浙江省杭州市学军中学海创园学校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本答题卡一并交回.
4．测试范围：人教A版2019必修第一册全册＋必修第二册6.1－6.3.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】由数集的概念，元素与集合，集合与集合的关系，依次判断各选项即可.
【详解】对于A，中不含有任何元素，是任何集合的子集，则，故A错误；
对于B，表示有理数集，为无理数，则，故B错误；
对于C，表示自然数集，表示整数集，则，故C正确；
对于D，，则，故D错误.
故选：C
2. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
3. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得.
【详解】由不等式的解集为或，
得是方程的两个根，且，
因此，且，解得，
不等式化为：，解得，
所以不等式为.
故选：C
4. 已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域是B. 在其定义域内为减函数
C. 是奇函数D. 是偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】首先将点坐标代入得幂函数表达式进而得其定义域单调性，结合奇偶性定义即可得解.
【详解】由题意设幂函数为，则，所以，，
其定义域为全体实数，且它在内单调递增，
又，所以是偶函数，故ABC错误，D正确.
故选：D.
5. “实数”是“函数在上具有单调性”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性求出，再根据充分不必要条件的判定即可.
【详解】当时，，则在上单调递增，
即其在上具有单调性，则正向可以推出；
若函数在上具有单调性，
则对称轴，解得，则反向无法推出；
故“实数”是“函数在上具有单调性”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.
【详解】∵，
故选：D.
7. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】要使函数是减函数，须满足 求不等式组的解即可.
【详解】若函数在上单调递减，则
得，
故选：C.
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.
8. 已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间，然后分类讨论可得.
【详解】由解得，
所以函数的单调递增区间为，
因为在区间上单调递增，所以，所以.
当时，由在区间上单调递增可知，得；
当时，由解得；
当时，无实数解.
易知，当或时不满足题意.
综上，ω的取值范围为.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 以下四个命题，其中是真命题的有（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 设向量的夹角的余弦值为，且，则
C. 函数（且）的图象过定点
D. 若某扇形的周长为6cm，面积为，圆心角为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用全称命题的否定可判定A，利用平面向量的数量积公式及运算律可判定B，利用对数函数的性质可判定C，利用扇形的周长、面积公式可判定D.
【详解】对于A，命题“”的否定是“”正确，故A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，设扇形半径，则或，
又，所以成立，故D正确.
故选：ACD
10. 若正实数a，b满足，则下列选项中正确的是（ ）
A. 有最大值B. 有最小值
C. 的最小值是10D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用可判断A；利用可判断B；
展开后再利用基本不等式可判断C，由再利用指数函数的单调性可判断D．
【详解】对于A，∵，且，∴，当且仅当时取到等号，∴，∴有最大值，∴选项A正确；
对于B，，∴，
当且仅当时取到等号，∴B错误；
对于C，，
当且仅当即时取到等号，所以C不正确；
对于D，∵，∴，∴D正确．
故选：AD.
11. 函数在其定义域上的图像是如图所示折线段，其中点的坐标分别为，， ，以下说法中正确的是（ ）
A
B. 为偶函数
C. 的解集为
D. 若在上单调递减，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数图像逐一判断各选项即可.
【详解】由图像可得，所以，A正确；
由图像可得关于对称，所以关于对称，B错误；
由图像可得即的解集为，C正确；
由图像可得在上单调递减，所以的取值范围为，D正确；
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 定义函数，则___________.
【答案】49
【解析】
【分析】根据分段函数，结合指对数运算求解即可。
【详解】因为，
所以，
因为
所以
故答案为：49.
13. 若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点________.
【答案】##0.625
【解析】
【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可.
【详解】设，
则，，
∴第一次取区间的中点，
，∴，∴的零点所在的区间为，
∴第二次取区间的中点，
，∴，∴的零点所在的区间为，
∴第三次取区间的中点.
故答案为：.
14. 已知，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可
【详解】由题意可知
，
即，
由题意可知，
则.
故答案为：
【点睛】方法点睛：三角恒等变换化简求值问题需要注意已知角与未知角的关系，利用合理的配凑即可处理.本题已知及与的关系，所以构造，利用整体思想凑出未知式计算即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知.
（1）化简；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；
（2）3.
