高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 机械能守恒定律一课一练

这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 机械能守恒定律一课一练，共8页。
一、动能定理和机械能守恒定律的比较
例1 如图所示水平轨道BC，左端与半径为R的四分之一圆轨道AB连接，右端与半径为r的四分之三圆轨道CDEF连接，圆心分别为O1、O2，质量为m的过山车从高为R的A处由静止滑下，恰好能够通过右侧圆轨道最高点E，重力加速度为g，不计一切摩擦阻力，求：
(1)过山车在B点时的速度大小；
(2)过山车在C点时对轨道的压力大小。
答案 (1)eq \r(2gR) (2)6mg
解析 方法一 运用动能定理
(1)根据动能定理mgR＝eq \f(1,2)mvB2，
解得vB＝eq \r(2gR)。
(2)过山车在E点时由牛顿第二定律有mg＝meq \f(vE2,r)，
从C点到E点，由动能定理有－mg·2r＝eq \f(1,2)mvE2－eq \f(1,2)mvC2
又FC－mg＝meq \f(vC2,r)，
由牛顿第三定律，过山车对轨道的压力大小FC′＝FC＝6mg。
方法二 运用机械能守恒定律
(1)A到B，选地面为参考平面，对过山车由机械能守恒定律得mgR＋0＝0＋eq \f(1,2)mvB2，
解得vB＝eq \r(2gR)。
(2)过山车在E点时有mg＝meq \f(vE2,r)，
从C到E，由机械能守恒定律得mg·2r＋eq \f(1,2)mvE2＝0＋eq \f(1,2)mvC2，
过山车过C点时，受到轨道的支持力大小为FC，FC－mg＝meq \f(vC2,r)，
由牛顿第三定律，过山车对轨道的压力大小为FC′＝FC＝6mg。
例2 (2022·常州市高一期中)一跳台滑雪运动员在进行场地训练。某次训练中，运动员以30 m/s的速度斜向上跳出，空中飞行后在着陆坡的K点着陆。起跳点到K点的竖直高度差为60 m，运动员总质量(包括装备)为60 kg，g取10 m/s2。试分析(结果可以保留根号)：
(1)若不考虑空气阻力，理论上运动员着陆时的速度多大？
(2)若运动员着陆时的速度大小为44 m/s，飞行中克服空气阻力做功为多少？
答案 (1)10eq \r(21) m/s (2)4 920 J
解析 (1)不考虑空气阻力，运动员从起跳到着陆的过程机械能守恒，则有eq \f(1,2)mv02＋mgh＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝10eq \r(21) m/s
(2)运动员飞行过程，根据动能定理有mgh－W克阻＝eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)mv02，解得W克阻＝4 920 J。
二、动能定理和机械能守恒定律的综合应用
动能定理和机械能守恒定律，都可以用来求能量或速度，但侧重点不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程。
例3 (2022·北京市第十二中学高一期中)如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点平滑连接，轨道半径为R，一个质量为m的小球将弹簧压缩至A处。小球从A处由静止释放被弹开后，经过B点进入轨道的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能沿轨道运动到C点，重力加速度为g，求：
(1)小球在最高点C的速度大小vC；
(2)小球在最低点B的速度大小vB；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能；
(4)小球由B到C克服阻力做的功。
答案 (1)eq \r(gR) (2)eq \r(7gR) (3)eq \f(7,2)mgR (4)mgR
解析 (1)在最高点C时，根据牛顿第二定律有meq \f(vC2,R)＝mg，解得vC＝eq \r(gR)
(2)根据牛顿第三定律可知，小球在最低点B时所受支持力大小为FN＝8mg
根据牛顿第二定律有FN－mg＝meq \f(vB2,R)，解得vB＝eq \r(7gR)
(3)根据机械能守恒定律可得释放小球前弹簧的弹性势能为Ep＝eq \f(1,2)mvB2＝eq \f(7,2)mgR
(4)设小球由B到C克服阻力做的功为W，根据动能定理有－2mgR－W＝eq \f(1,2)mvC2－eq \f(1,2)mvB2
解得W＝mgR。
例4 (2023·菏泽市期末)如图所示，AB面光滑、倾角θ＝30°的斜面体固定在水平桌面上，桌面右侧与光滑半圆形轨道CD相切于C点，圆弧轨道的半径R＝0.1 m。物块甲、乙用跨过轻质定滑轮的轻绳连接，开始时乙被按在桌面上，甲位于斜面顶端A点，滑轮左侧轻绳竖直、右侧轻绳与AB平行；现释放乙，当甲滑至AB中点时轻绳断开，甲恰好能通过圆形轨道的最高点D。已知AB长L＝1 m，桌面BC段长l＝0.5 m，甲质量M＝1.4 kg、乙质量m＝0.1 kg，甲从斜面滑上桌面时速度大小不变，重力加速度大小取g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)甲到达斜面底端时重力的瞬时功率；
(2)甲与桌面间的动摩擦因数。
答案 (1)21 W (2)0.4
解析 (1)设轻绳断开时甲速度的大小为v1，根据机械能守恒定律Mgeq \f(L,2)sin θ－mgeq \f(L,2)＝eq \f(1,2)(M＋m)v12
设甲到达斜面底端时的速度大小为v2，从AB中点到底端的过程根据动能定理Mg×eq \f(L,2)sin θ＝eq \f(1,2)Mv22－eq \f(1,2)Mv12
重力的瞬时功率P＝Mgv2sin θ
解得P＝21 W
(2)设甲到达C、D时的速度大小分别为v3、v4，从B到C根据动能定理－μMgl＝eq \f(1,2)Mv32－eq \f(1,2)Mv22
