河南省济洛平许2023-2024学年高三第三次质量检测数学试题

这是一份河南省济洛平许2023-2024学年高三第三次质量检测数学试题，共10页。试卷主要包含了直线，下列结论正确的是，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题；每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，则其渐近线的方程为（ ）
A.B.C.D.
3.已知正项等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ）
A.29B.31C.33D.36
4.有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（ ）
A.180种B.150种C.90种D.60种
5.函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足.则下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数在上单调递威
C.若.则的最小值是1
D.把的图象向左平移1个单位长度，得到的图象
6.过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，点的坐标为，若，则（ ）
A.1B.2C.3D.4
7.我们称为“二阶行列式”，规定运算.已知函数的定义域为，若对定义域内的x，y都有，且，则（ ）
A.B.是偶函数
C.是周期函数D.没有极值点
8.直线：与：交于点，圆：上有两动点A，B，且，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列结论正确的是（ ）
A.数据36，28，22，24，22，78，32，26，20，22的第80百分位数为34
B.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
C.已知随机变量，若，则
D.随机变量，若，则
10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.在定义域上是增函数
B.的值域为
C.
D.若，，，则
11.已知正方体的棱长为2，，，.点是棱上的一个动点，则（ ）
A.当且仅当时，平面
B.当，时，平面
C.当时，的最小值为
D.当时，过B，M，N三点的截面是五边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知（为虚数单位），为实系数方程的一个根，则______.
13.若，则不等式的解集是______.
14.已知四棱锥的高为2，底面为菱形，，E，F分别为PA，PC的中点，则四面体的体积为______；三棱锥的外接球的表面积的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且.
（1）求证：；
（2）若的平分线交于，且，求线段的长度的取值范围.
16.（15分）
某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%.学生自由选择座位，先到者先选.甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，.若主持人随机从场下学生中选一人参与互动.
（1）求选到的学生是艺术生的概率；
（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大.
17.（15分）
在三棱锥中，，，，，.
（1）如图一，为的重心，若平面，求的值；
（2）如图二，当，且二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值.
图一 图二
18.（17分）
已知是椭圆：上的动点，过原点向圆：引两条切线，分别与椭圆C交于P，两点（如图所示），记直线OP，的斜率依次为，，且.
（1）求圆的半径；
（2）求证：为定值；
（3）求四边形的面积的最大值.
19.（17分）
已知函数，为自然对数的底数.
（1）若此函数的图象与直线交于点，求该曲线在点处的切线方程；
（2）判断不等式的整数解的个数；
（3）当时，，求实数的取值范围.
济洛平许2023—2024学年高三第三次质量检测
数学试题评分参考
一、单选题：
DABCCBDB
二、多选题：
9.AD10.BD11.ABC
三、填空题：
12.13.14.；（答对一空的给3分）
四、解答题：
15.（1）证明：由题可知，
故.
所以在中，或.
又因为，所以
所以.
（2）在中，由正弦定理可得，
即.
所以.
因为是锐角三角形，且，
所以
解得，.
所以.
所以线段长度的取值范围是.
16.解：设“任选一名学生恰好是艺术生”，“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”，“所选学生来自丙班”
由题可知：，，，
，，
（1）由已知得：
（2）；
；
所以其来自丙班的可能性最高.
17.解：（1）连接并延长与交于点，连接，
所以平面平面.
因为平面PAB，平面ACE，
所以.
又因为为的重心，所以.
所以.
所以，即.
（2）设为的中点，连接.
因为，，所以，；
又，所以平面.
所以平面平面，过点在平面内作的垂线，
如图所示，分别以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
所以，，，
因为，所以.
因为是二面角的平面角，
二面角的余弦值为，
所以.
所以，，.
不妨设平面的法向量，
所以所以
可取.
设直线与平面所成的角为，
所以.
18.解：（1）由题意知：直线，的方程分别为，
则，是方程，即方程的两根.
当时，圆与轴相切，直线的斜率不存在，矛盾.
于是，化简得，
所以.
（2）设，，依题意，，则有.
即，解得，
于是.同理
所以
（2）
，
当且仅当时等号成立.
综上所述，四边形面积的最大值为.
19.解：（1），所以
又.
所以该曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）的定义域为，，
当时，，单调递增；
当，，单调递减.
又，，，，
所以，不等式的整数解的个数为3.
（3）不等式可整理为.
令，
所以当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，
又，所以令，则.
令，，则，
令，则，
令，，则，
所以单调递减，，
所以，单调递减，，
所以，所以，
所以单调递减，.
所以.