河南省濮阳市2023届高三下学期第一次摸底考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份河南省濮阳市2023届高三下学期第一次摸底考试数学（理）试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数，则( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，则集合的子集个数为( )
A.3B.4C.6D.8
3．某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线.经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数x与月产量y（件）之间的统计数据如下表：
由数据可知x，y线性相关，且满足回归直线方程，则当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为( )
A.73件B.79件C.85件D.90件
4．函数的大致图象为( )
A.B.
C.D.
5．若的展开式中常数项为，则正整数n的值为( )
A.6B.7C.8D.9
6．设，，且，则( )
A.B.C.D.
7．已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
8．在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为( )
A.B.C.D.
9．已知为抛物线的准线上一点，则的最小值为( )
A.B.C.D.
10．已知实数a，b，c满足，，，且，则( )
A.B.C.D.
11．分别过椭圆的左、右焦点、作平行直线、，直线、在x轴上方分别与C交于P、Q两点，若与之间的距离为，且（S表示面积，O为坐标原点），则C的离心率为( )
A.B.C.D.
12．已知函数与的图象没有公共点，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知正六边形ABCDEF的边长为2，则_________.
14．已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为1与5.若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为_________.
15．已知为奇函数，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围是_________.
16．如图，已知P，Q分别为两边上的点，，，过点P，Q作圆弧，R为的中点，且则线段长度的最大值为_________.
三、解答题
17．在数列中，，.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前n项和为.若，求正整数k的值.
18．某出租车公司为推动驾驶员服务意识和服务水平大提升，对出租车驾驶员从驾驶技术和服务水平两个方面进行了考核，并从中随机抽取了100名驾驶员，这100名驾驶员的驾驶技术与性别的2×2列联表和服务水平评分的频率分布直方图如下，已知所有驾驶员的服务水平评分均在区间内.
（1）判断能否有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关；
（2）从服务水平评分在区间，，内的驾驶员中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取4人，记X为4人中评分落在区间内的人数，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
19．在如图所示的六面体中，平面平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）若，，两两互相垂直，，，求二面角的余弦值.
20．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在C上，且的面积为6.
（1）求C的方程；
（2）若过点且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，Q为x轴上一点，满足，证明：为定值.
21．已知函数.
（1）若的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为2，求a的值；
（2）若方程有三个不同的实数根，求a的取值范围.
22．在直角坐标系xOy中，已知点，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是.
（1）求l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设l与C相交于点A，B，求的值.
23．已知正实数x，y，z满足，
（1）证明：；
（2）求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：复数，故，
所以，
故选：C.
2．答案：D
解析：由已知集合，，
联立和，可得或或，
则，
故集合的子集个数为个，
故选：D.
3．答案：C
解析：依题意可得，，
因为回归直线方程必过样本中心点，即，解得，所以，
当时，
故当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为85件.
故选：C.
4．答案：C
解析：由题意知函数的定义域为，
因为，所以为奇函数，故排除A；
因为，所以排除B；
因为，所以排除D.
故选：C.
5．答案：A
解析：二项式展开式的通项为，
所以且，
显然且为整数，即n为3的倍数，故排除B、C，
又为的因数，所以或，
当时，此时，不符合题意；
当时，此时符合题意.
故选：A.
6．答案：D
解析：因为，所以，即，
即，
即，
因为，，所以，
所以，即.
故选：D.
7．答案：B
解析：如图，因为是边长为6的正三角形，则其外接圆的半径，解得，
又，
设圆柱的母线长为l，则，解得，
所以圆柱的外接球的半径，
所以外接球的表面积为.
故选：B.
8．答案：D
解析：因为直三棱柱，所以底面，
又因为，所以，，两两垂直，
以，，为x，y，z轴建立如图所示坐标系，
设，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，解得，
所以直线与侧面所成的角的正弦值，
解得，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
则，
所以异面直线与所成的角的正弦值为.
故选：D.
9．答案：C
解析：作出图形，如图所示，根据题意可知:点，，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
则，
如图（当点A，P，F三点共线时取等号），
因为，
所以的最小值为，
故选：C.
