2023-2024学年云南省保山市腾冲八中高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省保山市腾冲八中高二（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.方程y= 9−x2表示的曲线是( )
A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆
2.已知函数f(x)=ax3+3x2+2，若f′(−1)=4，则a的值是( )
A. 193B. 133C. 103D. 163
3.已知函数f(x)=sinx，则Δx→0lim f(π3+Δx)−f(π3)Δx=( )
A. 12B. 32C. − 32D. −12
4.已知等差数列{an}满足a1=1，a5=9，若数列{1anan+1}的前n项和为Tn，则Tn=( )
A. n2n+1B. 2n2n+1C. 1n2D. 2n−12n+1
5.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且SnTn=7n−13n，则a5b5=( )
A. 3415B. 2310C. 317D. 6227
6.已知函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1，其导函数记为f′(x)，则f′(2024)−f′(−2024)=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
7.已知F1、F2为双曲线C：x23−y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为( )
A. 3B. 33C. 32D. 2 3
8.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A. 0B. 0C. 0D. 0二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间向量的命题中，不正确的是( )
A. 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B. 平行且模相等的两个向量是相等向量
C. 若a≠b，则|a|≠|b|
D. 两个向量相等，则它们的起点与终点相同
10.下列说法中错误的是( )
A. 已知F1(−4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B. 已知F1(−4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到点F1(−4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 平面内到点F1(−4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
11.等差数列{an}中，Sn为其前n项和，a1=15，S5=S11，则以下正确的是( )
A. d=−1B. |a4|=|a13|
C. Sn的最大值为S8D. 使得Sn>0的最大整数n=15
12.过点(2,0)作曲线f(x)=x3的切线l，则直线l的方程可能为( )
A. y=0B. x=0
C. 12x−y−24=0D. 27x−y−54=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a，b是空间两个向量，若|a|=2，|b|=2，|a−b|= 7，则cs=______．
14.若A(0,2,198)，B(1,−1,58)，C(−2,1,58)是平面α内的三点，设平面α的法向量a=(x,y,z)，则x：y：z=______．
15.在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线y2=6x的焦点，A，B是抛物线上两个不同的点，若|AF|+|BF|=5，则线段AB的中点到y轴的距离为______．
16.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知正三棱柱ABC−A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(Ⅰ)求正三棱柱的侧棱长；
(Ⅱ)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，求曲线y=f(x)在点(1,−3)处的切线方程．
19.(本小题12分)
已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=an3n的前n项和为Tn，求Tn．
20.(本小题12分)
如图，在三棱台DEF−ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD/​/平面FGH；
(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小．
21.(本小题12分)
在①对任意n>1，满足Sn+1+Sn−1=2(Sn+1)，②Sn+1−2=Sn+an，③Sn=nan+1−n(n+1)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
问题：已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，______，若数列{an}是等差数列，求数列{an}的通项公式；若数列{an}不一定是等差数列，说明理由．
22.(本小题12分)
设函数f(x)=ax−bx(x≠0)，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x−4y−12=0．
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y=f(x)上任意一点处的切线与y轴和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：方程y= 9−x2可化为x2+y2=9(y≥0)，
所以方程y= 9−x2表示圆x2+y2=9位于x轴上方的部分，是半个圆，
故选：D．
方程y= 9−x2可化为x2+y2=9(y≥0)，即可得出结论．
