2024年河南省许济洛平高考数学第四次质检试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年河南省许济洛平高考数学第四次质检试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a+b|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
2.过抛物线y2=8x的焦点作直线L交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为4，则|AB|等于( )
A. 14B. 12C. 10D. 8
3.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题为真命题的是( )
A. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
B. 若m//α，n⊂α，则m//n
C. 若n//m，m⊄α，n⊂α，则m//α
D. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
4.为加强校企合作，促进大学毕业生就业，某企业欲从本市科技大学的农学院、外国语学院、管理学院这三个学院招录6名大学生，每个学院至少招录1名，则不同的名额分配方案有( )
A. 10种B. 20种C. 216种D. 729种
5.已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2=12，且a1，a2+6，a3成等差数列，则q=( )
A. 32B. −32C. 3D. −3
6.在△ABC中，AB=3 2,cs∠BAC=−13,AD⊥AC，且AD交BC于点D，AD=3，则sinC=( )
A. 13B. 33C. 63D. 2 23
7.若关于x的不等式ex+x+2ln1x≥mx2+lnm恒成立，则实数m的最大值为( )
A. 12B. e24C. 1D. e2
8.已知点F1(−c,0)，F2(c,0)分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与圆(x−c2)2+y2=b24(c>b)相切，切点为S，直线l与椭圆交于点P，且点S在P与F2之间，若△PF1F2的面积为b2，则椭圆的离心率为( )
A. 2 55B. 45C. 23D. 53
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数ω=−12+ 32i，ω−为ω的共轭复数，则( )
A. ω⋅ω−=1B. ω2+ω−2=ω+ω−
C. 1+ω+ω2=0D. ω+ω2+ω3+⋯+ω2024=1
10.已知函数f(x)=sin3x+cs3x，则( )
A. 当f(x)0，
不等式ex+x+2ln1x≥mx2+lnm⇔ex+x≥mx2+lnm−2ln1x=eln(mx2)+ln(mx2)，
令f(x)=ex+x，(x>0)，
则f′(x)=ex+1>0，
所以f(x)在定义域内严格单调递增，
所以若有f(x)≥f(ln(mx2))成立，则必有x≥ln(mx2)=lnm+2lnx，
即lnm≤x−2lnx对于任意的x>0恒成立，
令g(x)=x−2lnx，(x>0)，则g′(x)=1−2x=x−2x，
当00恒成立，进一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过O作直线l的垂线，垂足为T，设|PF1|=m，|PF2|=n，
由椭圆定义知：m+n=2a，且有直线l与圆(x−c2)2+y2=b24(c>b)相切，
DS⊥直线l，且|DS|=b2，又因为△PF1F2的面积为b2，
所以S△PF2F1=b2tan12∠F1PF2=b2，所以∠F1PF2=π2，即F1P⊥F2P，
即F1P⊥l，又因为D(c2,0)，DS⊥直线l，且OT⊥l，
所以DS//OT//F1P，在△F2OT中，点D为OF2中点，
所以|DS|=12|OT|，同理在△F2PF1中，|OT|=12|PF1|，
所以|PF1|=m=2|OT|=4|DS|=2b，所以|PF2|=n=2a−2b，
所以S△PF2F1=2b×(2a−2b)×12=b2，
解得2a=3b，符合题意(c>b)，即ba=23，
所以e= 1−b2a2= 53.
故选：D.
设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆定义得出m+n=2a，再由题意解出m，n，最后由面积公式得出ba=23，进而求出椭圆离心率．
本题考查椭圆的简单性质的应用，利用椭圆定义及性质结合图形得出齐次方程是解决圆锥曲线离心率问题的一种重要的方法，是中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因为ω=−12+ 32i，所以ω−=−12− 32i，
所以ω⋅ω−=(−12+ 32i)(−12− 32i)=(−12)2−( 32i)2=14+34=1，A正确；
对于B，ω2+ω−2=(−12+ 32i)2+(−12− 32i)2=14− 32i−34+14+ 32i−34=−1，
ω+ω−=−12+ 32i−12− 32i=−1，B正确；
对于C，1+ω+ω2=1−12+ 32i+(−12+ 32i)2=12+ 32i+14− 32i−34=0，C正确；
对于D，因为1+ω+ω2=0，所以(1+ω+ω2)ωn=ωn+ωn+1+ωn+2=0，
所以ω+ω2+ω3+⋯+ω2024=ω+ω2=−1，D错误．
故选：ABC.
根据共轭复数的概念得ω−=−12− 32i，然后根据复数乘法运算逐一计算即可判断ABC；由1+ω+ω2=0可得ωn+ωn+1+ωn+2=0，然后可判断D.
本题主要考查复数的运算，考查转化能力，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：f(x)=sin3x+cs3x=(sinx+csx)(sin2x−sinxcsx+cs2x)
= 2sin(x+π4)⋅(1−12sin2x)=(sinx+csx)(1−sinxcsx)，x∈R，
A：因为f(x)= 2sin(x+π4)⋅(1−12sin2x)，且f(x)0，所以 2sin(x+π4)1，
因为k=f(b)−f(c)b−c=2−2alnbb−1b，所以由k+a=2得，b−1b−2lnb=0.
构造函数h(x)=x−1x−2lnx,(x>1)，
而h′(x)=x2−2x+1x2>0恒成立，
所以h(x)在(1,+∞)上单调递增，即h(x)>h(1)=0.
所以当b>1时，b−1b−2lnb>0恒成立即b−1b−2lnb=0无解．
所以不存在a的值，使得k+a=2.
【解析】(1)求出函数的导数，求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程即可；
(2)假设a存在，使得k+a=2，依题意有b，c是方程f′(x)=x2−ax+1x2=0(x>0)的两个不等实数根，利用韦达定理得到b+c=a(a>2)且bc=1，不妨令b>c，则b>1，表示出k，得到b−1b−2lnb=0，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再说明理由即可．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
18.【答案】解：(1)不妨设V(x,y)是曲线C上的任意一点，
因为点A(− 3,0),B( 3,0)且动点V满足直线VA与直线VB的斜率之积为13，
所以yx+ 3⋅yx− 3=13，
整理得x23−y2=1，y≠0，
则曲线C的轨迹方程为x23−y2=1(y≠0)；
(2)①当直线PQ斜率存在时，
不妨设直线l的方程为y=kx+t，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x23−y2=1y=kx+t，消去y并整理得(3k2−1)x2+6ktx+3(t2+1)=0，
此时Δ=(6kt)2−4(3t2+3)(3k2−1)>0，
解得3k2−t2−1