苏科版八年级数学下册举一反三专题特训专题8.1认识概率【七大题型】(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册举一反三专题特训专题8.1认识概率【七大题型】(原卷版+解析)，共26页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30876" 【题型1 确定事件与随机事件】 PAGEREF _Tc30876 \h 1
\l "_Tc7921" 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 PAGEREF _Tc7921 \h 2
\l "_Tc23617" 【题型3 改变条件使事件发生的可能性相同】 PAGEREF _Tc23617 \h 3
\l "_Tc11287" 【题型4 频率与概率的关系】 PAGEREF _Tc11287 \h 3
\l "_Tc6965" 【题型5 求某事件的频率】 PAGEREF _Tc6965 \h 5
\l "_Tc4135" 【题型6 由频率估计概率】 PAGEREF _Tc4135 \h 5
\l "_Tc4065" 【题型7 频率估计概率的综合运用】 PAGEREF _Tc4065 \h 6
【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 确定事件与随机事件】
【例1】（2022秋•安次区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是（ ）
A．一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性
B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可能性
C．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性
D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性
【变式1-1】（2022秋•安次区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生
B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件
C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生
D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生
【变式1-2】（2022•武昌区模拟）下列事件中，一定是不可能事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的数字是3
B．通常温度降到0℃以下，纯净水结冰
C．度量一个三角形的内角的度数，其和为360°
D．某次抽奖活动中奖的概率为1100，小明买100张奖券，可能会中奖
【变式1-3】（2022•兰考县二模）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个矩形是轴对称图形”是不可能事件
B．“一名射击运动员射击一次正中靶心”是必然事件
C．“明天会下雨”是随机事件
D．“两个整数的和一定大于0”是必然事件
【题型2 判断事件发生的可能性的大小】
【例2】（2022春·天津·九年级期末）某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛．有同学预测“小东夺冠的可能性是80%”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ）
A．小东夺冠的可能性较大B．如果小东和他的对手比赛10局，他一定会赢8局
C．小东夺冠的可能性较小D．小东肯定会赢
【变式2-1】（2022·北京顺义·八年级统考期末）从一副普通的54张的扑克牌中随意抽出一张，有4个事件：①抽到大王；②抽到小王；③抽到2；④抽到梅花．则这4个事件发生的可能性最大的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式2-2】（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）必然事件发生的概率是____．
【变式2-3】（2022秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色．估计各事件的可能性大小，完成下列问题：
（1）可能性最大和最小的事件分别是哪个？（填写序号）
（2）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列： ．
【题型3 改变条件使事件发生的可能性相同】
【例3】（2022春·江苏镇江·九年级统考期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______．
【变式3-1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球．
（1）会出现哪些可能的结果？
（2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？
（3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？
（4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？
【变式3-2】（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，
(1)会出现哪些可能的结果？
(2)事先能确定摸出的一定是红球吗？
(3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？
(4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？
【变式3-3】（2022春·九年级单元测试）盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案．
(1)摸到红球是不可能的；
(2)摸到红球是必然的；
(3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能．
【题型4 频率与概率的关系】
【例4】（2022春·九年级课时练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）
A．可能有50次反面朝上B．每两次必有1次反面朝上
C．必有50次反面朝上D．不可能有100次反面朝上
【变式4-1】（2022秋·山西运城·七年级统考期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______．
①频率就是概率
②频率是客观存在的，与试验次数无关
③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
④概率是随机的，在实验前不能确定
【变式4-2】（2022春·北京西城·九年级北京育才学校校考期末）投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（ ）
A．nm的值一定是12
B．nm的值一定不是12
C．m越大，nm的值越接近12
D．随着m的增加，nm的值会在12附近摆动，呈现出一定的稳定性
【变式4-3】（2022春·云南红河·九年级统考期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（ ）．
下面有四个推断：
①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于0.890；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；
