苏科版八年级数学下册举一反三专题特训专题10.1分式【十大题型】(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册举一反三专题特训专题10.1分式【十大题型】(原卷版+解析)，共26页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8144" 【题型1 分式的概念辨析】 PAGEREF _Tc8144 \h 1
\l "_Tc2692" 【题型2 分式有意义的条件】 PAGEREF _Tc2692 \h 2
\l "_Tc18476" 【题型3 分式值为零的条件】 PAGEREF _Tc18476 \h 2
\l "_Tc9690" 【题型4 分式的求值】 PAGEREF _Tc9690 \h 2
\l "_Tc22797" 【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】 PAGEREF _Tc22797 \h 3
\l "_Tc27183" 【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】 PAGEREF _Tc27183 \h 3
\l "_Tc18510" 【题型7 分式的规律性问题】 PAGEREF _Tc18510 \h 4
\l "_Tc1103" 【题型8 分式的基本性质】 PAGEREF _Tc1103 \h 4
\l "_Tc27746" 【题型9 约分与通分】 PAGEREF _Tc27746 \h 5
\l "_Tc16983" 【题型10 运用分式的基本性质求值】 PAGEREF _Tc16983 \h 6
【知识点1 分式的定义】
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【题型1 分式的概念辨析】
【例1】（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）在x3,1x+y,23x,3y+22x−1,12,2022x中，分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-1】（2022·河南洛阳·八年级期中）若1□是分式，则□不可以是（ ）
A．3πB．x+1C．c−3D．2y
【变式1-2】（2022·陕西渭南·八年级期末）对于代数式①2x，②x2来说，有下列说法，正确的是（ ）
A．①、②均是分式B．①是分式，②不是分式
C．①不是分式，②是分式D．①、②均不是分式
【变式1-3】（2022·全国·八年级课时练习）下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？
x+1x+2,m−3m,2−b5a,a+3b5,43−2x,1x+y,m−n4,−23y−1,2x2x,1π(x+y)，
整式{ _______…}；
分式{________…}．
【题型2 分式有意义的条件】
【例2】（2022·广西桂林·八年级期中）无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ）
A．a−1a2+1B．a+1a2C．1a2−1D．1a+1
【变式2-1】（2022·浙江·八年级开学考试）当x=3时，分式x−bx+2b没有意义，则b的值为（ ）
A．−3B．−32C．32D．3
【变式2-2】（2022·甘肃·兰州市第五十二中学八年级期末）要使分式x−3x2+6x+9有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≠3且x≠−3C．x≠0且x≠−3D．x≠−3
【变式2-3】（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________．
【题型3 分式值为零的条件】
【例3】（2022·广东茂名·八年级期末）若分式m+2(m−2)(m+3)的值为零，则m=______．
【变式3-1】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学八年级期末）若分式x2−11−x的值为零，则x的值为________．
【变式3-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）分式x−yx+1的值为0，则x、y满足的条件为______．
【变式3-3】（2022·山东菏泽·八年级期末）若分式|x−2|−1x2−6x+9的值为0，则x的值为 _____．
【题型4 分式的求值】
【例4】（2022·辽宁大连·八年级期末）已知x2=y3=z4，则xy−x2yz=_____．
【变式4-1】（2022·山东泰安·八年级期末）已知a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，则m的值______．
【变式4-2】（2022·山东济南·八年级期中）阅读下面的解题过程：已知xx2+1=13，求x2x4+1的值．
解：由xx2+1=13知，x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3.
所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=32−2=7.所以x2x4+1=17.
该题的解法叫做“倒数法”．
已知：xx2−3x+1=15
请你利用“倒数法”求x2x4+x2+1的值．求2x2−8x+1x2的值．
【变式4-3】（2022·福建·九年级专题练习）若2x−y+4z=0，4x+3y−2z=0．则xy+yz+zxx2+y2+z2的值为______
【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】
【例5】（2022·全国·八年级专题练习）已知分式x+4x2的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x＞-4
C．x≠0D．x＞-4且x≠0
【变式5-1】（2022·山东·东平县江河国际实验学校八年级阶段练习）使分式x2+11−3x的值为负的条件是（ ）
A．x＜0B．x＞0C．x＞13D．x＜13
【变式5-2】（2022·上海民办兰生复旦中学七年级期末）若分式x+1x−12的值大于零，则 x 的取值范围是_______________
【变式5-3】（2022·全国·八年级单元测试）若分式x−23x−2的值是负数，则x的取值范围是（ ）.