10．答案：A
解析：因为，所以，，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
又当，时，，当，，
由此作出函数的大致图象如图所示，
因为，，且，，，
则由图可知，，
所以.
故选：A.
11．答案：A
解析：由题意知直线、的斜率一定存在，
设、，过点作于点M，
由题意知，，
所以，设，则，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
同理在中利用余弦定理可得，
因为，所以，
即，即，所以.
故选：A.
12．答案：B
解析：若函数与图象没有公共点，
即相当于无解，
变形得，，
令，则，
令，则在上为增函数，
而，，故唯一解，，
且，，化简得，，
即，设，，
则，故在为增函数，
故，所以，
当时，；时，，
所以，
所以，当时无解，即.
故选：B.
13．答案：
解析：由题意，作图如下：
在正六边形中，易知，，，，
则与的夹角为，即，
在中，，
.
故答案为：.
14．答案：
解析：依题意可知圆心C的横坐标为，半径为，
故圆C的标准方程为.
故答案为：.
15．答案：
解析：因为为奇函数，
故，，
即，由于，故，则，，
由于，故，所以，
由，可得，
即，，，
或，，，
对任意，存在，满足，
故，则，，，k取负值，
则只能，此时，
或，则，，则，
综合可得或，
即实数的取值范围是，
故答案为：.
16．答案：
解析：设，则，在中，由正弦定理知，
所以，因为R为的中点，所以，
则，在中由余弦定理，
解得，
在中，，
由余弦定理可得
所以当时，取得最大值，
即的得最大值.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，，且，
所以，
当时，
当时
，
又时也符合上式，
所以.
（2）由（1）可知，所以，
所以，
所以，
则，解得.
18．答案：（1）不能有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关
（2）分布列见解析，
解析：（1）由题意可知：，，，，则，
即，
故不能有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关.
（2），解得，
由频率分布直方图，则服务水平评分在区间，，内驾驶员的频率分别为0.28，0.16，0.04，
即其比为，因此，分层抽样的12人在区间，，内驾驶员人数分别为7，4，1，
故X的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，，
则其分布列如下表：
.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取，中点分别为F，E，连接，，，则，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
又因为，所以，所以四边形为平行四边形，，，
同理可得四边形为平行四边形，，，
因为平面平面，平面平面，
所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为，，两两互相垂直，
以，，为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
由题意可得，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，解得，
设平面的法向量，
则，解得，
所以，
由图可知所求角为锐角，所以二面角的余弦值为.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意点在C上，且的面积为6，
可得且，则，
又，解得，，
故双曲线方程为.
（2）证明：由（1）知，故设斜率为k的直线l为，
由于直线l交双曲线C的右支于A，B两点，故，
联立，可得，
当时，直线l与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线只有一个交点，不合题意；
故，此时，
设，，则，，
则，，
即A，B的中点坐标为，
因为Q为x轴上一点，满足，故Q为的垂直平分线与x轴的交点，
的垂直平分线的方程为：，
令，则得，即，
所以，
又，
又因为A，B在双曲线的右支上，故，，
故，即，
故，即为定值.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1），，，
则的图象在点处的切线为，
由题意可知，令得，令得，
则，解得.
（2）令，即，
令，则与有三个不同的交点，
由题意可知，，
则是奇函数，图像关于原点对称，
当时，，
，，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，同时，
此时，
当时，由奇函数性质可知，
当时，单调递减，同时，
当时，单调递增，此时，
根据图像可知，与有三个不同的交点需要满足或者，
即a的取值范围.
22．答案：（1）直线的普通方程为，
（2）
解析：（1）由得，
两式相减得，所以直线的普通方程为.
由，
得，
即，即，
所以曲线C的直角坐标方程为.
（2）由于，所以P在圆C外，
将代入，
化简得，
，
所以，，，均为负数，
所以，
.
23．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为x，y，z为正实数且满足，
所以
，
当且仅当，即，，时取等号，
所以.
（2）由柯西不等式可知，
当且仅当，，时等号成立，
所以的最小值为.
x
4
6
8
10
y
30
40
60
70
0.10
0050
0.010
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
3
4
P