贵州省贵阳市花溪区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）
A. （﹣6，1）B. （1，6）C. （2，﹣3）D. （3，﹣2）
【答案】B
【解析】
【分析】先根据点，在反比例函数的图象上求出的值，再根据的特点对各选项进行逐一判断．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
A、，此点不在反比例函数图象上，不符合题意；
B、，此点在反比例函数图象上，符合题意；
C、，此点不在反比例函数图象上，不符合题意；
D、，此点不在反比例函数图象上，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键．
2. 如图所示，一次函数的图象和反比例函数的图象交于A（1，2），B（-2，-1）两点，若，则x的取值范围是 ( )
A. x<1B. x<-2
C. -21D. x<-2 或 0【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，即可得解.
【详解】根据题意可得，，即一次函数图象位于反比例函数图象的下方，
∴x<-2 或 0故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，难度较易，解此题的关键在于利用函数图形进行判断即可.．
3. 如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向两坐标轴作垂线段，已知，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例系数的几何意义得到，由，得，然后计算．
【详解】解：由，得，
而，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程有实数根可知道判别式大于等于零且，解不等式即可求解．
【详解】解：∵方程有实数根，
∴，，
∴，且．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．
5. 将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数变化规律即可解答．
【详解】解：∵抛物线向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．
6. 若的小数部分是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先估算的大小，得出a的值，然后计算代数式的值即可．
【详解】解：，
∴的整数部分是3，小数部分是，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
7. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把化成，再把代入，进行计算即可得出答案．
【详解】解：，
．
故选：A．
【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是把化成，属于较简单运算．
8. 已知，且．若的面积为8，则的面积是（ ）
A. B. 9C. 12D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形面积比等于边长之比的平方的性质，即可解答．
【详解】解：，且，
，
的面积为8，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形面积之比等于边长之比的平方是解题的关键．
9. 如图，在中，，半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．
详解：∵在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，
∴∠C=120°，
∴图中阴影部分的面积是：=3π，
故选C．
点睛：本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．
10. 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜-1或x＞3．其中，正确的说法有（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．
【详解】解：根据图象可知：
①对称轴＞0，故ab＜0，正确；
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3，正确；
③x=1时，y=a+b+c＜0，错误；
④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；
⑤当y＞0时，x＜-1或x＞3，正确．
正确的有①②⑤．故选B．
【点睛】主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 分解因式=____________．
【答案】．
【解析】
【分析】直接提取公因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
12. 二次函数 的部分对应值列表如下：
则一元二次方程 的解为__________
【答案】2或0
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．先求出对称轴，由表格中的数据可知：当时，，利用二次函数的对称性即可即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
【详解】解：由抛物线的对称性质知，对称轴是直线．
根据表格可知：当时，，
根据二次函数的对称性可知：当时，，
所以一元二次方程的解为或．
故答案为：0或2．
13. 如图，多边形为内接正五边形，与相切于点A，则________．
【答案】##36度
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线的性质定理等知识点；．连接，多边形是正五边形，可求出的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可，作出适当的辅助线是解答此题的关键．
【详解】连接，
∵多边形是正多边形，
∴，
∴，
∵直线与相切于点A，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则_______．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3，
∴S1+S2=3+3-1×2=4．
故答案为：4
15. 如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于______．
【答案】π﹣
【解析】
【分析】根据题意可以得出三角形ACD是等边三角形，进而求出∠AOD，再根据直角三角形求出OE、AD，从而从扇形的面积减去三角形AOD的面积即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E，
∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，
∵AD＝CD，
∴△ACD是正三角形，
∴∠AOD＝120°，OE＝2×cs60°＝1，AD＝2×sin60°×2＝2，
∴S阴影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝×π×22﹣×2×1＝π﹣，
故答案为：π﹣．
【点睛】本题主要考查扇形的面积和三角形的面积，熟练掌握面积公式及计算法则是解题关键.