由C到D过程，由动能定理得－Mg×2R＝eq \f(1,2)Mv42－eq \f(1,2)Mv32
甲恰好能通过圆形轨道的最高点D，根据牛顿第二定律Mg＝Meq \f(v42,R)
解得μ＝0.4。
专题强化练
1.(2023·西安市铁一中学高一期末)如图所示，光滑的倾斜轨道AB与粗糙的竖直放置的半圆形轨道CD通过一小段圆弧BC平滑连接，BC的长度可忽略不计，C为圆弧轨道的最低点。一质量m＝0.1 kg的小物块在A点从静止开始沿AB轨道下滑，进入半圆形轨道CD。已知半圆形轨道半径R＝0.2 m，A点与轨道最低点的高度差h＝0.8 m，不计空气阻力，小物块可以看作质点，重力加速度取g＝10 m/s2。求：
(1)小物块运动到C点时速度的大小；
(2)若小物块恰好能通过半圆形轨道的最高点D，求小物块在半圆形轨道上运动过程中克服摩擦力所做的功。
答案 (1)4 m/s (2)0.3 J
解析 (1)从A到C，由机械能守恒定律有mgh＝eq \f(1,2)mvC2
解得vC＝4 m/s
(2)若小物块恰好能通过半圆形轨道的最高点D，则有mg＝eq \f(mvD2,R)
物块从C到D，由动能定理得
－mg·2R－W克f＝eq \f(1,2)mvD2－eq \f(1,2)mvC2
解得W克f＝0.3 J。
2.如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离水平地面的高度为h。两球从静止开始下滑，最终在水平地面上运动，不计球与水平地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，重力加速度为g，求：
(1)两球在光滑水平地面上运动时的速度大小；
(2)此过程中杆对A球所做的功。
答案 见解析
解析 (1)由于不计摩擦及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒。两球在光滑水平地面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有
mg(2h＋Lsin θ)＝2×eq \f(1,2)mv2
解得v＝eq \r(2gh＋gLsin θ)。
(2)因两球在光滑水平地面上运动时的速度v比B球从h处自由滑下的速度eq \r(2gh)大，则杆对B球做的功为
WB＝eq \f(1,2)mv2－mgh＝eq \f(1,2)mgLsin θ
因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的绝对值应该相等，杆对B球做正功，对A球做负功，所以杆对A球做的功为WA＝－eq \f(1,2)mgLsin θ。
3.(2023·辽源市期末)如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放，不计空气阻力。(重力加速度为g)
(1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
答案 (1)eq \f(2\r(10gl),5) eq \f(\r(10gl),5) (2)－eq \f(6,5)mgl
解析 (1)小球A和B及杆组成的系统机械能守恒。设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，有mg·2l－mgl＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2
vA＝2lω，vB＝lω，则vA＝2vB
联立解得vB＝eq \f(\r(10gl),5)，vA＝eq \f(2\r(10gl),5)
(2)对A球，由动能定理得mg·2l＋W＝eq \f(1,2)mvA2
联立解得W＝－eq \f(6,5)mgl。
4.(2023·太湖高级中学高一校考)如图所示，长直轻杆两端分别固定小球A和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为eq \f(L,2)时，下列说法正确的是(不计一切摩擦，重力加速度为g)( )
A．杆对小球A做功为eq \f(1,4)mgL
B．小球A、B的速度都为eq \f(1,2)eq \r(gL)
C．小球A、B的速度分别为eq \f(1,2)eq \r(3gL)和eq \f(1,2)eq \r(gL)
D．杆与小球A、B组成的系统机械能减少了eq \f(1,2)mgL
答案 C
解析 对A、B及杆组成的系统，整个过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律得mg·eq \f(L,2)＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2，又有vAcs 60°＝vBcs 30°，解得vA＝eq \f(1,2)eq \r(3gL)，vB＝eq \f(1,2)eq \r(gL)，故C正确，B、D错误；对A，由动能定理得mgeq \f(L,2)＋W＝eq \f(1,2)mvA2，解得杆对小球A做的功W＝－eq \f(1,8)mgL，故A错误。
5．如图所示为一电动遥控赛车(可视为质点)和它的运动轨道示意图。假设在某次演示中，赛车从A位置由静止开始运动，工作一段时间后关闭电动机，赛车继续前进至B点后水平飞出，赛车能从C点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，D点和E点分别为圆形轨道的最高点和最低点。已知赛车在水平轨道AB段运动时受到的恒定阻力为0.4 N，赛车质量为0.4 kg，通电时赛车电动机的输出功率恒为2 W，B、C两点间高度差为0.45 m，赛道AB的长度为2 m，C与圆心O的连线与竖直方向的夹角α＝37°，空气阻力忽略不计，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，求：
(1)赛车通过C点时的速度大小；
(2)赛车电动机工作的时间；
(3)要使赛车能通过圆轨道最高点D后沿轨道回到水平赛道EG，轨道半径R需要满足的条件。
答案 (1)5 m/s (2)2 s (3)0