A．2323或x<−2
C．−2【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】
【例6】（2022·浙江舟山·七年级期末）若2x2x+3表示一个整数，则整数x可取的个数有______个．
【变式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中学七年级阶段练习）若m为整数，则能使m2−2m+1m2−1的值也为整数的m是______．
【变式6-2】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知k=6x+42x−1，则满足k为整数的所有自然数x的值 __________ ．
【变式6-3】（2022·浙江衢州·七年级期末）阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，ca（a、c为整数）的值是整数．例如，当a=±1或±2时，2a的值是整数；又如，因为3m+5m=3+5m，所以当m=±1或±5时，3m+5m的值是整数．
（1）如果分式a+8a+3的值是整数，那么a的正整数值是_______．
（2）如果分式x2−4x−7x−4的值是整数，那么x的负整数值是_______．
【题型7 分式的规律性问题】
【例7】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）若a≠2，则我们把22−a称为a的“友好数”，如3的“友好数”是22−3=−2，−2的“友好数”是22−(−2)=12，已知a1=3，a2是a1的“友好数”，a3是a2的“友好数”，a4是a3的“友好数”，……，依此类推，则a2021=（ ）
A．3B．−2C．12D．43
【变式7-1】（2022·青海·海东市教育研究室八年级期末）给定一列分式：x3y，−x5y2，x7y3，−x9y4，…根据你发现的规律，试写出第6个分式为__________．第n（n为正整数）个分式为__________．
【变式7-2】（2013·江苏徐州·一模）如果记y＝x21+x2＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝121+12＝12；f（12）表示当x＝12时y的值，即f（12）＝(12)21+(12)2＝15；那么f（1）＋f（2）＋f（12）＋f（3）＋f（13）＋…＋f（2013）＋f（12013）＝_____．
【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）已知a>0,S1=1a,S2=−S1−1,S3=1S2,S4=S3−1,S5=1S4，·……，(即当n为大于1的奇数时，Sn=1Sn−1；当n为大于1的偶数时，Sn=−Sn−1−1），按此规律，S2020=_______________________．
【知识点2 分式的基本性质】
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
【题型8 分式的基本性质】
【例8】（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．−x−y−x+y＝x−yx+yB．a2−b2(a−b)2＝a+b
C．a2−b2(a−b)2＝a−bD．x−11−x2＝−1x+1
【变式8-1】（2022·全国·八年级专题练习）将x0.2−0.5+的分母化为整数，得（ ）
A．x2−0.5+0.01x3=1B．5x−50+x3=100
C．x20−0.5+0.01x3=100D．5x−50+x3=1
【变式8-2】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）若把分式x−yaxy（xy≠0且x≠y）中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的3倍B．变为原来的13C．不变D．变为原来的19
【变式8-3】（2022·山东·八年级课时练习）不改变分式2−3x2+x−5x3+2x−3的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）
A．3x2+x+25x3+2x−3B．3x2−x+25x3+2x−3C．3x2+x−25x3−2x+3D．3x2−x−25x3−2x+3
【题型9 约分与通分】
【例9】（2022·全国·九年级专题练习）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（ ）
A．x+1x2−1约分的结果是1x
B．分式1x2−1与1x−1的最简公分母是x﹣1
C．2xx2约分的结果是1
D．化简x2x2−1﹣1x2−1的结果是1
【变式9-1】（2022·上海市徐汇中学七年级阶段练习）分式2a2+ab ，3ab+b2 ，aa2−ab−2b2的最简公分母是_____________________
【变式9-2】（2022·山东·宁阳县第十一中学八年级阶段练习）化简下列分式
(1)12x5y2z4−18x3z7
(2)m2−3m9−m2
(3)a2+aba2+2ab+b2
(4)(b−a)22(a−b)
【变式9-3】（2022·全国·八年级课时练习）将下列式子进行通分．
（1）12ab3和25a2b2c
（2）a2xy和b3x2
（3）3c2ab2和a8bc2
（4）1y−1和1y+1
【题型10 运用分式的基本性质求值】