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法；
首先找出，，，利用公式法解方程即可；
【详解】解：，，，
∵，
∴，
即，．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数中的混合运算，根据特殊角的三角函数进行计算即可求解；
【详解】解：原式

18. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接BF．求证：四边形是矩形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先证四边形是矩形．再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求证 ．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与选择、矩形的判定等知识点．熟记定理内容是解题关键．
19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元；
（2）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元．
【答案】（1）每件衬衫应降价20元
（2）该商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元
【解析】
【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每天多销售件，根据“盈利每件的利润数量”建立方程，即可求解；
（2）设商场每天的盈利为W元，根据“盈利每件的利润数量”表示出W与x的关系式，由二次函数的性质及顶点坐标求出结论．
【小问1详解】
解：设每件衬衫应降价x元，则每天多销售件，
由题意，得，
解得：，，
∵要扩大销售，减少库存，
∴每件衬衫应降价20元；
【小问2详解】
解：设商场每天的盈利为W元，
由题意，得，
，
∴时，W取最大值，最大值为1250．
答：该商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元．
【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的实际应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出方程和函数关系式．
20. 已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，－3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标
（3）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？
【答案】（1）y=－2x－3 （2）（3，0） （3）－1＜x＜3
【解析】
【分析】（1）将（－1，0）和（0，－3）两点坐标代入解析式求解即可得出；
（2）将y=0代入（1）中求到的解析式，解方程即可得到另一个交点的坐标；
（3）观察图象，当图象在x轴下方时找出x的取值范围即可．
【详解】解: （1）由二次函数的图象经过（－1，0）和（0，－3）两点，
得
解这个方程组，得
∴抛物线的解析式为
（2）令，得
解这个方程，得，．
∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．
（3）观察图象可知，当时，y＜0．
【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法和函数的性质是解题关键．
21. 在一个不透明的口袋中有四个手感完全一致的小球，四个小球上分别标有数字－4，－1， 2， 5；
（1）从口袋中随机摸出一个小球，其上标明的数是奇数的概率是多少？
（2）从口袋中随机摸出一个小球不放回，再从中摸出第二个小球：
①请用表格或树状图表示先后摸出的两个小球所标数字组成的可能结果？
②求依次摸出的两个小球所标数字为横坐标，纵坐标的点位于第四象限的概率．
【答案】（1）0.5 （2）①见解析 ②
【解析】
【分析】（1）利用古典概率的求解方法即可求得答案，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【详解】解：（1）从口袋中随机摸出一个小球，其上标明是奇数的概率是P==0.5
（2）①用表格表示摸出的两个小球所标数字所有可能出现的结果如下所示：
②位于第四象限的点有（2，-4）、（2，-1）、（5，-4）、（5，-1）这四个，根据表格可得：处于第四象限的点有4个，则P=.
22. 如图1，点A，B在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接．

（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求的面积；
（3）如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）点E的坐标为或
【解析】
【分析】（1）把点B的坐标代入函数解析式即可求出k，再把点A的坐标代入函数解析式即可求出m；
（2）先根据待定系数法求出直线的解析式，进而可得点M的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可；
（3）设点E的坐标为，用含m的式子表示出，然后利用建立关于m的方程，解方程即可求出答案．
【小问1详解】
∵B在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
把A代入，得；
【小问2详解】
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与y轴的交点M的坐标为，
∴的面积;
【小问3详解】
设点E的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
∵，则当时，
∴，
解这个方程，得：，
∴点E的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
23. 综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片，，，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边上取一点D，连接，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边上时，．
如图3，小红发现，当点D是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在中，，，点D是边上一点，将沿翻折得到．
（1）如图2，当点E在边上时，求证：．
（2）如图3，当点D是的中点时，连接，若，，求的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是外一点，，，，求的长．
【答案】问题1：（1）见解析；（2）；问题2：
【解析】
【分析】问题1：
（1）由，得出结论；
（2）作于G，作于F，根据等腰三角形的性质得出，进而得出的值，可证得，从而，，进而在中利用勾股定理求得，进一步得出结果；
问题2：
连接，作于E，作，交的延长线于F，可证四边形是矩形，从而，，在中利用勾股定理求得，进而求得，从而求得，最后在中利用勾股定理求得结果．
详解】问题1，
（1）证明：∵将沿翻折得到，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图1，
作于G，作于F，
，
由折叠得，，，
∵点D是AC的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
；
问题2，
解：如图2，
连接，作于E，作，交的延长线于F，
，
，，
，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
第一次
第二次
－4
－1
2
5
－4
（-4，-1）
（－42）
（-4,5）
－1
（-1，-4）
（-1,2）
（-15）
2
（2，-4）
（2，-1）
（2,5）
5
（5，-4）
（5，-1）
（5,2）