第一中学2021届高三第一次模拟检测数学试题

这是一份湖南省株洲市第一中学2021届高三第一次模拟检测数学试题，共10页。


注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.考生必须把所有的答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
3.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案选项框涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案选项框，不要填涂和勾划无关选项。其他试题用黑色碳素笔作答，答案不要超出给定的答题框。
一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意)
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则复数z的虚部为
A．B．C．D．
3．等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．设，则（ ）
A． B． C．1D．2
5．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的
A．倍B．倍C．倍D．倍
6．已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
7．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形中，， 将沿进行翻折， 使得． 按张衡的结论， 三棱锥外接球的表面积约为（ ）
A．72B．C．D．
8．已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题(本大题共 4 小题，每题5分，共 20 分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．一批产品中有3个正品，2个次品.现从中任意取出2件产品，记事件A：“2个产品中至少有一个正品”，事件：“2个产品中至少有一个次品”，事件：“2个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件A与事件为互斥事件B．事件与事件是相互独立事件
C．D．
10．函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．在上有两个极值点
11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（ ）
A．的最小值为2
B．以为直径的圆与直线相切
C．
D．
12．已知函数f(x)=xln()，则以下结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．在区间(0，+∞)上单调递增
C．曲线在(0，f(0))处的切线的斜率为ln2
D．函数有三个零点
三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．的值为 .
14．平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点．若且，，则 ．
15．已知三点都在以为直径的球的表面上，，，，若球的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为_________．
16．若曲线上的点P与曲线上的点Q关于坐标原点对称，则称P，Q是，上的一组奇点.若曲线（且）与曲线有且仅有一组奇点，则的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6 小题，共 70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
18．已知数列满足 ，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，，平面.
(1)证明：；
(2)若是棱上一动点（含端点），平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.
20．某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的（否则终止比赛），才能进行第二步技能操作：从类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.类题操作正确得10分，类题操作正确得20分.以两步总分和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明类7题中有5题会操作，类5题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响.
(1)求李明被终止比赛的概率；
(2)现已知李明类题全部操作正确，求李明类题操作完后得分的分布列及期望；
(3)求李明获二等奖的概率.
21．已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点A是椭圆的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在有两个极值点，求证：.
参考答案
选择题1-8 AADDBCBC
多选题9-12 CD\AC\BC\ABC
填空题
13．
14．
15．
16．
解答题
17．（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，
所以
.
因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，，
所以，，
所以的取值范围为.
18．
（Ⅰ）∵
∴，
两式相减得，
∴．
又当时，满足上式，
∴．
∴数列的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴
∴

．
19．（1）在四棱台中, 延长后必交于一点，故共面，
因为平面,平面,
故,
连接，因为底面四边形为菱形，故,
平面,
故平面,因为平面,
所以；
（2）过点A作的垂线作为x轴，交与N点，以分别为y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,
设，则，
由于，故,
则,
设，
则， ，
记平面的法向量为,则,
即，令，则，即，
平面的法向量可取为，
由于平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
则，
解得 ，
当M与N点重合时，平面垂直于平面，
由于平面与平面所成角为锐二面角，故，
所以,故.
20．（1）解：设“李明被终止比赛”事件为表示选的4题均会操作或3题会操作，
故李明被终止比赛的概率.
（2）解：设李明在竞赛中，类题全部操作正确后得分为，
则的取值为，且类题正确操作题数，
可得；；
；
所求的分布列
.
（3）解：设李明获二等奖的事件为，事件即类题全部操作正确，类题正确操作2题
或类题操作正确3题，类题全部正确操作，
所以李明获二等奖的概率为.
21．（1）依题意，的周长为，
解得.
设椭圆的半焦距为，
因为椭圆的离心率为，
所以，即，解得.
因为，
所以.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，，.易知直线的方程为.
由消去得，
.
设，，则，.
所以，.
所以.
.
所以.
所以，为定值.
22．（1）的定义域为R，
，，对于，则，
当时，，在上单调递增，
当时，由得，
当和时，，
当时，，
在单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；.
（2）结合以上分析可得
，
令，，
由于，则，则，
则
在上为减函数，则得证..
40
60
80
100