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得；
（2）根据同角关系式结合条件即得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，所以，
∴.
16. 已知，，且为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义结合函数定义域可知，则a可求；
（2）将原问题转化为方程有且只有一个实数解，令且，则可得关于的方程有且只有一个不为1和的正根，分和两种情况进行讨论即可得到答案.
【小问1详解】
由，可知，
又为偶函数，所以有，即，
化简得，即，
所以，得.
经检验，当时，对任意成立，即满足为偶函数.
故所求的值为2.
【小问2详解】
由（1）可知，即方程有且只有一个实数解，
显然，所以上述方程可化为，
即方程有且只有一个实数解，
令且，
则关于的方程有且只有一个不为1和的正根，
，
①当时，.
（i）若，则方程化为，
此时方程的解为，符合题意.
（ii）若，则方程化为，
此时方程的解为，不符题意，故舍去.
②当时，需满足即解得.
当时，即1为方程的解时，.
当时.
所以当方程有两根，有且只有一个不为1和的正根时，.
综上可知，当或时，方程有且只有一个实数解.
17. 已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在区间的最大值和最小值；
（3）荐在区间上恰有两个零点，求的值.
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换化简表达式得，，令，解不等式组即可得解.
（2）由，得 ，结合正弦函数单调性即可得解.
（3）由题意得即，进一步结合换元、诱导公式以及平方关系即可得解.
【小问1详解】
.
由，可得，
即的单调递减区间为.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，所以，
当时，即时，，
当时，即时，.
【小问3详解】
因为，所以，同理
由题意可得，
即，所以，
所以，即可得，
因为，所以，所以，
所以，
因为，可设，则，
所以，
因为，且，所以，
所以.
18. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元
（2）3种方案；购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）列方程求解原价即可.
（2）合理列出不等式组，确定方案个数，再求利润即可.
（3）分析一次函数单调性求解即可.
【小问1详解】
设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，由题意，得：，
解得：，经检验是原方程的解；∴；
故每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元；
【小问2详解】
设购进电冰箱x台，则购进空调台，由题意，得：
，
解得：，
为整数，，共3种方案；
，
随的增大而减小，
∴当时，有最大值为元，
即当购买电冰箱34台时，购进空调台，利润最大，为元．
【小问3详解】
由题意得：，
当，即：，随的增大而增大，
∴当购买电冰箱36台，购进空调台，利润最大，
当，即：，随的增大而减小，
∴当购买电冰箱34台，购进空调台，利润最大，
当，即：，每种方案的总利润相同，均为元．
19. 已知
（1）当是奇函数时，解决以下两个问题：
①求k的值；
②若关于x的不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当是偶函数时，设，那么当n为何值时，函数有零点．
【答案】（1）①；②；
（2）当或时，函数有零点.
【解析】
【分析】（1）①根据函数奇偶性列方程，由此求得；②化简已知不等式，利用换元法、分离常数法，结合对勾函数的知识求得的取值范围.
（2）根据函数的奇偶性求得，转化，利用构造函数法，结合二次函数的知识进行分类讨论，从而求得的范围.
【小问1详解】
①当奇函数时，，
，解得.
②由得，则不等式，
可化为，
令，因为为增函数，所以也为增函数，
，
，
，
由对勾函数的性质知，当的最小值为，
，即实数m的取值范围为.
【小问2详解】
当是偶函数时，，
，解得，
，
所以，即，
令，则，
则函数有零点，
转化为关于t的方程在时有实数根，
即是在时有实数根，
令为开口向下的二次函数，
当方程在有两相等实数根时，函数在上有一个零点，
，即，解得或，
若时，的零点为，符合题意，
若，
此时的零点为，符合题意，
所以或.
当方程有—负—非负实数根时，函数在上有一个零点，
则，解得或，
若时，，此时的零点为或，
与有—负—非负实数根矛盾，所以或.
当方程有两不等非负实数根时，函数在上有两个零点，
所以，解得，
综上所述：n的取值范围为或，
所以当或时，函数有零点.
【点睛】方法点睛：1.根据函数的奇偶性求参数，关键是利用函数奇偶性的定义，由或列方程来求参数；
2.一元二次方程根的分布问题，可以考虑判别式、根与系数关系等知识来进行求解.