③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；
④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵．A．①②B．①④C．②③D．②④
【题型5 求某事件的频率】
【例5】（2022春·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5-1】（2022春·浙江舟山·九年级校考阶段练习）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（ ）
A．2B．3C．5D．8
【变式5-2】（2022春·九年级课时练习）已知数据：117，4，−5，2π−1，0．其中无理数出现的频率为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【变式5-3】（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为______．
【题型6 由频率估计概率】
【例6】（2022春·陕西榆林·九年级校考阶段练习）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，则刚向其中放入了4个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，若摸球100次，其中20次摸到黑球，则盒中大约有白球（ ）
A．12个B．16个C．20个D．24个
【变式6-1】（2022春·浙江宁波·九年级校联考期中）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：
则a的值最有可能是（ ）
A．3680B．3720C．3880D．3960
【变式6-2】（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为________．（精确到0.01）
【变式6-3】（2022春·全国·九年级专题练习）有两个正方体的积木，如图所示：
下面是淘气掷200次积木的情况统计表：
根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是___号积木，请简要说明你的判断理由__．
【题型7 频率估计概率的综合运用】
【例7】（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个
【变式7-1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
（1）完成上述表格：a=______；b=______；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是______；（结果全部精确到0.1）
（3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？
【变式7-2】（2022·福建厦门·厦门一中校考一模） 某水果公司以3元/kg的成本价新进10000kg柑橘，如果公司希望这批柑橘能获得利润6000元，已知柑橘损坏率统计表如下，请你填写最后一栏数据，完成此表：
(1)损坏率的概率约是多少，并说明理由 (保留小数点后一位)
(2)在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，确定大约定价多少合适？
【变式7-3】（2022·江西南昌·二模）某校为了调查学生对卫生健康知识，特别是疫情防控下的卫生常识的了解，现从九年级1000名学生中随机抽取了部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图(尚不完整)．
请结合图表信息完成下列各题．
（1）表中a的值为_____，b的值为______；在扇形统计图中，第1组所在扇形的圆心角度数为______°；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，请你估计从该校九年级学生中随机抽查一个学生，成绩为优秀的概率．
（3）若测试成绩在60分以上(含60分)均为合格，其他为不合格，请你估计该校九年级学生中成绩不合格的有多少人． 移植棵数n
成活数m
成活率mn
移植棵数n
成活数m
成活率mn
50
47
0.940
1500
1335
0.890
270
235
0.870
3500
3203
0.915
400
369
0.923
7000
6335
0.905
750
662
0.883
14000
12628
0.902
抽查小麦粒数
100
500
1000
2000
3000
4000
发芽粒数
95
486
968
1940
2907
a
抽查的头盔数n
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m
95
194
289
479
769
960
2880
合格头盔的频率mn
0.950
0.945
0.962
0.958
0.961
0.960
0960
灰色的面朝上
白色的面朝上
32次
168次
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球的次数m
65
118
189
310
482
602
摸到黑球的频率mn
0.65
0.59
0.63
0.62
0.603
0.602
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
1000
落在“书画作品”区域的次数m
60
122
180
298
a
604
落在“书画作品”区域的频率mn
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
柑橘总质量n/kg
损坏柑橘质量m/kg
柑橘损坏的频率m/n
300
30.9
0.103
350
35.7
0.102
400
39.2
0.098
450
44.5
0.099
500
50.5
?
组别
成绩x/分
人数
第1组
x<60
20
第2组
60≤x<70
a
第3组
70≤x<80
100
第4组
80≤x<90
65
第5组
90≤x<100
b
专题8.1 认识概率【七大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30876" 【题型1 确定事件与随机事件】 PAGEREF _Tc30876 \h 1
\l "_Tc7921" 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 PAGEREF _Tc7921 \h 3
\l "_Tc23617" 【题型3 改变条件使事件发生的可能性相同】 PAGEREF _Tc23617 \h 5
\l "_Tc11287" 【题型4 频率与概率的关系】 PAGEREF _Tc11287 \h 8
\l "_Tc6965" 【题型5 求某事件的频率】 PAGEREF _Tc6965 \h 10
\l "_Tc4135" 【题型6 由频率估计概率】 PAGEREF _Tc4135 \h 12
\l "_Tc4065" 【题型7 频率估计概率的综合运用】 PAGEREF _Tc4065 \h 15
【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 确定事件与随机事件】
【例1】（2022秋•安次区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是（ ）
A．一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性
B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可能性