本题考查曲线与方程，考查学生的理解能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由f(x)=ax3+3x2+2，得f′(x)=3ax2+6x．
所以f′(−1)=3a−6=4，解得a=103．
故选C．
求出原函数的导函数，由f′(−1)=4列式可求a的值．
本题考查了导数的加法法则，考查了基本初等函数的导数公式，是基础的运算题．
3.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=sinx，所以f′(x)=csx，
所以Δx→0lim f(π3+Δx)−f(π3)Δx=f′(π3)=csπ3=12．
故选：A．
根据导数的定义可得．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1=1，a5=9，
∴a5=a1+4d=1+4d=9，解得d=2，
则an=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1，
∴1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
则Tn=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1，
故选：A．
先求出等差数列{an}的通项公式，利用裂项相消法求和，即可得出答案．
本题考查等差数列的通项公式和裂项相消法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且SnTn=7n−13n，
则a5b5=2a52b5=a1+a9b1+b9=9(a1+a9)29(b1+b9)2=S9T9=7×9−13×9=6227，
故选：D．
由题意利用等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，得出结论．
本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=x2+1+2x+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1定义域为R，
令g(x)=2x+sinxx2+1，则g(x)的定义域为R，f′(x)=g′(x)，
又g(−x)=2(−x)+sin(−x)(−x)2+1=−2x+sinxx2+1=−g(x)，故g(x)是奇函数，
所以g(x)+g(−x)=0，故g′(x)−g′(−x)=0，
所以f′(2024)−f′(−2024)=g′(2024)−g′(−2024)=0．
故选：B．
根据给定条件，变形函数f(x)并求出f′(x)，再探讨导函数的奇偶性作答．
本题主要考查导数的运算，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：双曲线C：x23−y2=1，可得a= 3，b=1，
则c=2，
设|PF1|=m，|PF2|=n，
由双曲线的定义可得：|m−n|=2a=2 3，则有m2+n2−2mn=12，①
又由∠F1PF2=60°，则有m2+n2−2mncs60°=4c2=16，②
联立①②解可得mn=4，
则△PF1F2的面积S=12mnsin60°= 3；
故选：A．
根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值，计算可得c的值，设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义分析可得m2+n2−2mn=12，由余弦定理可得m2+n2−2mncs60°=4c2=16，联立①②解可得mn的值，由三角形面积公式计算可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，涉及余弦定理的应用，关键是求出|PF1|⋅|PF2|的值．
8.【答案】B
【解析】解：如下图：
f′(3)、f(3)−f(2)、f′(2)分别表示了直线n，m，l的斜率，
故0故选B．
由题意，作出f′(3)、f(3)−f(2)、f′(2)所表示的几何意义，从而求解．
本题考查了学生的作图能力及对导数的几何意义的理解，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：由相等向量的定义，长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，A正确；
对于B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错误；
对于C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错误；
对于D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错误．
故选：BCD．
根据题意，利用向量、相等向量的定义依次分析选项，综合可得答案．
本题考查向量的定义，涉及相等向量的定义，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为|F1F2|=8，
所以平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A错误；
对于B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，故B错误；
对于C，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为：
|MF1|+MF2|= (5+4)2+3+ (5−4)2+32=4 10>|F1F2|=8，
所以动点的轨迹是椭圆，故C正确；
对于D，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，故D错误．
故选：ABD．
根据已知条件，结合椭圆的定义，即可求解．
本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的基本量的计算及性质，属于中档题．
先由题设求出等差数列{an}的公差d，再逐项判断其正误即可．
【解答】
解：∵S5=S11，
∴a6+a7+…+a11=3(a6+a11)=3(a1+a16)=0，
∴a1+a16=0，
∵a1=15，∴a16=−15，
∴数列{an}的公差d=a16−a116−1=−2，
∴an=15−2(n−1)=17−2n，
Sn=15n−2×n(n−1)2=−n2+16n=−(n−8)2+64，
