陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题

这是一份陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的值等于（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.
【详解】.
故选：A.
【点睛】此题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解．
【详解】解：∵主视图是直角三角形，
故A，C，D选项不合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高3. 反比例函数一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图像与性质，将选项中各点的坐标代入验证即可得到答案，熟记反比例函数的性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、，则反比例函数不经过该点，不符合题意；
B、，则反比例函数经过该点，符合题意；
C、，则反比例函数不经过该点，不符合题意；
D、，则反比例函数不经过该点，不符合题意；
故选：B．
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据顶点式解析式即可解答．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
【点睛】此题考查了顶点式解析式的组成特点：中顶点坐标为．
5. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A. B. 7C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
6. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）

A. B. C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵中，点M是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键．
7. 如图，露在水面上的鱼线长为.钓鱼者想看看鱼钧上的情况把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，试问的鱼竿有多长?设长，则下所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】题目主要考查勾股定理的应用，是解题关键．利用钓鱼竿长度不变列出方程即可．
详解】解：设长，则，
在中，，
在中，，
，
，
即．
故选A．
8. 如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是
A. B. ，随的增大而减小
C. 图象也经过点D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】将点代入到函数解析式，求出k，得到反比例函数解析式，可判断选项A是否正确；根据函数图像判断选项B；将点B坐标代入到函数解析式，查看点B是否在函数图像上，判断选项C；将代入到函数解析式，求出函数值，再结合函数图像判断选项D即可．
【详解】解：将点代入反比例函数的解析式，可得，解得，
∴该反比例函数解析式为，故A正确；
由函数图像可知，当时，随的增大而减小，故B正确；
将代入到函数解析式，解得，
∴图象也经过点B，故C正确；
当时，可解得，由图像可知反比例函数在各个象限内均为y随x的增大而减小，所以当时， ，故D错误．
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质与图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质及图像上点的坐标特征是解题关键．
9. 如图，⊙O的半径为2，内接于⊙O，过点O作，交⊙O于点D．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和性质以及圆周角定理，勾股定理、平行线的性质：先根据，得，结合以及三角形的内角和性质，列式计算，得，再根据勾股定理，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
则
那么
故选：C
10. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可．
【详解】解：令，则和，
解得或或或，
不妨设，
∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴与原点关于点对称，
∴，
∴或（舍去），
∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共计18分）
11. 如图是某书店扶梯的示意图，扶梯的坡度，王老师乘扶梯从扶梯底端以米/秒的速度用时秒到达扶梯顶端，则王老师上升的铅直高度为______米．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
【详解】解：由题可知米，
设，则，
根据勾股定理得到：，
即，
解得：，（舍去）
∴王老师上升的铅直高度为米，
故答案为：10．
12. 方程的两根为x1、x2，且，则___________
___________
【答案】-3
【解析】
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入即可求得m的值.
【详解】由题意得：，
∵，
∴，
∴，
得m=-3.
故填：-3.
【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的两个关系式即可代入求出m的值.
13. 将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移________个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【答案】2或4##4或2
【解析】
【分析】先求出抛物线向下平移1个单位长度后与的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度．
【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为，
令，则，
解得，，
∴抛物线与的交点坐标为和，
∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：2或4．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
14. 已知二次函数（为常数，且）的图像上有三点，则的大小关系是____．（用“<”连接）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用二次函数增减性比较函数值大小，涉及二次函数图像与性质，求出对称轴，得到到对称轴距离为，再由二次函数，开口向上确定，点到对称轴距离越近函数值越小即可得到答案，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键．
【详解】解：二次函数（为常数，且）开口向上、对称轴为，
到对称轴距离为，
抛物线开口向上，确定点到对称轴距离越近函数值越小，
，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是________．
【答案】2
【解析】
【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答．
详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，

故答案为：2．
【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16. 如图，在矩形中，，在平面内有一点，，过点作于点，且，连接为线段上一点，且，连接，则的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】由，，可知，则点为动点，轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动；点轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动；点为动点，轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动；如图所示，则的最小值转化为定点到定点的距离减去，求出，代值即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，由，，可知，则点为动点，轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动；
由，点为主动点，轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动，
点为从动点，且在点的运动过程中，（定比），（定角），根据瓜豆原理得到点轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动；
点为动点，轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动；如图所示：
的最小值转化为定点到定点的距离减去，
，，
，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及动点为圆、瓜豆原理得动点轨迹、勾股定理等知识，根据题意，准确得到各个动点的轨迹是解决问题的关键．
三、解答题（共9小题，共计72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式特殊角的三角函数值、绝对值运算及负整数指数幂等，根据相关运算法则逐步运算，再运用实数混合运算法则求解即可得到答案，熟记相关运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：
．
18. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】采用因式分解法求解即可.
【详解】解：，
，
或，
，.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，属于基础题.
19. 如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）
【答案】作图见解析.
【解析】
【详解】【分析】根据尺规作图的方法过点D作AM的垂线即可得．
【详解】如图所示，点P即为所求作的点．
【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键．
20. 垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一．为营造人人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动，决定从A，B，C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲，抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．
（1）从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是 ；
（2）按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者同时被抽中的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是；
（2）利用画树状图或列表法求概率即可．
【小问1详解】
解：从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：方法一：根据题意可画树状图如下：

