2024年高中物理新教材同步学案 必修第二册 第5章 专题强化　与斜面、曲面相结合的平抛运动 (含解析)

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专题强化　与斜面、曲面相结合的平抛运动[学习目标]　1.进一步掌握平抛运动规律，了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点(重难点)。2.熟练运用平抛运动规律解决相关问题(重点)。一、与斜面有关的平抛运动例1　(2022·黑龙江宾县二中高一期末)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的质量为m的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，重力加速度为g，空气阻力不计。(1)若小球以最小位移到达斜面，求小球到达斜面经过的时间t；(2)若小球垂直击中斜面，求小球到达斜面经过的时间t′。答案　(1)eq \f(2v0,gtan θ)　(2)eq \f(v0,gtan θ)解析　(1)小球以最小位移到达斜面时位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(x,y)＝eq \f(2v0,gt)，解得t＝eq \f(2v0,gtan θ)。(2)小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(v0,gt′)，解得t′＝eq \f(v0,gtan θ)。例2　跳台滑雪需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：(1)运动员在空中的飞行时间t1；(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小x0；(3)运动员落在斜面上时的速度大小v；(4)运动员何时离斜面最远。答案　(1)3 s　(2)75 m　(3)10eq \r(13) m/s　(4)1.5 s解析　(1)运动员从A点到B点做平抛运动，水平方向的位移大小x＝v0t1竖直方向的位移大小y＝eq \f(1,2)gt12又有tan 37°＝eq \f(y,x)代入数据解得t1＝3 s，x＝60 m，y＝45 m。(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小x0＝eq \r(x2＋y2)＝75 m。(3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量vy＝gt1＝10×3 m/s＝30 m/s，则运动员落在斜面上时的速度大小v＝eq \r(v02＋vy2)＝10eq \r(13) m/s。(4)如图，设运动员在C点距离斜面最远，此时合速度方向与斜面平行，tan 37°＝eq \f(vy′,v0)，即tan 37°＝eq \f(gt2,v0)，解得t2＝eq \f(v0tan 37°,g)＝1.5 s。二、与曲面有关的平抛运动例3　如图所示，斜面ABC与圆弧轨道相接于C点，从A点水平向右飞出的小球恰能从C点沿圆弧切线方向进入轨道。OC与竖直方向的夹角为θ＝60°，若AB的高度为h，忽略空气阻力，则BC的长度为(　　)A.eq \f(\r(3),3)h B.eq \f(2\r(3),3)h C.eq \r(3)h D．2eq \r(3)h答案　B解析　小球飞出后做平抛运动，到C点时的速度方向与初速度方向夹角为θ，设此时位移方向与初速度方向夹角为α。根据平抛运动规律得tan θ＝2tan α＝eq \f(2h,x)，解得x＝eq \f(2\r(3),3)h，所以A、C、D错误，B正确。例4　(多选)(2022·潍坊市高一期末)如图所示，水平固定半球形碗的球心为O点，最低点为P点。在碗边缘处的A点向球心O以速度v1、v2水平抛出两个小球，在空中的飞行时间分别为t1、t2，小球分别落在碗内的M、P两点。已知∠MOP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，以下判断正确的是(　　)A．t1∶t2＝eq \r(3)∶eq \r(5) B．t1∶t2＝2∶eq \r(5)C．v1∶v2＝eq \r(5)∶10 D．v1∶v2＝eq \r(5)∶5答案　BD解析　小球落在M、P两点下落的高度分别为h1＝Rcos 37°＝0.8R，h2＝R，根据平抛运动规律，竖直方向上h＝eq \f(1,2)gt2，可知t1＝eq \r(\f(2h1,g))＝eq \r(\f(1.6R,g))，t2＝eq \r(\f(2h2,g))＝eq \r(\f(2R,g))，解得t1∶t2＝2∶eq \r(5)，B正确，A错误；小球落在M、P两点水平位移分别为x1＝R－Rsin 37°＝0.4R，x2＝R，根据平抛运动规律，水平方向上x＝vt，可知v1＝eq \f(x1,t1)＝eq \r(\f(gR,10))，v2＝eq \f(x2,t2)＝eq \r(\f(gR,2))，解得v1∶v2＝eq \r(5)∶5，C错误，D正确。例5　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为(　　)A.eq \r(\f(3gR,2)) B.eq \r(\f(3\r(3)gR,2))C.eq \r(\f(\r(3)gR,2)) D.eq \r(\f(\r(3)gR,3))答案　B解析　小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则小球在B点的速度方向与水平方向的夹角为30°，故vy＝v0tan 30°，又vy＝gt，联立解得t＝eq \f(v0tan 30°,g)小球在水平方向上做匀速直线运动，则有R＋Rcos 60°＝v0t，联立解得v0＝eq \r(\f(3\r(3)gR,2))，故选B。专题强化练1．滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s的速度水平飞出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑。已知斜坡倾角为45°，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2，则他在该斜坡上方运动的时间为(　　)A．0.5 s B．1.0 sC．1.5 s D．