【例10】（2022·江苏·八年级专题练习）已知三个正数a，b，c满足abc=1，则aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1的值为（ ）
A．2B．3C．－1D．1
【变式10-1】（2022·江苏无锡·八年级期中）已知1x−1y=2，x−y+xy2xy−3x+3y=________．
【变式10-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知a、b、c为有理数，且aba+b=1，bcb+c=12，aca+c=13，那么abcab+bc+ca的值是多少？
【变式10-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知a、b、c、d、e、f都为正数，bcdefa=12，acdefb=14，abdefc=18，abcefd=2，abcdfe=4，abcdef=8，则a2+b2+c2+d2+e2+f2=________．
专题10.1 分式【十大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8144" 【题型1 分式的概念辨析】 PAGEREF _Tc8144 \h 1
\l "_Tc2692" 【题型2 分式有意义的条件】 PAGEREF _Tc2692 \h 3
\l "_Tc18476" 【题型3 分式值为零的条件】 PAGEREF _Tc18476 \h 4
\l "_Tc9690" 【题型4 分式的求值】 PAGEREF _Tc9690 \h 6
\l "_Tc22797" 【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】 PAGEREF _Tc22797 \h 8
\l "_Tc27183" 【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】 PAGEREF _Tc27183 \h 10
\l "_Tc18510" 【题型7 分式的规律性问题】 PAGEREF _Tc18510 \h 12
\l "_Tc1103" 【题型8 分式的基本性质】 PAGEREF _Tc1103 \h 15
\l "_Tc27746" 【题型9 约分与通分】 PAGEREF _Tc27746 \h 16
\l "_Tc16983" 【题型10 运用分式的基本性质求值】 PAGEREF _Tc16983 \h 19
【知识点1 分式的定义】
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【题型1 分式的概念辨析】
【例1】（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）在x3,1x+y,23x,3y+22x−1,12,2022x中，分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据分式的定义，即可求解．
【详解】解∶分式有1x+y,3y+22x−1,2022x，共3个．
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如AB（其中A、B都是整式，且B≠0）的式子叫做分式是解题的关键．
【变式1-1】（2022·河南洛阳·八年级期中）若1□是分式，则□不可以是（ ）
A．3πB．x+1C．c−3D．2y
【答案】A
【分析】根据分式的定义进行判断即可．
【详解】解：∵1□是分式，
∴分母中含字母，
而3π是一个常量，
故选项A不满足．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的定义，理解形如AB，B中含有字母且B≠0的式子称为分式是解题关键．
【变式1-2】（2022·陕西渭南·八年级期末）对于代数式①2x，②x2来说，有下列说法，正确的是（ ）
A．①、②均是分式B．①是分式，②不是分式
C．①不是分式，②是分式D．①、②均不是分式
【答案】B
【分析】根据分式的定义判定即可．
【详解】解：①2x是分式，②x2是整式不是分式，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，一般地，形如AB，A、B为整式，且B中含有字母，叫分式．
【变式1-3】（2022·全国·八年级课时练习）下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？
x+1x+2,m−3m,2−b5a,a+3b5,43−2x,1x+y,m−n4,−23y−1,2x2x,1π(x+y)，
整式{ _______…}；
分式{________…}．
【答案】 a+3b5，m−n4，1π(x+y) x+1x+2，m−3m，2−b5a，43−2x，1x+y，−23y−1，2x2x
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：a+3b5，m−n4，1π(x+y)的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
x+1x+2，m−3m，2−b5a，43−2x，1x+y，−23y−1，2x2x的分母中含有字母，因此是分式．
故答案为：a+3b5，m−n4，1π(x+y)；x+1x+2，m−3m，2−b5a，43−2x，1x+y，−23y−1，2x2x．
【点睛】本题主要考查分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简.
