2023-2024学年福建省厦门市湖里区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦门市湖里区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算m⋅m2的正确结果是( )
A. mB. m2C. m3D. 2m2
2.使分式xx−1有意义，则x满足条件( )
A. x>0B. x≠0C. x>1D. x≠1
3.如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是( )
A. ∠ACD
B. ∠AEB
C. ∠AEF
D. ∠CEF
4.点A(5,2)关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (5,−2)B. (−5,−2)C. (−5,2)D. (2,−5)
5.周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 三角形具有稳定性
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6.如图是一个4×4的正方形网格.根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与△ABC全等的是( )
A. △ABD
B. △ABE
C. △ABF
D. △ABG
7.下列各式从左向右变形正确的是( )
A. a+2b+2=abB. a−ba2−b2=1a+bC. a+2a=2D. 3b−13c−1=b−1c−1
8.《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为( )
A. 900x+1×2=900x−3B. 900x+1=900x−3×2
C. 900x−1×2=900x+3D. 900x+1=900x+3×2
9.如图，已知∠MAN=60°，点B，D在边AN上，且点D在点B的右侧，AB=2，点C是边AM上一动点，在点C运动的过程中，始终保持CB=CD，若AC=m，则AD的长为( )
A. 12m+1
B. 12m+2
C. 12m−1
D. m−2
10.四个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，形成两个正方形，大正方形的面积为60cm2，空白区域所示的小正方形面积为48cm2.将图1中的直角三角形分别沿着斜边往里翻折，形成如图2所示的更小正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b(a>b)，则代数式(a−b)的值为( )
A. 4B. 6C. 12D. 18
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：
(1)2a6÷a3= ______；
(2)(x2)3= ______．
12.正六边形一个外角是______度．
13.计算：(x+2)(x−2)= ______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的角平分线，如果AB=10，△ADB的面积是15，则CD的长为______．
15.已知a=312+592+118，b=692−1，则a−b= ______．
16.如图，AD是等边△ABC的高，点M是线段AD上一点，连接BM，以BM为边向右下方作等边△BMN，当BN+DN的值最小时，∠BMD的大小为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
计算：
(1)3xy⋅2y+x(2x−y2)；
(2)(2a+b)(a2−b)．
18.(本小题7分)
如图，点A，B，D在一条直线上，B为AD中点，BE/​/AC，BE=AC.求证：BC=DE．
19.(本小题7分)
先化简，再求值：(1−1x−2)÷x2−6x+9x−2，其中x=4．
20.(本小题8分)
劳动课上，甲、乙两小组制作纸玫瑰花，已知甲组每分钟比乙组多制作2朵，甲组制作15朵所用的时间与乙组制作10朵所用的时间相等，求甲、乙两组每分钟各制作玫瑰花多少朵？
21.(本小题8分)
如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在AB，AC上，AD=CE，CD与BE相交于点F．
(1)求证：∠ACD=∠CBE；
(2)在线段CD的延长线上求作一点P，使得∠BPC=60°.(要求：尺规作图，保留作图痕迹)
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，A(m,0)，B(0,m)，其中m>0．
(1)若点C(4,3)在第一象限，AB⊥AC，求m的值；
(2)点D为x轴正半轴上一个动点，OD=t，点E的坐标为(n,t)，n>t>m，若BD=ED，则在点D运动的过程中，∠EAD的大小是否发生变化？若不变，请求出∠EAD的度数；若变化，请说明∠EAD的大小变化过程．
23.(本小题10分)
有五组整式①x2+x，x2+2，x−2；②12x2+x−5，12x2+x−8，3；③2x2+4x−3，2x2+1，4x−4；④3x2+x+7，3x2−4x+6，5x+1；⑤x2−52x+1，x2−12x−2，−2x+3.这五组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的一个整式组称为“平移整式组”．
(1)若某个“平移整式组”中的第一个整式为4x2+3x−2，第二个整式为ax2+2(a≠0)．
①直接写出a的值：______；
②请求出该“平移整式组”中的第三个整式；
(2)若a(x−5)2+b(a≠0)，2x2−8x+8+c，(−2m−2)x+2(m−5)2−8(m为常数)是一个“平移整式组”，求b−c的值．
24.(本小题11分)
某学校有甲、乙2个社团，甲有p1人，乙有p2人，学校拟从他们中选择部分学生代表参加某活动.若希望公平合理地分配代表名额，最常用的方法是等比例分配法：甲社团分得n1个代表名额，乙社团分得n2个代表名额，计算社团人数与代表名额的比例，满足p1n1=p2n2，即为实现公平．
(1)若甲有140人，乙有100人，共有36个代表名额，依据等比例分配法，是否能进行公平的分配？若能，请分别求出甲、乙的代表名额；若不能，请说明理由．
(2)现实中，常常出现名额无法正好按等比例公平分配，这时可以先引入“不公平度”来进行
衡量.例如：若p1n1>p2n2，则会认为对甲不公平，我们可以用“a=p1n1−p2n2”表示对“甲的不公平度”；若p1n1p2m2+1，此时对甲不公平，记“对甲的不
公平度”为a=p1m1−p2m2+1；
方案二：将这个名额分给甲，若有p1m1+1b，则将该名额分配给甲；若ap2(2m2+1)m2(m2+1)，请判断这个名额应该分配给哪个社团？
25.(本小题13分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，点D是BC的中点，直线l经过点A且在AC右侧，点C关于直线l的对称点为点E，∠BAE0．
∴OA=OM=m，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵AB⊥AC，
∴∠CAH=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH，
∵点C(4,3)，
∴OH=4，CH=3，
∴AH=4−m，
∴4−m=3，
解得：m=1；
(2)∵点D为x轴正半轴上一个动点，OD=t，点E(n,t)，n>t>m，
∴点D(t,0)，且点D在点A的右侧，点E在第一象限，
过点E作EM⊥x轴于M，如图2所示：

