四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

这是一份四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题，共8页。试卷主要包含了 已知幂函数， 若a=20， 下列说法正确的是， 下列式子中，计算结果正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5 毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效； 在草稿纸上、 试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合U={0,1,2,3,4,5}, A={x∈N| 3x则 CUA=
A. {0,1,3,5} B. {1,3,5} C. {0,2,4,5} D. {2,4,5}
2. 命题 “∀x≤1,x²-3x+5>0”的否定是
A.∃x>1,x²-3x+5≤0 B.∃x≤1,x²-3x+5≤0
C.∀x>1,x²-3x+5≤0 D.∀x≤1,x²-3x+5≤0
3. 已知角α的终边经过点 P-223,则csα=
A.-3 B. -2 C.-12 D.32
4. 已知幂函数. fx=m²-5m+7xᵐ为偶函数, 则f(2)=
A. 14 B. 2 C. 4 D. 8
5. 函数 fx=13x-2x-6的零点所在的一个区间为
A. (-2,-1) B. (-1,0) C. (0,1) D. (1,2)
高一数学 第 1 页 (共 4 页)6. 函数 fx=aˣ⁺²-3的图象过定点A，且定点A的坐标满足方程mx+ny+2=0，其中m>0, n>0, 则 1m+4n的最小值为
A.6+42 B. 9 C.5+22 D. 8
7. 若 csα-2π3=45, 则 sinπ6-α=
A.-45 B.-35 C. 35 D. 45
8. 若a=20.1, b=lg₉4, c=lg₅2,则a，b，c的大小关系为
A. a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 下列说法正确的是
A. 若a>b, 则( a²>b² B. 若a>b, 则 3ᵃ>3ᵇ
C. 若a>b, c>d, 则 ad>bc D. 若a>b>0, m>0, 则 b+ma+m>ba
10. 下列式子中，计算结果正确的是
A.624×33×32=3 B.cs13π6+tan-5π3=-32
C.lg22+lg5⋅lg20=2 D.21+lg25=10
11. 已知函数 fx=lg₂x+2-lg₂2-x, 则下列说法正确的是
A. 函数f(x)的定义域为(-2,2) B. 函数f(x)的值域为(-∞,0]
C. 函数f(x)是定义域上的奇函数 D. 函数f(x)是定义域上的偶函数
12. 已知定义在 R上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)=-f(x) , 且当x∈[2,4) 时,f(x)=|x-3|-1, 则下列说法正确的是
A. f(x)=f(x+4)
B. f(x)在(-1,1)上单调递减

D. 函数g(x)=f(|x|)-|lg₈|x||恰有8个零点
高一数学 第 2 页 (共 4 页)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知一扇形的圆心角为4弧度，半径为5，则该扇形的面积为 .
14. 若 tanθ=23, 则 2sinθ-4csθsinθ+2csθ=¯.
15. 函数 fx=12-x2+4x+5的单调递减区间为 .
16. 已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)满足 f(3x)=3f(x), 且. f1=3.若 ∀x1,x2∈0+∞,x1≠x2,x1-x2fx1x13-fx2x23<0, 则不等式 fxx≥27x2的解集为 .
四、解答题：本题共6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
已知集合 A={x|m5}.
(1) 当m=4时, 求A∩(CB);
(2) 若 A⊆∁RB,求实数m的取值范围.
18. (12分)
已知 fx=cs2x+π6.
(1) 求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2) 若 x∈-π6π3, 求f(x)的值域.
19. (12分)
已知函数 fx=x²-2ax+3.
(1)若关于x的不等式f(x)≥0的解集为 R，求实数a的取值范围；
(2) 解关于x的不等式f(x)<0.
高一数学 第 3 页 (共 4 页)20. (12分)
行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离. 在某种路面上，经过多次实验测试，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x(千米/时，0≤x≤120) 的一些数据如下表. 为了描述汽车的刹车距离y (米) 与汽车的车速 x (千米/时) 的关系，现有三种函数 模型供选择：①y=px²+mx+n(p≠0),②y=0.5°+a , ③y=klgax+b .