【题型2 分式有意义的条件】
【例2】（2022·广西桂林·八年级期中）无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ）
A．a−1a2+1B．a+1a2C．1a2−1D．1a+1
【答案】A
【分析】根据分式的分母不为零，让分式的分母为零列式求a是否存在即可．
【详解】解：A、分母a2+1≥1故选项正确，符合题意；
B、当a=0，分母a2为零，故选项错误，不符合题意；
C、当a=±1，分母a2−1为零故选项错误，不符合题意；
D、当a=-1，分母a+1为零故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是找出分母为零的情况．
【变式2-1】（2022·浙江·八年级开学考试）当x=3时，分式x−bx+2b没有意义，则b的值为（ ）
A．−3B．−32C．32D．3
【答案】B
【分析】先将x=3代入分式x−bx+2b，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．
【详解】解：当x=3，x−bx+2b=3−b3+2b，
∵分式3−b3+2b没有意义，
∴3+2b=0，
∴b=−32，
故选：B．
【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．
【变式2-2】（2022·甘肃·兰州市第五十二中学八年级期末）要使分式x−3x2+6x+9有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≠3且x≠−3C．x≠0且x≠−3D．x≠−3
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可．
【详解】解：∵x2+6x+9≠0，
∴（x+3）2≠0，
∴x+3≠0，
∴x≠−3，
∴分式x−3x2+6x+9有意义，x的取值范围x≠−3，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键．
【变式2-3】（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________．
【答案】1x2+1
【分析】根据分式的分母不等于零，结合分式的概念解答即可．
【详解】∵无论字母x取何值，x2+1＞0，
∴x2+1≠0，
∴1x2+1是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义，
故答案为：1x2+1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列一个代数式使分母不等于零．
【题型3 分式值为零的条件】
【例3】（2022·广东茂名·八年级期末）若分式m+2(m−2)(m+3)的值为零，则m=______．
【答案】-2
【分析】根据分式的值为零的条件(分子为零、分母不为零)可以求出m的值．
【详解】解：根据题意，得
m+2=0，且m−2≠0、m+3≠0；
解得m=−2；
故答案是：−2．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0.这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键．
【变式3-1】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学八年级期末）若分式x2−11−x的值为零，则x的值为________．
【答案】x=−1
【分析】根据分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，即可得到答案．
【详解】解；根据分式的值为零的条件得：x2−1=0，且1−x≠0，
解得：x=−1，
故答案为：x=−1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
【变式3-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）分式x−yx+1的值为0，则x、y满足的条件为______．
【答案】x=y且x≠−1
【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即可得出答案．
【详解】解：∵x−yx+1=0，
∴x+1≠0x−y=0，
解得x=y且x≠−1．
故答案为：x=y且x≠−1．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解决本题的关键．
【变式3-3】（2022·山东菏泽·八年级期末）若分式|x−2|−1x2−6x+9的值为0，则x的值为 _____．
【答案】1
【分析】根据分式的值为零的条件列出方程和不等式求解，即可以求出x的值．
【详解】解：∵分式|x−2|−1x2−6x+9的值为0，
∴|x﹣2|﹣1＝0且x2﹣6x+9≠0，
解得：x﹣2＝﹣1或1且x≠3，
则x﹣2＝﹣1．则x＝1
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式值为0的条件下，解答本题特别注意分式分母不为0这一条件．
【题型4 分式的求值】
【例4】（2022·辽宁大连·八年级期末）已知x2=y3=z4，则xy−x2yz=_____．
【答案】16
【分析】设x2=y3=z4=k，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解．
【详解】设x2=y3=z4=k，根据题意有，k≠0，
则有x=2k，y=3k，z=4k，
即xy−x2yz=2k3k−2k23k4k=6k2−4k212k2=16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查为了分式的求值，设x2=y3=z4=k是解答本题的关键．
【变式4-1】（2022·山东泰安·八年级期末）已知a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，则m的值______．
【答案】为-1或3
【分析】根据题设知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，推出m=-1；当a+b+c+d≠0时，推出m-3=0，得到m=3．
【详解】∵a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，
∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，
∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，
∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，
∴(a+b+c+d）(m-3)=0，
当a+b+c+d=0时，
a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，
∴m=-1；
当a+b+c+d≠0时，
m-3=0，m=3，
综上，m=-1或m=3．
故答案为：为-1或3．
【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的基本性质，分式值的意义及满足条件．
【变式4-2】（2022·山东济南·八年级期中）阅读下面的解题过程：已知xx2+1=13，求x2x4+1的值．
解：由xx2+1=13知，x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3.