C．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性
D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性
【分析】利用随机事件发生的可能性是否一样对各选项进行判断．
【解答】解：A、一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，因为其他性质不一定相同，所以摸出每个球的可能性不一定相同，不符合题意．
B、在80个相同的零件中，只是种类相同，没有什么其他性质相同，所以取出每件产品的质量可能性不一定相同．不符合题意．
C、一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性相同，这个事件满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等，符合题意
D、小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性不一定相同，因为每种灯的时间可能不同，不符合题意．
故选：C．
【变式1-1】（2022秋•安次区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生
B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件
C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生
D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生
【分析】根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然不发生，故本选项错误；
B、生活中，如果一个事件可能发生，那么它是随机事件，故本选项错误；
C、生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生，故本选项正确；
D、生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就可能发生也可能不发生，故本选项错误．
故选：C．
【变式1-2】（2022•武昌区模拟）下列事件中，一定是不可能事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的数字是3
B．通常温度降到0℃以下，纯净水结冰
C．度量一个三角形的内角的度数，其和为360°
D．某次抽奖活动中奖的概率为1100，小明买100张奖券，可能会中奖
【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．
【解答】解：A、掷一次骰子，向上一面的数字是3，是可能事件；
B、通常温度降到0℃以下，纯净水结冰，是必然事件；
C、度量一个三角形的内角的度数，其和为360°，是不可能事件；
D、某次抽奖活动中奖的概率为1100，小明买100张奖券，可能会中奖，是可能事件．
故选：C．
【变式1-3】（2022•兰考县二模）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个矩形是轴对称图形”是不可能事件
B．“一名射击运动员射击一次正中靶心”是必然事件
C．“明天会下雨”是随机事件
D．“两个整数的和一定大于0”是必然事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【解答】解：A、“任意画一个矩形是轴对称图形”是必然事件，故A不符合题意；
B、“一名射击运动员射击一次正中靶心”是随机事件，故B不符合题意；
C、“明天会下雨”是随机事件，故C符合题意；
D、“两个整数的和一定大于0”是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【题型2 判断事件发生的可能性的大小】
【例2】（2022春·天津·九年级期末）某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛．有同学预测“小东夺冠的可能性是80%”，则对该同学的说法理解最合理的是（ ）
A．小东夺冠的可能性较大B．如果小东和他的对手比赛10局，他一定会赢8局
C．小东夺冠的可能性较小D．小东肯定会赢
【答案】A
【分析】根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案．
【详解】解：根据题意，有人预测小东夺冠的可能性是80%，结合概率的意义，
A、小东夺冠的可能性较大，故本选项正确；
B、小东和他的对手比赛10局时，他可能赢8局，故本选项错误；
C、小东夺冠的可能性较大，故本选项错误；
D、小东可能会赢，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率的意义：反映的只是这一事件发生的可能性的大小．
【变式2-1】（2022·北京顺义·八年级统考期末）从一副普通的54张的扑克牌中随意抽出一张，有4个事件：①抽到大王；②抽到小王；③抽到2；④抽到梅花．则这4个事件发生的可能性最大的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】可以根据每种牌数量的多少，直接判断可能性的大小即可．
【详解】一副普通的54张的扑克牌中，
①大王有一张；
②小王有一张；
③2有4张；
④梅花有13张；
∵13＞4＞1，
∴这4个事件发生的可能性最大的是④．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了可能性的大小，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：不需要计算可能性的大小的准确值时，可以根据每种牌数量的多少，直接判断可能性的大小．
【变式2-2】（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）必然事件发生的概率是____．
【答案】1
【分析】必然事件就是一定会发生的事件，它的概率为1.
【详解】必然事件发生的概率是1，即P（必然事件）=1.
故答案为1.
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【变式2-3】（2022秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色．估计各事件的可能性大小，完成下列问题：
（1）可能性最大和最小的事件分别是哪个？（填写序号）
（2）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列： ．
【答案】（1）可能性最大的是④，最小的是②；（2）由题意得：②＜③＜①＜④
【分析】分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．
【详解】∵共3红2黄1绿相等的六部分，
∴①指针指向红色的概率为36=12；
②指针指向绿色的概率为16；
③指针指向黄色的概率为26=13；
④指针不指向黄色为56，
（1）可能性最大的是④，最小的是②；
（2）由题意得：②＜③＜①＜④，
故答案为②＜③＜①＜④．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
【题型3 改变条件使事件发生的可能性相同】
【例3】（2022春·江苏镇江·九年级统考期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______．
【答案】2
【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解．
【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大，
