2024年初三中考第一次模拟考试试题：数学（湖南长沙卷）（参考答案及评分标准）

这是一份2024年初三中考第一次模拟考试试题：数学（湖南长沙卷）（参考答案及评分标准），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13．/
14．/
15．
16．/
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．【解析】
.（6分）
18．【解析】原式
.（3分）
当时，原式．（6分）
19．【解析】（1）延长交直线于点F，则，

依题意得：，，
∴．（3分）
（2）设米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
在中，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
即该铁塔的高度约为米．（6分）
20．【解析】（1）根据题意得：七年级成绩位于的有4人，
补全图形如下：
七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83，
∴七年级成绩的中位数；（2分）
（2）根据题意得：八年级成绩良好的所占的百分比为
∴八年级成绩优秀的所占的百分比为，
∴八年级成绩达到优秀的学生有（人），
七年级成绩达到优秀的学生有人，
（人），
答：七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有165人．（5分）
（3）八年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：
（人），
七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：
（人），
∵，
∴七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．（8分）
21．【解析】（1）由题意，可知，，．
．
即．
．（3分）
（2）在中，，
．
．
，
，．
．
．
在中，．（6分）
（3）由（2）可知，．
当最小时，有的值最小，此时．
为等腰直角三角形，
．
．
即的最小值为．（8分）
22．【解析】（1）设A种型号服装每件x元，B种型号服装每件y元．
依题意可得：
，
解得：，
答：A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．（5分）
（2）设B型服装购进m件，则A型服装购进件．
根据题意得：，
解不等式得，
答：至少购进B型服装10件．（9分）
23．【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．（4分）
（2）如图所示，连接，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∵，点是的中点，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴．（9分）
24．【解析】（1）证明：连接，如图1所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；（3分）
图1
（2）连接交于H，连接，如图2所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设的半径为x，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴的半径为，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；（6分）
图2
（3）连接，并延长交于Q，连接，过点A作于P，如图3所示：
则是的直径，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，（8分）
由（2）可知，点A到直线的距离为3，直线绕点A旋转得到，
∴点A到直线的距离始终等于3，不会发生改变，
∴，
∵，
∴，
∴在运动的过程中，的值不发生变化，其值为25．（10分）
图3
25．【解析】（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为，
极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为．
故答案为： 和．（2分）
（2）抛物线经过点，
∴
∴
∴，
解得
∴点D的坐标为．（5分）
（3）①设与对称轴交于点，若，则．

∵点C的坐标为，点D的坐标为．．
∴，
∴，
∴，
解得．
∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的顶点为，
∴当时，，故顶点为；
∴当时，，故顶点为；
∴顶点为或顶点为．（7分）
存在，或或．
如图，设与对称轴的交点为．

由知，，抛物线的顶点为，∴抛物线的极限分割线：，
直线垂直平分，
∴直线：，
∴点到直线的距离为；
直线与直线关于极限分割线对称，
直线： ，
∵，
∴点到直线的距离为，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
∴，
∴或，
解得或或，
故或或．（10分）1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
A
A
C
C
D
B
D
C