∴|a4|=|a13|=9，Sn的最大值为S8，使得Sn>0的最大整数n=15，
故B、C、D正确，
故选：BCD．
12.【答案】AD
【解析】解：(2,0)不在函数的图象上，所以不是切点，f′(x)=3x2，
设切点P(a,a3)，k=3a2=a3−0a−2，解得a=3，a=0，
切线的斜率为：27或0，
∴y=27(x−2)，即27x−y−54=0.k=0时，切线方程为y=0．
故选：AD．
判断(2,0)不是切点，设出切线方程的切点坐标，把设出的切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线方程的斜率，根据设出的切点坐标和表示出的斜率写出切线方程，把原点代入切线方程中化简可求出切点的横坐标，把横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，且得到切线的斜率，根据斜率和切点坐标写出切线的方程即可．
本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
13.【答案】18
【解析】解：将式子|a−b|= 7平方可得a2−2a⋅b+b2=7，
故可得a2−2|a|⋅|b|cs+b2=7，
代入数据可得cs=a2+b2−72|a||b|=22+22−72×2×2=18
故答案为：18
将式子|a−b|= 7平方可得a2−2a⋅b+b2=7，由数量积的定义，代入数据化简可得．
本题考查向量的夹角公式，涉及向量的数量积的运算，属中档题．
14.【答案】2：3：(−4)
【解析】【分析】
求出 AB、AC 的坐标，由α⋅AB=0，及α⋅AC=0，用y表示出x和z的值，即得法向量的坐标之比．本题考查平面的法向量的性质以及两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．
【解答】
解：AB=(1,−3,−74),AC=(−2,−1,−74),α⋅AB=0,α⋅AC=0，
∴z=−43yx=23y,x：y：z=23y：y：(−43y)=2：3：(−4)．
故答案为2：3：−4．
15.【答案】1
【解析】解：抛物线的准线方程为x=−32，
分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为M，N，则|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=5，
设AB的中点为D，过D作准线的垂线交y轴于P，交准线于E，则DE=|AM|+|BN|2=52，|EP|=32，
∴|DP|=|DE|−|PE|=1．
故答案为：1．
分别过A，B向准线作垂线，利用梯形的中位线性质计算距离．
本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
16.【答案】12
【解析】解：根据题意，设数列{an}共有2m+1项，
由题意得S奇=a1+a3+⋯+a2m+1=8532，S偶=a2+a4+⋯+a2m=2116，
则S奇=a1+a2q+⋯+a2mq=2+q(a2+a4+⋯+a2m)=2+2116q=8532，
解得q=12．
故答案为：12
根据题意，设数列{an}共有2m+1项，根据等比数列的性质得出奇偶项的和之间的关系，即可求得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的前n项和，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)设正三棱柱的侧棱长为h，
由题意得 A(0,−1,0)，B( 3,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,−1,h)，B1( 3,0,h)，C1(0,1,h)．
AB1=( 3,1,h),BC1=(− 3,1,h)，
AB1⋅BC1=−3+1+h2=0所以h= 2 ．
(Ⅱ)AB1⋅BC=−3+1=−2，|AB1|= 6，|BC|=2，
，cs=−22 6=− 66 ．
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为 66．
【解析】本题考查了正三棱柱的性质，及异面直线所成角计算，属于基础题．
(Ⅰ)依据空间直角坐标系，设出坐标，利用AB1⋅BC1=0求正三棱柱的侧棱长．
(Ⅱ)利用向量法求出cs，即可得到异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
18.【答案】解：令x>0，则−x<0，所以f(−x)=lnx−3x，
因为f(x)为偶函数，所以x>0时，f(x)=f(−x)=lnx−3x，则点(1,−3)在函数图象上，f′(x)=1x−3，
所以k=f′(1)=1−3=−2，所以切线方程为：y+3=−2(x−1)，即y=−2x−1．
【解析】利用偶函数性质可以求出x>0时求出f(x)=lnx−3x，判断出(1,−3)在函数图象上，求出斜率即可．
本题考查用导数求曲线上某点的切线，涉及函数的奇偶性等，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由S3=12，得a1+a2+a3=12，
即3a2=12，∴a2=4．
又∵2a1，a2，a3+1成等比数列，
∴a22=2a1⋅(a3+1)，即a22=2(a2−d)⋅(a2+d+1)，
解得，d=3或d=−4(舍去)，
∴a1=a2−d=1，故an=3n−2；
(2)bn=an3n=3n−23n，
∴Tn=1×13+4×132+7×133+…+(3n−2)×13n，①
则13Tn=1×132+4×133+7×134+…+(3n−5)×13n+(3n−2)×13n+1，②
①−②得23Tn=13+3(132+133+134+…+13n)−(3n−2)×13n+1
=13+3×19(1−13n−1)1−13−(3n−2)×13n+1，
∴Tn=54−6n+54×3n．
【解析】(1)利用等差数列的性质以及S3=12求出a2=4；再由2a1，a2，a3+1成等比数列求出公差即可求{an}的通项公式；
(2)把(1)的结论代入bn=an3n，再利用错位相减法求Tn．
本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．
20.【答案】解：(1)证明：根据已知条件，DF/​/AC，EF/​/BC，DE/​/AB，
△DEF∽△ABC，又AB=2DE，