所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=32−2=7.所以x2x4+1=17.
该题的解法叫做“倒数法”．
已知：xx2−3x+1=15
请你利用“倒数法”求x2x4+x2+1的值．求2x2−8x+1x2的值．
【答案】x2x4+x2+1=163；2x2−8x+1x2=61
【分析】计算所求式子的倒数，再将x2x4+x2+1代入可得结论；将2x2−8x+1x2进行变形后代入即可.
【详解】解：∵xx2−3x+1=15，且x≠0，
∴x2−3x+1x=5，
∴x+1x−3=5，
∴x+1x=8，
∴x4+x2+1x2=x2+1x2+1=x+1x2-1=63，
∴x2x4+x2+1=163
∵x+1x=8
∴x2-8x=-1
∴2x2−8x+1x2=x2+1x2+x2−8x=x+1x2-2-1=64-2-1=61
【点睛】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题属于基础题型．
【变式4-3】（2022·福建·九年级专题练习）若2x−y+4z=0，4x+3y−2z=0．则xy+yz+zxx2+y2+z2的值为______
【答案】−16
【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出.
【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，
将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．
①+③得: 10x+ 5y= 0，
∴y= -2x，
将y= - 2x代入①中
得:2x- (-2x)+4z=0
∴z=-x
将y= -2x，z=-x，代入上式
xy+yz+zxx2+y2+z2
=x·−2x+−2x·−x+−x·xx2+−2x2+−x2
=−2x2+2x2−x2x2+4x2+x2
=−x26x2
=−16
故答案为：−16
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.
【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】
【例5】（2022·全国·八年级专题练习）已知分式x+4x2的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x＞-4
C．x≠0D．x＞-4且x≠0
【答案】D
【分析】若x+4x2的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．
【详解】解：∵x+4x2＞0，
∴x＋4＞0，x≠0，
∴x＞−4且x≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式ab（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式ab（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式．
【变式5-1】（2022·山东·东平县江河国际实验学校八年级阶段练习）使分式x2+11−3x的值为负的条件是（ ）
A．x＜0B．x＞0C．x＞13D．x＜13
【答案】C
【分析】分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0，最终求得不等式的解集．
【详解】∵x2+1≥0
∴若使分式的值为负，则1−3x<0
解得x＞13
故答案为x＞13．
【点睛】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正即为分子分母同号，分式的值为负即为分子分母异号．
【变式5-2】（2022·上海民办兰生复旦中学七年级期末）若分式x+1x−12的值大于零，则 x 的取值范围是_______________
【答案】x＞-1
【分析】根据两数相除，同号得正，异号得负，分式的分母不为0解答.
【详解】∵x−12≥0
而x-1≠0
∴x−12≻0
∵分式x+1x−12的值大于零
∴x+1＞0
x＞-1
故答案为：x＞-1
【点睛】本题考查的是分式的值，掌握分式有意义的条件及判定分式值的符号的方法是关键.
【变式5-3】（2022·全国·八年级单元测试）若分式x−23x−2的值是负数，则x的取值范围是（ ）.
A．2323或x<−2
C．−2【答案】D
【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．
【详解】∵x−23x−2是负数，
∴x−2>0,3x−2<0或x−2<0,3x−2>0,
∴x<−2或23故选D.