(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2) 如果要求刹车距离不超过13米，求行驶的最大速度.
21. (12分)
若函数 fx=1-a2x+1为定义在 R上的奇函数.
(1) 求实数a的值，并判断函数f(x)的单调性；
(2) 若对任意的实数x∈[-2,3],不等式 fk⋅4ˣ+f1-2ˣ⁺¹≥0恒成立，求实数k的取值范围.
22. (12分)
已知函数f(x)的定义域为D，若存在实数a，使得对于任意. x₁∈D都存在 x₂∈D满足 x1+fx22=a,则称函数f(x)为“自均值函数”，其中a称为f(x)的“自均值数”.
(1) 判断函数 fx=3ˣ是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2) 若函数 gx=sinωx+π3ω0),x∈01为“自均值函数”，求ω的取值范围.
高一数学 第 4 页 (共 4 页)x
0
40
60
80
y
0
8.4
18.6
32.8
高一数学
参考答案及评分标准
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得5分， 部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 50 14. -1
15. (-∞,2] (写(-∞,2)也给分) 16.-130∪013
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
解: (1)当m=4时, A={x|45},
所以 CRB={x|-3所以. A∩∁RB={x|4(2) 当A=∅时, m≥2m+1,
即当m≤-1时, A⊆∁RB成立，
当A≠∅时, m<2m+1, 即m>-1,
由 A⊆∁RB,可得 m≥-32m+1≤5,
解得-3≤m≤2, 此时-1综上, m≤2, 即实数m的取值范围为(-∞,2].
18. (12分)
解: (1)函数f(x)的最小正周期 T=2π2=π,
单调递增区间：令 -π+2kπ≤2x+π6≤2kπ,k∈Z,
得: -7π12+kπ≤x≤-π12+kπ,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为 -7π12+kπ-π12+kπ,k∈Z;
2∵x∈-π6π3,∴2x+π6∈-π65π6,
∴cs2x+π6∈-321,
∴函数f(x)的值域为 -321.
11
2
3
4
5
6
7
8
C
B
C
C
A
B
A
D
9
10
11
12
BD
AD
AC
ACD
19. (12分)
解: (1) 由题意△≤0, 可得 4a²-12≤0, ………………………3分
∴-3≤a≤3; …………………………6分
(2) ①当△≤0, 即. -3≤a≤3时,原不等式的解集为∅；………………………7分
②当△>0, 即( a<-3或 a>3时, 令 x²-2ax+3=0,………………………8分
解得 x=a-a2-3或 x=a+a2-3, ………………………10分
∴原不等式的解集为 {x|a-a2-320. (12分)
解：(1) 结合表格数据可得， y=px²+mx+np≠0是最符合实际的函数模型，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分将x=0, y=0; x=40, y=8.4; x=60, y=18.6分别代入上式,
可得 n=01600p+40m=8.43600p+60m=18.6, 解彳 p=1200m=1100n=0, ………………………5分
即所求函数的解析式为 y=1200x2+1100x0≤x≤120; ………………………6分
(2) 令 1200x2+1100x≤13, ………………………8分
即 x²+2x-2600≤0, ………………………9分
解得-52≤x≤50, ………………………10分
又0≤x≤120, 所以0≤x≤50, ………………………11分
即要求刹车距离不超过13米，则行驶的最大速度为50千米/时. ………………………12分
21. (12分)
解: (1) ∵函数 fx=1-a2x+1为定义在 R上的奇函数，
∴f0=1-a2=0,∴a=2, …………………………1分
∴fx=1-22x+1, 设 x₁ 则 fx1-fx2=1-22x1+1-1-22x2+1 ………………………2分
=22x2+1-22x+1=22x-2x22xi+12x2+1
∵x1 又∵ 2x1+12x2+1>0,∴fx1-fx2<0, ………………………5分
∴函数f(x)在 R上单调递增; ………………………6分
2 2∵fk⋅4ˣ+f1-2ˣ⁺¹≥0,
∴fk⋅4ˣ≥-f1-2ˣ⁺¹=f2ˣ⁺¹-1,
∵函数f(x)在[-2,3]上单调递增,
∴k⋅4ˣ≥2ˣ⁺¹-1在[-2,3]上恒成立,
∴k≥2⋅12x-14x,
设 t=12x,:.t∈184,∴k≥2⋅t-t2=-t-12+1,
设 gt=-t-1²+1,∴gtₘₐₓ=g1=1,k≥1.