由树状图可知共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中A，B两名志愿者同时被选中的有2种，
∴P（A，B两名志愿者同时被选中）．
方法二：根据题意可列表如下：
由表格可知共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中A，B两名志愿者同时被选中的有2种，
∴P（A，B两名志愿者同时被选中）．
【点睛】本题考查列表法和树状图法求概率，掌握概率的求法是解题的关键．
21. 新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度．如图所示，旗杆直立于旗台上的点处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端处，此时，量得小华的影长，小华身高；然后，在旗杆影子上的点处，安装测倾器，测得旗杆顶端的仰角为，量得，，旗台高．已知在测量过程中，点在同一水平直线上，点在同一条直线上，均垂直于．求旗杆的高度．（参考数据：）
【答案】旗杆的高度为
【解析】
【分析】本题考查测高，涉及三角函数测高、利用太阳光测高、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，设，在中，解直角三角形得到，从而求出相关线段长，再根据，由相似列式求解即可得到答案，掌握测高题型及解法是解决问题的关键．
【详解】解：过作，如图所示：
设，则，
，
，
在中，，解得，
，即，
在太阳光下，，则，
，解得，
答：旗杆的高度为．
22. 如图，在中，对角线与相交于点O，，过点B作交于点E．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的判定，邻边相等的平行四边形是菱形，结合等腰三角形性质即可得证；
（2）先由菱形性质得到，再由相似三角形的判定与性质列比例式代值求解即可得到．
【小问1详解】
证明：在中，对角线与相交于点O，，
，
是菱形；
【小问2详解】
解：在菱形中，，，
，
在中，，
，
，
，
，则，即，解得．
【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及菱形判定、等腰三角形性质、菱形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
23. 如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交于点F．
（1）求证：．
（2）若的直径为5，，则CF的长为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；
（2）连接AD，在Rt△ABD中利用∠ABC的余弦值求出BD，再在Rt△BCF中利用∠C的余弦值求出即可求出BC．
【小问1详解】
证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
【小问2详解】
解：连接AD，
∵AB是的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠ABC=∠ACB，，
∴，
∴BD=×5=4．
∵AB=AC，∠ADB=90°，
∴BC=2BD=8，
∵，
∴CF=×8=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握切线的性质和余弦的定义是解答本题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，，三点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在直线上是否存在点，使得与相似．若存在，求出点的坐标：若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题中信息，利用二次函数交点式待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）数形结合，分三种情况讨论，利用相似三角形的性质列式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：抛物线过，，
设，
抛物线过，
，解得，
该抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：如图所示：
抛物线过，，三点，
在中，，，
若在直线上是否存在点，使得与相似，必须在有一个角为，
当在右侧上时，中没有角可以是，不存在点，使得与相似；
当在上时，若，，则存在点，使得，如图所示：
，即，
，即；，即，则；
当在左侧时，，则存在点，使得，如图所示：
，即，
，即；，即，则；
综上所述，在直线上是否存在点或，使得与相似．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式、相似三角形与直线综合，涉及相似三角形的性质等，吗，数形结合，熟练掌握待定系数法以及相似三角形的形式及坐标求法是解决问题的关键．
25. 问题发现
（1）如图①，为边长为2的等边三角形，D是边上一点且平分的面积，则线段的长度为 ；
问题探究
（2）如图②，中，，点M在上，点N在上，若平分的面积，且最短，请你画出符合要求的线段，并求出此时与的长度．
问题解决
（3）如图③，某公园的一块空地由三条道路围成，即线段，已知米，米，，的圆心在边上，现规划在空地上种植草坪，并从的中点P修一条直路（点M在上）．请问是否存在，使得平分该空地的面积？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）的长度为，．（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）根据题意，是中线，利用等腰三角形的性质推出，利用勾股定理求解即可解决问题．
（2）如图②中，连接，交于O，过O作直线，交于M，交于N，首先证明将四边形分成面积相等的两部分，当时，是最短．
（3）如图③中，过点P作交于H，交于O，作于Q，连接．由，推出，推出当时，平分该空地的面积，利用参数构建方程解决问题即可．
详解】解：（1）如图①中，
∵平分的面积，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图②中，连接，交于O，过O作直线，交于M，交于N，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
即将四边形分成面积相等的两部分，
当时，最短，如图②−1中，
过A作于E，
在中，∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴此时的长度为，．
（3）如图③中，过点P作交于H，交于O，作于Q，连接．
由题意，点O是所在圆的圆心，
∵，
∴，，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，平分该空地的面积，
设
在中，∵，
∴，
解得，
设则有
解得，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．A
B
C
A
B
C