【点睛】此题考查分式的值，解题关键在于掌握运算法则
【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】
【例6】（2022·浙江舟山·七年级期末）若2x2x+3表示一个整数，则整数x可取的个数有______个．
【答案】4
【分析】由原式为整数，x为整数确定出x可取的值个数即可．
【详解】解：∵2x2x+3=2x+3−32x+3=1−32x+3为整数，
∴2x+3为±1，±3，
当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2；
当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4；
当2x+3=3，即x=0时，原式=0；
当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2．
∴x的值可取0，-1，-2，-3．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式的值，把原式化成1−32x+3是解题的关键．
【变式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中学七年级阶段练习）若m为整数，则能使m2−2m+1m2−1的值也为整数的m是______．
【答案】0或−2或−3
【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再约分，得出答案即可．
【详解】解：m2−2m+1m2−1=m−12m+1m−1=m−1m+1=1−2m+1，且m≠±1，
若m为整数，1−2m+1的值也为整数，
则m+1=±1，m+1=±2，且m≠±1，
解得：m=0或m=−2或m=−3，
故答案为：0或−2或−3．
【点睛】本题考查了分式的值，掌握分式的性质，平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
【变式6-2】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知k=6x+42x−1，则满足k为整数的所有自然数x的值 __________ ．
【答案】0，1，4．
【分析】将k变形为3+72x−1，据此可得2x-1=±1或7时k取得整数，解之求得x的值可得答案．
【详解】解：∵k=6x+42x−1=6x−3+72x−1=3(2x−1)+72x−1=3+72x−1，
∴当2x-1=1或2x-1=-1或2x-1=7或2x-1=-7时，k为整数，
解得：x=1或x=0或x=4或x=-3，
∵x 为自然数，
∴x=0，1或4，
故答案为：0，1，4．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是将k变形为3+72x−1，并根据k为整数得出关于x的方程．
【变式6-3】（2022·浙江衢州·七年级期末）阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，ca（a、c为整数）的值是整数．例如，当a=±1或±2时，2a的值是整数；又如，因为3m+5m=3+5m，所以当m=±1或±5时，3m+5m的值是整数．
（1）如果分式a+8a+3的值是整数，那么a的正整数值是_______．
（2）如果分式x2−4x−7x−4的值是整数，那么x的负整数值是_______．
【答案】 2 -3
【分析】（1）将分式变形得a+8a+3=1+5a+3，则a+3=±1或±5，即可求解；
（2）将分式变形得x2−4xx−4=x(x−4)−7x−4=x−7x−4，则x-4=±1或±7，即可求解．
【详解】解：(1)∵a+8a+3=1+5a+3，
又∵a+8a+3的值是整数，
∴a+3=±1或±5，
∴a=-2或-4或2或-8，
∴a的正整数值为2；
（2）∵x2−4x−7x−4=x(x−4)−7x−4=x−7x−4，
又∵x2−4x−7x−4的值是整数，
∴x-4=±1或±7，
∴x=5或3或11或-3，
∴x的负整数值为-3，
故答案为：（1）2；（2）-3．
【点睛】本题考查使分式值为整数时求未知数值的问题，理解并能应用阅读材料的解题方法将分式化简是解题的关键．
【题型7 分式的规律性问题】
【例7】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）若a≠2，则我们把22−a称为a的“友好数”，如3的“友好数”是22−3=−2，−2的“友好数”是22−(−2)=12，已知a1=3，a2是a1的“友好数”，a3是a2的“友好数”，a4是a3的“友好数”，……，依此类推，则a2021=（ ）
A．3B．−2C．12D．43
【答案】A
【分析】根据题目中的数据，可以写出前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出a2021 的值．
【详解】∵ a≠2，则22−a称为a的“友好数”，a1=3，
∴a2=22−3=−2,a3=22−−2=12,a4=22−12=43,a5=22−43=3,
∴该数列每4个数为一个循环周期，
∵2021÷4=505⋯⋯1,∴a2021=3,
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数据．
【变式7-1】（2022·青海·海东市教育研究室八年级期末）给定一列分式：x3y，−x5y2，x7y3，−x9y4，…根据你发现的规律，试写出第6个分式为__________．第n（n为正整数）个分式为__________．
【答案】 −x13y6 (−1)n+1⋅x2n+1yn
【分析】根据“分式分子及分母对应的底数及其指数的数字规律以及符号的规律”即可得出第6个分式和第n个分式．
【详解】解：观察分式x3y，−x5y2，x7y3，−x9y4，…，可以得出
分子得底数为x指数为序数的2倍加1，分母的底数为y指数等于序数，当序数为偶数时符号为负，序数为奇数时符号为正，即符号为(−1)n+1，
故第6个分式为−x13y6，第n（n为正整数）个分式为：(−1)n+1⋅x2n+1yn．
故答案为：−x13y6，(−1)n+1⋅x2n+1yn．
【点睛】本题考查了分式的定义，探索与表达规律．注意观察每一个分式的分子、分母以及符号的变化，然后找出的规律．
【变式7-2】（2013·江苏徐州·一模）如果记y＝x21+x2＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝121+12＝12；f（12）表示当x＝12时y的值，即f（12）＝(12)21+(12)2＝15；那么f（1）＋f（2）＋f（12）＋f（3）＋f（13）＋…＋f（2013）＋f（12013）＝_____．
【答案】2012.5
【详解】试题分析：由题意f（2）＋f（）＝＝1，f（3）＋f（）＝1，…，f（2013）＋f（）＝1，根据这个规律即可求得结果.