5.0 s答案　B解析　滑雪运动员在斜坡上方做平抛运动，在水平方向有x＝v0t，在竖直方向有y＝eq \f(1,2)gt2，根据题意有tan 45°＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)，解得t＝1.0 s，故选B。2.如图所示，某物体(可视为质点)以水平初速度抛出，飞行一段时间t＝eq \r(3) s后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上(g取10 m/s2)，不计空气阻力，由此计算出该物体的水平位移x和水平初速度v0为(　　)A．x＝25 m B．x＝5eq \r(21) mC．v0＝10 m/s D．v0＝20 m/s答案　C解析　物体撞在斜面上时竖直分速度vy＝gt＝10eq \r(3) m/s，将速度进行分解，有tan 30°＝eq \f(v0,vy)，解得v0＝10eq \r(3)×eq \f(\r(3),3) m/s＝10 m/s，则水平位移x＝v0t＝10×eq \r(3) m＝10eq \r(3) m，故C正确，A、B、D错误。3．(2023·苏州市高一期末)跳台滑雪是北京2022年冬奥会的比赛项目之一，图甲为跳台滑雪的场地，可以简化为图乙所示的示意图，平台末端B点切线水平，斜面足够长，当运动员以速度v从B点水平飞出，落到斜面上C点，斜面倾角为θ，忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)A．运动员在空中运动的时间与v无关B．运动员在空中运动的时间与v成正比C．运动员落到斜面时的位移与v成正比D．v越大，落地时瞬时速度与斜面间的夹角越大答案　B解析　将运动员看作质点，则运动员在空中做平抛运动，由平抛运动规律h＝eq \f(1,2)gt2，x＝vt，运动员落在斜面上，故有eq \f(h,x)＝tan θ，联立可得t＝eq \f(2vtan θ,g)，故运动员在空中运动的时间与v成正比，A错误，B正确；运动员落到斜面时的位移s＝eq \f(h,sin θ)＝eq \f(2v2tan2θ,gsin θ)，运动员落到斜面时的位移与v2成正比，C错误；设运动员落地时瞬时速度与斜面间的夹角为α，则tan α＝eq \f(vy,v)＝eq \f(gt,v)，将t＝eq \f(2vtan θ,g)代入得tan α＝2tan θ，故运动员落地时瞬时速度与斜面间的夹角与v无关，D错误。4．(2022·于都中学高一期中)如图，PQ为半圆形容器的水平直径，圆弧半径为R，圆心为O，从P点沿PQ方向水平抛出一个小球，小球恰好落在圆弧面上的B点，P、B两点的高度差为0.8R，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球从P点抛出时的速度大小为(　　)A.eq \f(\r(10gR),5) B.eq \f(2,5)eq \r(10gR)C.eq \r(2gR) D.eq \r(10gR)答案　B解析　设小球从P点抛出到落到B点运动的时间为t，根据几何关系可知OB连线与水平方向的夹角的正弦值为eq \f(4,5)，因此小球从P点到B点的水平位移为1.6R，设初速度大小为v0，则0.8R＝eq \f(1,2)gt2，1.6R＝v0t，联立解得v0＝eq \f(2,5)eq \r(10gR)，故B正确，A、C、D错误。5.(2022·横峰中学高一期末)如图所示，两个相对斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则A、B两个小球从抛出到落到斜面的运动时间之比为(　　)A．1∶1 B．4∶3C．16∶9 D．9∶16答案　D解析　根据平抛运动规律以及落在斜面上的特点可知x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，tan θ＝eq \f(y,x)，解得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，两小球的初速度大小相等，所以时间之比为tA∶tB＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，A、B、C错误，D正确。6.如图所示，小球以速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g)(　　)A．小球在空中的运动时间为eq \f(v0,gtan θ)B．小球的水平位移大小为eq \f(2v02,gtan θ)C．小球的竖直位移大小为eq \f(v02,gtan θ)D．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解答案　B解析　如图所示，过抛出点作斜面的垂线与斜面交于B点，当小球落在斜面上的B点时，位移最小。设运动的时间为t，则水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝eq \f(1,2)gt2，根据几何关系有eq \f(x,y)＝tan θ，联立解得t＝eq \f(2v0,gtan θ)，小球的水平位移大小为x＝v0t＝eq \f(2v02,gtan θ)，竖直位移的大小为y＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(2v02,gtan2θ)，由水平位移和竖直位移可求解总位移的大小，故A、C、D错误，B正确。7．(2022·石家庄市高一期末)甲、乙两个小球分别以v、2v的速度从斜面顶部端点O沿同一方向水平抛出，两球分别落在该斜面上P、Q两点，忽略空气阻力，甲、乙两球落点P、Q到端点O的距离之比为(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)答案　C解析　设斜面倾角为α，小球落在斜面上速度方向偏向角为θ，落在斜面上，如图所示，根据平抛运动的推论tan θ＝2tan α，可知甲、乙两个小球落在斜面上时速度偏向角相等，对甲有vy甲＝vtan θ，对乙有vy乙＝2vtan θ，又因为下落高度y＝eq \f(vy2,2g)，可得甲、乙两个小球下落高度之比为eq \f(y甲,y乙)＝eq \f(1,4)，甲、乙两球落点P、Q到端点O的距离之比eq \f(s甲,s乙)＝eq \f(y甲,y乙)＝eq \f(1,4)，故选C。8．如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内。现有一小球从水平桌面的边缘P点向右水平飞出，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽。OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2。