黑龙江省哈尔滨市巴彦县华山乡中学2023-2024学年九年级上学期第四次月考数学试题

这是一份黑龙江省哈尔滨市巴彦县华山乡中学2023-2024学年九年级上学期第四次月考数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列卫视台标图案是中心对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据定义“如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可．
【详解】解：是中心对称图形；
是中心对称图形；
不是中心对称图形；
不是中心对称图形；
综上可知，有2个中心对称图形，
故选B．
2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】∵，您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 性价比最高 ∴二次函数图象顶点坐标为：.
故答案为A.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．利用配方法进行变形即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4. 若x1、x2是一元二次方程x2-5x+6=0两个根，则x1+x2的值是( )
A. 1B. 5C. -5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】依据一元二次方程根与系数的关系表示出两根和即可．
【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2−5x＋6＝0的两个根，
∴x1＋x2＝5，
故选B．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
5. 如图，是的直径，，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角有关性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵是的直径，，
∴，
∴；
故选B．
6. 如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（ ）
A. 125°B. 130°C. 135°D. 140°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：如图，连接AA′．由题意得：
AC=A′C，A′B′=AB，∠ACA′=90°，
∴∠AA′C=45°，AA′2=22+22=8；
∵AB′2=32=9，A′B′2=12=1，
∴AB′2=AA′2+A′B′2，
∴∠AA′B′=90°，∠A′=135°，
故选C．
考点：旋转的性质．
7. 已知圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl=π×3×5=15π，
故选B．
【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积：S侧==πrl．解决本题的关键是求出圆锥的母线长l的值．
8. 如图，是的两条切线，点在上，若，则的度数为( )
A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质以及四边形的内角和定理求出∠ACB，再由圆周角定理即可得解．
【详解】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠AOB＝360°−90°−90°−80°＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝50°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
9. 如图，AB为⊙O的直径，弦CF⊥AB于点E，CF=4，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠D=30°，则OA的长为（ ）
A. 2B. 4C. 4D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由∠D=30°，利用切线的性质可得∠COB的度数，利用等边三角形的判定和性质及切线的性质可得∠BCD，易得BC=BD，由垂径定理得CE的长，在直角三角形COE中，利用锐角三角函数易得OC的长，得BD的长．
【详解】解：连结CO，BC，
∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
又∵∠D=30°，
∴∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，即BC=OC=OB，
∴∠BCD=90°﹣∠OCB=30°，
∴BC=DB，
又∵直径AB⊥弦CF，
∴直径AB平分弦CF，即CE=，
在Rt△OCE中，sin∠COE==，
∴OC==4，
∴OA=OC=4．
故选B．
【点睛】本题主要考查考了切线的性质，等边三角形的性质及判定，锐角三角函数等，作出适当的辅助线，得出相等的线段是解答此题的关键．
10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质和判定进行判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，
∴，，，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断．
二、填空题（本题30分）
11. 抛物线的对称轴是直线______．
【答案】
【解析】
【分析】将题目的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的对称轴是直线，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12. 将抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________．
【答案】y=（x+4）2-2
【解析】
【详解】∵y=x2向左平移4个单位后,再向下平移2个单位. ∴y= .故此时抛物线的解析式是y=.故答案为y=（x+4）2-2.
点睛：主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.
13. 若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，则k=_____．
【答案】1
【解析】
【详解】设方程的另一根为x1，
∵x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，
∴x1•0=k﹣1，
解得k=1．
故答案为：1.
14. 若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的计算，正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
【详解】解：如图，连接，作，
∵正六边形的边长为2，
∴．
∴正六边形边心距是．
故答案为：．
15. 如图，是一张顶角为的三角形纸片，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为__________．

【答案】2
【解析】
【分析】根据折叠的性质，，又，可知，根据所对的直角边等于斜边的一半，可知．
【详解】解：∵，
∴，
根据折叠的性质，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的性质以及30°所对的直角边等于斜边的一半，熟悉折叠的性质是解决问题的关键．
16. 某工厂三月份的利润为16万元，五月份的利润为25万元，则平均每月增长的百分率为______．
【答案】
【解析】
【分析】设该工厂平均每月利润增长的百分率是x，那么三月份的利润为16（1+x），五月份的利润为16（1+x）（1+x），然后根据5月份的利润达到25元即可列出方程，解方程即可．
【详解】设该工厂平均每月利润增长的百分率是x，
依题意得：16（1+x）2=25，
∴1+x=±1.25，
∴x=0.25=25%或x=-2.25（负值舍去）．
即该工厂平均每月利润增长的百分率是25%．
故答案为25%．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的知识，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-，难度一般．
17. 若实数a满足a2﹣2a＝3，则3a2﹣6a﹣8的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】先对已知进行变形，所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法即可求解．
【详解】解：∵a2﹣2a＝3，
∴3a2﹣6a﹣8＝3（a2﹣2a）﹣8＝3×3﹣8＝1，
∴3a2﹣6a﹣8的值为1．
故答案是：1.
【点睛】考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．要把a2-2a看作一个整体，整体代入即可求出答案．
18. 从编号为1到10的10张卡片中任取1张，所得编号是3的倍数的概率为________．
【答案】##0.3
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，即概率等于所求情况数与总情况数之比，用1-10中3的倍数的数的个数除以总个数即可求解．
【详解】∵在1-10中，3的倍数的数有3，6，9，
∴所得编号是3的倍数的概率为，
故答案为：．
19. 已知，的直径，弦，垂足为M，则的长为__．
【答案】8或2##2或8
【解析】
【分析】连接，先根据的直径求出半径的长，再根据垂径定理求出的长，然后根据勾股定理求出的长，分两种情况求出即可．
【详解】解：①连接，如图所示：