∴n的最小值等于3+1-2=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解．
【变式3-1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球．
（1）会出现哪些可能的结果？
（2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？
（3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？
（4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？
【答案】（1）从中任意摸出1个球可能是红球，也可能是绿球或白球；（2）不能事先确定摸到的一定是红球；（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；（4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可．
【分析】（1）根据事情发生的可能性，即可进行判断；
（2）根据红球的多少判断，只能确定有可能出现；
（3）根据白球的数量最多，摸出的可能性就最大，红球的数量最少，摸出的可能性就最小；
（4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可．
【详解】解：（1）从中任意摸出1个球可能是红球，也可能是绿球或白球；
（2）不能事先确定摸到的一定是红球；
（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；
（4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可．
【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题．
【变式3-2】（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，
(1)会出现哪些可能的结果？
(2)事先能确定摸出的一定是红球吗？
(3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？
(4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？
【答案】(1)白、黄、红三种
(2)不能
(3)红球
(4)袋子中白球、黄球、红球的个数相同
【分析】（1）根据事情发生的可能性，注意判断即可；
（2）根据红球的多少判断，只能确定出现的可能性较大；
（3）根据红球的数量多，抽出的可能性就大；
（4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可．
（1）
解：会出现：白、黄、红三种
（2）
解：不能确定摸出的球一定是红球；
（3）
解由于红球数量最多，所以红球出现的概率最大；
（4）
解：袋子中白球、黄球、红球的个数相同时，三者的概率相等．
【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题．
【变式3-3】（2022春·九年级单元测试）盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案．
(1)摸到红球是不可能的；
(2)摸到红球是必然的；
(3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）不放红球即可．
（2）都放红球即可．
（3）根据可能性的程度确定红球比例即可．
（1）
解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球；
（2）
解：盒中只有100个红球，摸出1个红球；
（3）
解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球；
盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球；
盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键．
【题型4 频率与概率的关系】
【例4】（2022春·九年级课时练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）
A．可能有50次反面朝上B．每两次必有1次反面朝上
C．必有50次反面朝上D．不可能有100次反面朝上
【答案】A
【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，可能有50次反面朝上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
【变式4-1】（2022秋·山西运城·七年级统考期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______．
①频率就是概率
②频率是客观存在的，与试验次数无关
③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
④概率是随机的，在实验前不能确定
【答案】③
【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析．
【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误；
②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误
③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确；
④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误．
故答案为：③．
【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念．
【变式4-2】（2022春·北京西城·九年级北京育才学校校考期末）投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（ ）
A．nm的值一定是12
B．nm的值一定不是12
C．m越大，nm的值越接近12
D．随着m的增加，nm的值会在12附近摆动，呈现出一定的稳定性
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可
【详解】投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是12，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，nm是它的频率，随着m的增加，nm的值会在12附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选：D
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的时间．
【变式4-3】（2022春·云南红河·九年级统考期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（ ）．
下面有四个推断：
①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于0.890；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；
③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；
④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵．A．①②B．①④C．②③D．②④
【答案】C