所以BC=2EF=2BH，
所以四边形EFHB为平行四边形，
所以BE//HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH，
所以BE//平面FGH，
同样，因为GH为△ABC中位线，
所以GH/​/AB，
所以DE/​/AB，
所以DE//GH，
所以DE/​/平面FGH，DE∩BE=E，
所以平面BDE/​/平面FGH，BD⊂平面BDE，
所以BD/​/平面FGH．
(2)连接HE，则HE//CF，
因为CF⊥平面ABC，
所以HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC，
所以HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三条直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：

设HC=1，则H(0,0,0)，G(0,1,0)，F(1,0,1)，B(−1,0,0)，
连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点，
所以BG⊥AC，
又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，
所以BG⊥CF，AC∩CF=C，
所以BG⊥平面ACFD，
所以BG=(1,1,0)为平面ACFD的法向量，
设平面FGH的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅HF=x+z=0n⋅HG=y=0，取z=1，则n=(−1,0,1)，
设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，
则csθ=|cs|=1 2⋅ 2=12，
所以平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．
【解析】(1)根据已知条件，DF/​/AC，EF/​/BC，DE/​/AB，△DEF∽△ABC，又AB=2DE，推出四边形EFHB为平行四边形，由线面平行的判定定理可得BE//平面FGH，DE/​/平面FGH，由面面平行的性质定理可得平面BDE/​/平面FGH，BD⊂平面BDE，进而可得答案．
(2)连接HE，则HE//CF，推出CF⊥平面ABC，HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC，以HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三条直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设HC=1，则H(0,0,0)，G(0,1,0)，F(1,0,1)，B(−1,0,0)，
连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点，推出BG⊥平面ACFD，设平面FGH的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅HF=x+z=0n⋅HG=y=0，解得n=(−1,0,1)，设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，即csθ=|cs|，即可得出答案．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：若选择条件①：
因为对任意n>1，n∈N*，满足Sn+1+Sn−1=2(Sn+1)，
所以Sn+1−Sn=Sn−Sn−1+2，
所以an+1−an=2，
因为无法确定a1的值，
所以a2−a1不一定等于2，
所以数列{an}不一定是等差数列，
若选择条件②：
由Sn+1−2=Sn+an，
则Sn+1−Sn−an=2，即an+1−an=2，n∈N*，
又因为a2=4，所以a1=2，
所以数列{an}是等差数列，公差为2，
因此数列{an}的通项公式为an=2n，
若选择条件③：
因为Sn=nan+1−n(n+1)
所以Sn−1=(n−1)an−(n−1)n，(n≥2,n∈N*)，
两式相减得，an=nan+1−(n−1)an−2n，(n≥2)，
即an+1−an=2(n≥2)，
又S1=a2−2，即a2−a1=2，
所以an+1−an=2，n∈N*，
又a2=4，a2−a1=2，所以a1=2，
所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以an=2+2(n−1)=2n．
【解析】分别选择①②③，根据等差数列的定义判断是否能构成等差数列，进而得出通项公式．
本题考查了充要条件的判定方法、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)方程7x−4y−12=0可化为y=74x−3，当x=2时，y=12，
又f′(x)=a+bx2，于是2a−b2=12a+b4=74，解得a=1b=3，故f(x)=x−3x；
(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点，由y′=1+3x2知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y−y0=(1+3x02)(x−x0)，即y−(x0−3x0)=(1+3x02)(x−x0)，
令x=0，得y=−6x0，从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,−6x0)；
令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0)；
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为12|−6x0||2x0|=6，
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
【解析】(1)已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点(2,f(2))在曲线上，利用方程联立解出a，b；
(2)可以设P(x0,y0)为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．
本题考查导数的几何意义，切线方程的求法和应用，属于中档题．