∵的直径，
∴，
∵弦，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴
②连接，如图所示：

同①得：，
∴；
综上所述，的长为8或2，
故答案为：8或2．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键，注意分类讨论．
20. 如图，在中，，，点D在边上，连接，作于点E，连接．若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作的延长线于点，交于点，作延长线于点，先证明四边形是正方形，再证明是等腰直角三角形，设，则，证明，得到，进而得到，再证明，得出，，然后利用勾股定理，得到，，最后证明，根据对应边成比例，求出的值，即可得出的长．
【详解】解：如图，过点作的延长线于点，交于点，作延长线于点，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
矩形是正方形，
，，，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
设，则，
，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题关键．
三、解答题（共60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的除法运算，先进行分式的混合运算，再代入即可求解．
【详解】解：
，
当时，
原式．
22. 如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：
（1）画出将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到的△AB1C1；
（2）在（1）的条件下，点C旋转经过的路径长为__________．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）分别作出点B和点C绕A点逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）根据弧长公式计算可得．
【小问1详解】
如图所示，△AB1C1即为所求．
【小问2详解】
∵∠CAC1=90°，AC=，
∴点C旋转经过的路径长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了弧长公式．
23. 某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽查部分学生，并对其疫情期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图．已知抽查的学生在疫情期间阅读量为2本的人数占抽查总人数的，根据所给出信息，解答下列问题：
（1）求被抽查学生人数；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若规定：假期阅读3本及3本以上课外书者为完成假期作业，据此估计该校1500名学生中，完成假期作业的有多少人？
（4）已知读5本以上的有4人（2男2女），现从中选派2人参加学校活动，求选出的两名同学恰好是1男1女的概率为多少？（列表或画树状图）
【答案】（1）50人 （2）见解析
（3）1080人 （4）
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，利用样本估计总体，列表或画树状图法求概率：
（1）从统计图中可得调查人数中读2本的学生有10人，占调查人数的，可求出被调查人数，
（2）求出读4本的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体即可；
（4）列表或画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：（人），
答：被抽查人数为50人．
【小问2详解】
解：（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校1500名学生中，完成假期作业的有1080人．
【小问4详解】
解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能情况，其中恰好是1男1女的情况有8种，
，
即恰好是1男1女的概率是．
24. 已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）证明EF、BD互相平分，只要证DEBF是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明；
（2）过D点作DG⊥AB于点G，通过已知可证△ADE是等边三角形，所以CE=2，DE=4，由勾股定理可求DG，继而可求得BD．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，
∴AE=AD，CF=CB，
∴AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
（2）如图，过D点作DG⊥AB于点G，
∵∠A=，AE=AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD=4，
∴DE=AE=4，
∵AE=2EB，
∴BE=2，
在Rt△ADG中，AD=4，∠A=，
∴，
∴DG=，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
25. 为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过8000元，那么该商店至多购进A种纪念品几件？
【答案】（1）A种纪念品每件100元，B种纪念品每件50元；
（2）商店至多可购进A种纪念品60件．
【解析】
【分析】（1）设A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）设商店最多可购进A纪念品a件，则购进B纪念品件，根据购买这100件纪念品的资金不超过8000元为不相等关系建立不等式求出其解即可．
【详解】解：（1）设A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，
由题意，得，
解得：．
答：A种纪念品每件100元，B种纪念品每件50元；
（2）设商店可购进A纪念品a件，则购进B纪念品件，由题意得
100a+50≤8000，
解得：a≤60．
答：商店至多可购进A种纪念品60件．
26. 如图，内接于圆O，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，于D交圆O于E，于H，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若平分，延长交于P，，，求长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，得出由三角形内角和得出根据圆周角定理得代入可得结论；
（2）证明得再证明得从而可证明；
（3）过点P作于点N，过点O作于点Q，则四边形是矩形，得出证明得出证明得出求出，由勾股定理求出，由相似得出设求出由勾股定理可求出的长．
【小问1详解】
连接，如图，

∴；
【小问2详解】
∵
∴
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴；
【小问3详解】
过点P作于点N，过点O作于点Q，则四边形是矩形，

∴
∵平分
∴
又
∴
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
在中，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
设
∴
又
∴
解得，
∴
∴
在中，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．
27. 如图1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线分别与x轴、y轴交于点B、A，点B坐标为，抛物线与y轴交于点D，顶点C坐标为．
（1）求抛物线解析式；
（2）E为上一点，连接，与交于点F，若，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点P的横坐标为，过P作轴于点M，x轴上有一点，连接、，延长交延长线于点Q，连接，若，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）点E的坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）把点B坐标为代入求出，根据顶点C坐标为，求出，即可得出；
（2）设点E的坐标为：，根据中点坐标公式得出，根据点F在直线上，得出，求出，即可得出答案；
（3）过点Q作轴于点H，证明，得出，证明，得出，设点Q的坐标为，根据，，，，得出，，，，即，求出，得出，证明，得出，即，求出，得出点P的坐标即可．
【小问1详解】
解：把点B坐标为代入得：，
解得：，
把代入得：，
∵顶点C坐标为，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：根据解析（1）可知，直线的解析式为直线，
把代入得：，
∴，
设点E坐标为：，
∵，
∴点F为的中点，
∴点F的坐标为：，即，
∵点F在直线上，
∴，
解得：，
∴点E的坐标为：；
【小问3详解】
解：过点Q作轴于点H，如图所示：
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点P的横坐标为，
∴点P的纵坐标为，
设点Q的坐标为，
∵，，，，
∴，，，，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，三角形相似的判定和性质，求二次函数解析式，补角的性质，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线，勾股相似三角形，熟练掌握三角形相似的判定和性质．