22. (12分)
解: (1) 假定函数.f(x)=3ˣ是“自均值函数”,显然f(x)=3ˣ|的定义域为R，则存在a∈R, 对于 ∀x₁∈R,存在 x₂∈R,有 x1+3x22=a,即 3x2=2a-x1,
依题意，函数 fx2=3x2在 R上的值域应包含函数 y=2a-x₁在R上的值域, 2分………………………1分
而当 x₂∈R时, f(x₂)的值域为(0,+∞),
当 x₁∈R时, y=2a-x₁的值域为R， ………………………3分
显然(0,+∞)不包含R, 所以函数.f(x)=3ˣ不是“自均值函数”;………………………4分
(2) 依题意, 存在a∈R, 对于 ∀x₁∈01,存在 x₂∈0l,
有 x1+gx22=a, 即 sinωx2+π3=2a-x1, ………………………5分
当 x₁∈01时, y=2a-x₁的值域为[2a-1,2a],
因此 gx2=sinωx2+π3 在x₂∈[0,1]的值域包含[2a-1,2a], ………………………6分
当 x₂∈01时, ω>0, 则 π3≤ωx2+π3≤ω+π3,
①若 ω+π3≤π2, 则 gx2min=32,gx2≤1,
此时g(x₂)值域的区间长度不超过 12,
而区间[2a-1,2a]长度为 1, 不符合题意, ………………………8分
②若 ω+π3>π2,gx2max=1,
要使 gx2=sinωx2+π3在 x₂∈01的值域包含[2a-1,2a],
则 gx2=sinωx2+π3 在 x₂∈01的最小值小于等于0， ………………………9分
又 ωx2+π3∈π23π2时, g(x₂)递减, 且g(π)=0, ………………………10分
从而有 ω+π3≥π, 解得 ω≥2π3, ………………………11分
此时，取 a=12,y=2a-x1的值域为[0,1], 包含于g(x₂)在x₂∈[0,1]的值域,综上所述，ω的取值范围为 2π3+∞. ………………………12分
3解析：
8. 由题意可知： a=20.1>20=1,lg93=12 012. A. ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=f(x) , 故A 正确;
B.当x∈[0,2)时, x+2∈[2,4),则f(x+2)=|x-1|-1=-f(x), ∴f(x)=-|x-1|+1, ∴f(x)在[0,1]上单调递增，故 B 错误；
C.:fx+4=fx,∴f2024.5=f0.5=-f2.5=12, 故 C 正确;
D.要研究函数. gx=f|x|-|lg₈|x|零点的个数，就是研究函数h(x)=f(|x|)与函数. mx=|lg₈|x||交点的个数， 易知函数h(x)，m(x)均为偶函数，如图所示，作出图象，所以交点个数为8个，故D正确.
16. 设函数 gx=fxx3x≠0,∴g-x=f-x-x3=fxx3=gx,.g(x)为偶函数，又∵ x1,x2∈0+∞,x1≠x2,x1-x2fx1x13-fx2x23<0, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,∵f(3x)=3f(x),且 f1=3,∴f1=3f13,∴f13=1,∴g13=f13133=27, ∵fxx≥27x2,∴fxx3≥27,∴gx≥g13,∴|x|≤13,x≠0,∴x∈-130]013.