河南省许平汝名校2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

这是一份河南省许平汝名校2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知函数，已知函数，则，若实数x，y满足，则等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，三角恒等变换，解三角形，平面向量。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A.2B.3C.4D.5
2.已知，，向量，满足，则“，不共线”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知，，，则（ ）
A.B.C.D.
4.若曲线与轴，直线的交点分别为A，B，O为坐标原点，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
5.已知，是以AB为直径的圆上一点，，为BC的中点，则（ ）
A.B.C.D.
6.已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（ ）
A.6B.4C.3D.2
8.在中，角A，B为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（ ）
A.为偶函数B.的最小正周期为
C.在区间上单调递诚D.在上有4个零点
10.若实数x，y满足，则（ ）
A.B.
C.D.
11.已知函数，则（ ）
A.的图象关于点对称B.为奇函数
C.是的极小值点D.在上有极值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则曲线在点处的切线方程为______.
13.若定义在上的函数满足：，且，则______.
14.如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线，组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值；
（2）已知，且，求的值.
16.（本小题满分15分）
已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为.
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围.
17.（本小题满分15分）
在中，角A，B，C的对边分别为，，，.
（1）求；
（2）已知，为的平分线，交AC于点，且，为线段AC上一点，且，求的周长.
18.（本小题满分17分）
如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）证明：当时，只有1个零点；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）若，设，证明：，.
高三数学参考答案、提示及评分细则
1.B 由和，得，所以的真子集个数为.故选B.
2.A 若，不共线，由及平面向量基本定理，得；若，无论，共线与否，都有.综上，“，不共线”是“”的充分不必要条件.故选A.
3.D 因为，，，所以.故选D.
4.C 由，得，由，得，解得，则；由，得，解得，则.，，所以.故选C.
5.B 取AB的中点，因为为BC的中点，所以，所以.故选B.
6.D 由三角函数的定义，得，，所以，，.故选D.
7.D 令，则，且原函数变为，令，易知，所以为上的奇函数，则，，所以，由奇函数性质可知，所以，所以.故选D.
8.A 由，可得，即，因为，，所以当时，，，则，不符合题意；当时，，，，不符合题意，所以，从而，由，得，所以的周长，当且仅当时取等号.故选A.
9.AB .显然为偶函数，故A正确；对于B，最小正周期，故B正确；对于C，当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；对于D，由，得，所以在上的零点有，，，共3个，故D错误.故选AB.
10.AC 设，则，代人，整理得，由，解得，即，则A正确；，即，则C正确；取，满足，此时，，则B和D错误.综上，故选AC.
11.ABC，所以的图象关于点对称，故A正确；为奇函数，故B正确；，则，当时，，，；当时，，，，所以是的极小值点，故C正确；由，得，又在上单调递减，所以在上单调递减，故在上无极值，故D错误.故选ABC.
12. 由题意得，所以切线斜率，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.
13.3 因为，所以，所以，4为的一个周期，则，又，取，得，所以，故.
14. 如图，设，，连接AB交曲线于点.根据曲线的性质，则A，B关于对称，曲线关于点对称，所以可将曲线与轴、轴围成的区域割补为直角的区域，于是曲线与轴、轴围成的区域的面积就是直角的面积，即；根据对称性，可得曲线与x，y轴围成的区域的面积也为，又半圆，半圆的面积都为，故曲线所围成的“心形”区域的面积为.
15.解：（1）由，得，或.
因为是方程的一个实根，且是第三象限角，所以，
所以.
（2）因为，
所以，则，
因为，所以，，
故，
.
16.解：（1），
因为的图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为，
所以，所以.
所以，
由，得，
所以的单调递增区间为.
（2）由题意可知，
所以，
由题意，关于的方程在上有解，
因为，所以，
所以的值域为，
令，，
则的值域为，
所以，解得，
所以的取值范围为.
17.解：（1），，
，
，
，，，
又，.
（2）因为BD为的平分线，，所以，
又，，
所以，
即，①
由余弦定理，得，即，②
由①②可得（舍去负值），，
所以a，c是关于的方程的两个实根，解得.
又因为BD为的平分线，所以，
又，，
所以，，
所以的周长为.
18.（1）解：因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，
所以.
（2）证明：由（1）知，
所以，
即.
（3）解：因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由（2）得.
令，则，
因为，所以，即，
令，
因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为.
19.（1）证明：时，，定义域为，
，
因为，所以，又，
所以在上恒成立，所以在上单调递减，
又，所以只有1个零点.
（2）解：的定义域为，，
令，则，由于，
当，即时，，，所以在上单调递增；
当，即时，由，得
，，
令，即，得或，
令，即，得，
所以在上单调递减，
在和上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，
在上单调递减.
（3）证明：若，则，
要证，即证，
因为，即证，
即证.
设，则只需证明，化简得，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，即，得证.