∵OA=OM=m，OD=t，
∴AD=OD−OA=t−m，
∵点E(n,t)，
∴EM=t，
∴OD=EM，
在Rt△ODB和△MED中，
OD=EMBD=ED，
∴Rt△ODB≌△MED(HL)，
∴OB=MD=m，
∴AM=AD+MD=t−m+m=t，
∴AM=EM=t，
∴△AME为等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°．
∴在点D运动的过程中，∠EAD的大小不发生变化，始终是45°．
【解析】(1)过点C作CH⊥x轴于H，依题意得△OAB为等腰直角三角形，则∠OAB=45°，进而得△ACH为等腰直角三角形，则AH=CH，然后根据点A(m,0)，B(0,m)，C(4,3)，得OH=4，CH=3，AH=4−m，由此得4−m=3，由此解出m即可；
(2)依题意得点D(t,0)，且点D在点A的右侧，点E在第一象限，过点E作EM⊥x轴于M，则OA=OM=m，OD=t，AD=t−m，证Rt△ODB和△MED全等得OB=MD=m，进而得AM=AD+MD=EM=t，从而得△AME为等腰直角三角形，则∠EAD=45°，据此可得出结论．
此题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握点的坐标，理解等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
23.【答案】4
【解析】解：(1)①根据“平移整式组”的定义得：a=4；
故答案为：4；
②该“平移整式组”的三个整式分别为4x2+3x−2，第二个整式为4x2+2，第三个整式为3x−4；
(2)∵a(x−5)2+b(a≠0)=ax2−10ax+25a+b，2x2−8x+8+c，(−2m−2)x+2(m−5)2−8(m为常数)是一个“平移整式组”，
∴a=2，−10ax+25a+b−(−8x+8+c)=(−2m−2)x+2(m−5)2−8，
整理得：(8−10a)x+(25a+b−c−8)=(−2m−2)x+2(m−5)2−8，
∴8−10a=−2m−2，25a+b−c−8=2(m−5)2−8，
把a=2代入得：−2m−2=−12，
解得：m=5，
∴50+b−c−8=−8，
整理得：b−c=−50．
(1)①根据“平移整式组”的定义确定出a的值即可；
②找出“平移整式组”的规律确定出第三个整式即可；
(2)利用“平移整式组”的定义确定出b与c的值，即可求出b−c的值．
此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)设分配给甲社团x个名额，则分配给乙社团(36−x)个名额，
依题意得140x=10036−x，
解得：x=21，
检验：当x=21时，x(36−x)≠0．
所以原分式方程的解为：x=21．
36−21=15(个)，
答：分配给甲社团21个名额，分配给乙社团15个名额；
(2)∵a−b=(p1m1−p2m2+1)−(p2m2−p1m1+1)
=p1m1−p2m2+1−p2m2+p1m1+1
=(m1m1+m2+1m1+1)−(m2m2+m1m2+1)
=p1(2m1+1)m1(m1+1)−p2(2m2+1)m2(m2+1)
∵p1(2m1+1)m1(m1+1)>p2(2m2+1)m2(m2+1)
∴a−b>0，
∴a>b，
依据第三步，应该将这个名额分配给甲社团．
【解析】(1)设分配给甲社团x个名额，则分配给乙社团(36−x)个名额，依题意列方程140x=10036−x求解即可；
(2)根据定义求出a−b，判断其与零的大小关系即可作出判断．
本考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，正确的计算是解题关键．
25.【答案】(1)证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴BF=CF；
(2)解：猜想：EF=AF+2DF．
在FE上找一点P，使得AP=AF，

在Rt△BDF中，∠CBE=30°，
∴BF=2DF，
∴CF=2DF，
由(1)得：AD⊥BC，
∵∠CBE=30°，
∴∠BFD=90°−∠CBE=60°，
∴∠AFP=∠BFD=60°，
∵AP=AF，
∴△AFP是等边三角形，
∴∠APF=60°，AF=PF，
∴∠APE=180°−∠APF=120°，
由(1)得：BF=CF，
∵FD⊥BC，BF=CF，
∴DF平分∠BFC，
∴∠DFC=∠BFD=60°，
∴∠AFC=180°−∠DFC=120°，
∴∠APE=∠AFC，
在△AFB和△AFC中，
AF=AFAB=ACFC=FB，
∴△AFB≌△AFC(SSS)，
∴∠ABF=∠ACF，
∵点C关于直线l的对称点为点E，
∴直线l垂直平分EC，
∴AE=AC，
∴AB=AE，
∴∠AEB=∠ABF，
∴∠AEB=∠ACF，
在△PAE和△FAC中，
∠AEB=∠ACF∠AFC=∠APEAP=AF，
∴△PAE≌△FAC(AAS)，
∴PE=FC，
∴PE=FC=2DF，
∴EF=FP+PE=AF+2DF．
(3)解：直线l绕点A旋转的过程中，存在CF⊥EF，此时∠CAE=90°．

∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，∠CFD=∠CAF+∠ACF，
∴∠BFC=∠BFD+∠CFD=∠BAF+∠ABF+∠CAF+∠ACF=∠BAC+2∠ABF，
∵∠BAC为锐角，∠ABF也为锐角，
∴0°