【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．
【详解】解：①当移植的树数是3500时，表格记录成活数率是0.915，且树苗成活的频率总在0.900附近摆动，这种树苗成活的概率不一定高于0.890，故错误；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；
③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵，故正确；
④若小张移植20000棵这种树苗，则不一定成活18000棵，故错误．
故选C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【题型5 求某事件的频率】
【例5】（2022春·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据题意可得nn+9＝0.4，解方程即可求解．
【详解】根据题意得：
nn+9＝0.4，
解得：n＝6，
经检验：n＝6是分式方程的解且符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率的计算方法列式是解题的关键．
【变式5-1】（2022春·浙江舟山·九年级校考阶段练习）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（ ）
A．2B．3C．5D．8
【答案】B
【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．
【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近，
∴66+1+n=0.6
解得 n=3
故选：B．
【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．
【变式5-2】（2022春·九年级课时练习）已知数据：117，4，−5，2π−1，0．其中无理数出现的频率为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【答案】B
【分析】根据无理数的定义和“频率=频数÷总数”计算即可．
【详解】解：共有5个数，其中无理数有−5，2π−1，共2个
所以无理数出现的频率为2÷5=0.4．
故选B．
【点睛】此题考查的是无理数的判断和求频率问题，掌握无理数的定义和频率公式是解决此题的关键．
【变式5-3】（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为______．
【答案】0.2##15
【分析】首先计算出第4组的频数，然后再计算出第4组的频率即可．
【详解】解：第4组的频数为：40-6-12-14=8，
频率为：840=0.2，
故答案为：0.2．
【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=频数÷总数．
【题型6 由频率估计概率】
【例6】（2022春·陕西榆林·九年级校考阶段练习）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，则刚向其中放入了4个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，若摸球100次，其中20次摸到黑球，则盒中大约有白球（ ）
A．12个B．16个C．20个D．24个
【答案】B
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数”，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．
【详解】设盒子里有白球x个，
4x+4=20100
解得：x=16．
经检验得x=16是方程的解．
答：盒中大约有白球16个．
故选；B．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
【变式6-1】（2022春·浙江宁波·九年级校联考期中）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：
则a的值最有可能是（ ）
A．3680B．3720C．3880D．3960
【答案】C
【分析】分别计算出每一次抽取样本的发芽率，从而判断出小麦的发芽的频率稳定在0.97左右，从而得出答案．
【详解】解：95÷100=0.95，
486÷500=0.972，
968÷1000=0.968，
1940÷2000=0.97，
2907÷3000=0.969，
由抽取的样本数据，我们发现小麦发芽的频率稳定在0.97左右，即用频率估计概率，我们可估计小麦发芽的概率为0.97，
所以，a=4000×0.97=3880，
所以，a最有可能为3880，
故选：C．
【点睛】本题考查了统计与概率，解题的关键是用频率估计概率以及对频率计算公式的理解．
【变式6-2】（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为________．（精确到0.01）
【答案】0.96
【分析】运用频率估计概率即可．
【详解】观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥1000时，合格头盔的频率mn稳定在0.960附近，所以可取p=0.96作为该型号的合格率．
故答案为：0.96
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关键．
【变式6-3】（2022春·全国·九年级专题练习）有两个正方体的积木，如图所示：
下面是淘气掷200次积木的情况统计表：
根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是___号积木，请简要说明你的判断理由__．
【答案】 ② 淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率．
【分析】计算出①号积木、②号积木朝上的面为白色、为灰色的概率，再求出淘气掷200次积木的实验频率，进行判断即可．
【详解】①号积木由于三面灰色，三面白色，因此随机掷1次，朝上的面是白色、灰色的可能性都是12=50%，
②号积木由于一面灰色，五面白色，因此随机掷1次，朝上的面是灰色的可能性都是16≈16.7%，是白色的可能性为56≈83.3%，
由表格中的数据可得，淘气掷200次积木得到朝上的面为灰色的频率为32200=16%，白色的频率为168200=84%，
故他选择的是②号积木，
理由：淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率．
【点睛】本题主要考查频率与概率的关系，解题的关键是正确理解实验频率与概率的关系．
【题型7 频率估计概率的综合运用】
【例7】（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个
【答案】（1）0.6；（2）30；（3）10；10．
【分析】（1）观察表格中摸到黑球的频率可得结果；
（2）用总数乘以黑球的频率即可得到结果；
（3）根据摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，据此计算即可．
【详解】解：（1）观察表格得：当n很大时，
摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）黑球有：50×0.6=30个，
故答案为：30；
（3）原来白球的数量为：50-30=20，
摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，
∴若保持黑球数量不变，则白球数量：20+10=30，
若保持白球的数量不变，则黑球数为：30-10=20，
∴要使摸到黑球的可能性大小为50%，
则需要增加相同的白球10个，或减少黑球10个，