下列选项正确的是(　　)A．tan θ1tan θ2＝2 B.eq \f(tan θ2,tan θ1)＝2C.eq \f(tan θ1,tan θ2)＝2 D.eq \f(1,tan θ1tan θ2)＝2答案　A解析　从题图中可以看出，在A点的速度方向与水平方向的夹角为θ1，则有tan θ1＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)。由P到A过程，其位移与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝eq \f(x,y)＝eq \f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq \f(2v0,gt)，则tan θ1tan θ2＝2，故选A。9．(多选)如图所示，AB为半圆弧ACB的水平直径，C为ACB弧的中点，AB＝1.5 m，从A点水平抛出一小球，小球下落0.3 s后落到半圆弧ACB上，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则小球抛出的初速度v0可能为(　　)A．0.5 m/s B．1.5 m/sC．3 m/s D．4.5 m/s答案　AD解析　由题可知，圆弧ACB的半径R＝0.75 m，竖直方向小球下落的高度h＝eq \f(1,2)gt2＝0.45 m，若小球落在AC圆弧上时，由几何知识得到，水平位移x＝R－eq \r(R2－h2)＝0.15 m，则v01＝eq \f(x,t)＝0.5 m/s；若小球落在CB圆弧上时，由几何知识得到，水平位移x′＝R＋eq \r(R2－h2)＝1.35 m，则v02＝eq \f(x′,t)＝4.5 m/s，A、D正确。10.如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　)A．b与c之间某一点B．c点C．c与d之间某一点D．d点答案　A解析　当水平初速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点垂直于Oa的直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，则小球以速度2v0水平抛出时在斜面上的落点在b与c之间的某一点，故选A。11．(多选)如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点以水平向右的初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，不计空气阻力，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)A．物体B比A先到达P点B．A、B物体一定同时到达P点C．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶9D．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶3答案　BC解析　两物体同时抛出，都落到P点，由平抛运动的规律可知，两物体下落了相同的竖直高度，由H＝eq \f(gt2,2)得t＝eq \r(\f(2H,g))，即两物体同时到达P点，A错误，B正确；两物体运动时间相同，抛出的水平距离之比等于抛出时两物体初速度的大小之比，设圆的半径为R，如图所示，由数学知识得xAM＝2Rcos2 37°，xBM＝2Rsin2 37°，联立得xAM∶xBM＝16∶9，所以vA∶vB＝16∶9，C正确，D错误。12.如图所示，在水平地面上固定一倾角θ＝37°、表面光滑的斜面体，物体A以v1＝6 m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出。物体A恰好可以上滑到最高点，此时物体A恰好被物体B击中。A、B均可看成质点，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。求：(1)物体A上滑到最高点所用的时间；(2)物体B抛出时的初速度v2的大小；(3)物体A、B间初始位置的高度差h。答案　(1)1 s　(2)2.4 m/s　(3)6.8 m解析　(1)物体A沿斜面上滑过程中，由牛顿第二定律得mgsin θ＝ma代入数据得a＝6 m/s2设物体A滑到最高点所用时间为t，由运动学公式知0＝v1－at解得t＝1 s(2)物体B平抛的水平位移x＝eq \f(1,2)v1tcos 37°＝2.4 m物体B抛出时的初速度大小v2＝eq \f(x,t)＝2.4 m/s(3)物体A、B间初始位置的高度差h＝eq \f(1,2)v1tsin 37°＋eq \f(1,2)gt2＝6.8 m。已知条件情景示例解题策略已知速度方向从斜面外水平抛出，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面分解速度，构建速度三角形vx＝v0vy＝gttan θ＝eq \f(vx,vy)＝eq \f(v0,gt)从斜面外水平抛出，恰好无碰撞地进入斜面轨道，如图所示，已知该点速度沿斜面方向分解速度vx＝v0vy＝gttan α＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)已知位移方向从斜面上水平抛出又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下分解位移，构建位移三角形x＝v0ty＝eq \f(1,2)gt2tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)在斜面外水平抛出，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面分解位移x＝v0ty＝eq \f(1,2)gt2tan θ＝eq \f(x,y)＝eq \f(2v0,gt)情景示例解题策略从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向分解速度，构建速度三角形vx＝v0vy＝gttan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面分解速度，构建速度三角形vx＝v0vy＝gttan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示， 利用几何关系求解位移关系x＝v0ty＝eq \f(1,2)gt2R2＝(x－R)2＋y2