故答案为：10；10．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【变式7-1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
（1）完成上述表格：a=______；b=______；
（2）请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是______；（结果全部精确到0.1）
（3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？
【答案】（1）295；0.745；（2）0.6，0.6；（3）至少还要增加36度．
【分析】（1）根据表格中的数据，利用频率=频数÷总数即可求得a和b的值；
（2）根据表格中的数据可以估计频率是多少，再利用频率估计概率即可得；
（3）先根据获得“书画作品”的概率可得获得“手工作品”的概率，再乘以360°可得“手工作品”区域的扇形圆心角度数，然后与180°进行比较即可得．
【详解】（1）由题意得：a=500×0.59=295，b=298÷400=0.745，
故答案为：295，0.745；
（2）由表格中的数据得：当n很大时，频率将会接近0.6，
假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是0.6，
故答案为：0.6，0.6；
（3）由（2）可知，获得“书画作品”的概率约是0.6，
则获得“手工作品”的概率为1−0.6=0.4，
“手工作品”区域的扇形圆心角度数为0.4×360°=144°，
因此，0.5×360°−144°=36°，
答：表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加36度．
【点评】本题考查了利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题．
【变式7-2】（2022·福建厦门·厦门一中校考一模） 某水果公司以3元/kg的成本价新进10000kg柑橘，如果公司希望这批柑橘能获得利润6000元，已知柑橘损坏率统计表如下，请你填写最后一栏数据，完成此表：
(1)损坏率的概率约是多少，并说明理由 (保留小数点后一位)
(2)在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，确定大约定价多少合适？
【答案】表格见解析；（1）0.1，理由见解析；（2）定价为4元
【分析】利用损坏柑橘质量除以柑橘总质量即可求出柑橘损坏的频率，从而补全表格；
(1)根据频率与概率的关系估计柑橘损坏的概率．
(2)根据概率计算出完好柑橘的质量，设每千克柑橘的售价为x元，可得9000x=3×10000+6000，解方程即可得出结论．
【详解】解：50.5÷500=0.101
完成表格如下：
(1)表格中的频率分别为0.103，0.102，0.098，0.099，0.101,可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并随统计量的增加，这种规律逐渐明显，可以把柑橘的损坏的概率估计约为0.1．
(2)因为柑橘的损坏的概率估计约为0.1，所以柑橘完好的概率为0.9，
在10000千克柑橘中完好的柑橘质量为10000×0.9=9000（千克）
设每千克柑橘的售价为x元，
则应有9000x=3×10000+6000，
解得x=4
答：出售柑橘时每千克定价为4元时可获得利润6000元．
【点睛】此题考查的是用频率估计概率和一元一次方程的应用，掌握频率与概率的关系和实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
【变式7-3】（2022·江西南昌·二模）某校为了调查学生对卫生健康知识，特别是疫情防控下的卫生常识的了解，现从九年级1000名学生中随机抽取了部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图(尚不完整)．
请结合图表信息完成下列各题．
（1）表中a的值为_____，b的值为______；在扇形统计图中，第1组所在扇形的圆心角度数为______°；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，请你估计从该校九年级学生中随机抽查一个学生，成绩为优秀的概率．
（3）若测试成绩在60分以上(含60分)均为合格，其他为不合格，请你估计该校九年级学生中成绩不合格的有多少人．
【答案】（1）15；50；28.8；（2）0.46；（3）80人．
【分析】（1）由第3组的人数与占样本总数的百分比可求出样本的总人数，乘以第五组占样本总数的百分比可得b值，用总人数减去其它组的人数即可得a值；由第1组的人数在总人数中所占的百分比乘以360°即可求得第1组所在扇形的圆心角的度数；
（2）用样本中优秀的频率即可估算出全校九年级学生中优秀的概率；
（3）用样本中不合格的人数所占的百分比乘以全校九年级学生人数即可得答案．
【详解】（1）抽取的总人数为100÷40%=250(人)，
∴b=250×20%=50(人)，a=250-20-100-65-50=15（人），
第1组所在扇形的圆心角的度数为20250×360°=28.8°，
故答案为：15，50，28.8
（2）∵样本中优秀的频率为：65+50÷250=0.46，
∴估计全校九年级学生中优秀的概率是0.46．
（3）1000×20250=80（人），
答：估计该校九年级学生中成绩不合格的有80人．
【点睛】本题考查统计表和扇形统计图中相关数据间的关系及用频率估计概率，一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p，那么事件A发生的概率P（A）=p；正确提取统计图（表）中的信息是解题关键． 移植棵数n
成活数m
成活率mn
移植棵数n
成活数m
成活率mn
50
47
0.940
1500
1335
0.890
270
235
0.870
3500
3203
0.915
400
369
0.923
7000
6335
0.905
750
662
0.883
14000
12628
0.902
抽查小麦粒数
100
500
1000
2000
3000
4000
发芽粒数
95
486
968
1940
2907
a
抽查的头盔数n
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m
95
194
289
479
769
960
2880
合格头盔的频率mn
0.950
0.945
0.962
0.958
0.961
0.960
0960
灰色的面朝上
白色的面朝上
32次
168次
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球的次数m
65
118
189
310
482
602
摸到黑球的频率mn
0.65
0.59
0.63
0.62
0.603
0.602
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
1000
落在“书画作品”区域的次数m
60
122
180
298
a
604
落在“书画作品”区域的频率mn
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
柑橘总质量n/kg
损坏柑橘质量m/kg
柑橘损坏的频率m/n
300
30.9
0.103
350
35.7
0.102
400
39.2
0.098
450
44.5
0.099
500
50.5
?
柑橘总质量n/kg
损坏柑橘质量m/kg
柑橘损坏的频率mn
300
30.9
0.103
350
35.7
0.102
400
39.2
0.098
450
44.5
0.099
500
50.5
0.101
组别
成绩x/分
人数
第1组
x<60
20
第2组
60≤x<70
a
第3组
70≤x<80
100
第4组
80≤x<90
65
第5组
90≤x<100
b