由题意得f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（）
＝+1+1+1…＋1＝2012.5．
考点：找规律-式子的变化
点评：解答此类找规律的问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.
【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）已知a>0,S1=1a,S2=−S1−1,S3=1S2,S4=S3−1,S5=1S4，·……，(即当n为大于1的奇数时，Sn=1Sn−1；当n为大于1的偶数时，Sn=−Sn−1−1），按此规律，S2020=_______________________．
【答案】−1a+1
【分析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2020＝336×6+4，即可得出S2020＝S4，此题得解．
【详解】解：S1＝1a，
S2＝﹣S1﹣1＝﹣1a﹣1＝﹣1+aa，
S3＝1S2＝﹣aa+1，
S4＝﹣S3﹣1＝aa+1﹣1＝﹣1a+1，
S5＝1S4＝﹣（a+1），
S6＝﹣S5﹣1＝（a+1）﹣1＝a，
S7＝1S6＝1a，
…，
∴Sn的值每6个一循环．
∵2020＝336×6+4，
∴S2020＝S4＝﹣1a+1
故答案为：﹣1a+1
【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出Sn的值，每6个一循环是解题的关键．
【知识点2 分式的基本性质】
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
【题型8 分式的基本性质】
【例8】（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．−x−y−x+y＝x−yx+yB．a2−b2(a−b)2＝a+b
C．a2−b2(a−b)2＝a−bD．x−11−x2＝−1x+1
【答案】D
【分析】根据分式的性质，因式分解，约分化简判断即可．
【详解】因为−x−y−x+y=−(x+y)−(x−y)=x+yx−y，
所以A错误；
因为a2−b2(a−b)2=(a+b)(a−b)(a−b)2=a+ba−b，
所以B、C都错误；
因为x−11−x2=x−1(1−x)(1+x)=−(1−x)(1−x)(1+x)=−11+x，
所以D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，约分化简，因式分解，熟练掌握分式的基本性质，约分的技能，因式分解的能力是解题的关键．
【变式8-1】（2022·全国·八年级专题练习）将x0.2−0.5+的分母化为整数，得（ ）
A．x2−0.5+0.01x3=1B．5x−50+x3=100
C．x20−0.5+0.01x3=100D．5x−50+x3=1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质求解．
【详解】解：将x0.2−0.5+的分母化为整数，可得5x−50+x3=1．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．
【变式8-2】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）若把分式x−yaxy（xy≠0且x≠y）中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的3倍B．变为原来的13C．不变D．变为原来的19
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：3x−3ya⋅3x⋅3y＝13⋅x−yaxy，
∴若把分式x−yaxy（xy≠0且x≠y）中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值变为原来的13 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【变式8-3】（2022·山东·八年级课时练习）不改变分式2−3x2+x−5x3+2x−3的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）
A．3x2+x+25x3+2x−3B．3x2−x+25x3+2x−3C．3x2+x−25x3−2x+3D．3x2−x−25x3−2x+3
【答案】D
【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数．
【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式=−(3x2−x−2)−(5x3−2x+3)=3x2−x−25x3−2x+3．
故选D．
【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号．
【题型9 约分与通分】
【例9】（2022·全国·九年级专题练习）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（ ）
A．x+1x2−1约分的结果是1x
B．分式1x2−1与1x−1的最简公分母是x﹣1
C．2xx2约分的结果是1
D．化简x2x2−1﹣1x2−1的结果是1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A与C；根据确定最简公分母的方法判断B；根据分式减法法则计算，即可判断D．
【详解】解：A、x+1x2−1＝1x−1 ，故本选项错误；
B、分式1x2−1与1x−1的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；
C、2xx2＝2x ，故本选项错误；
D、x2x2−1﹣1x2−1＝1，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.
【变式9-1】（2022·上海市徐汇中学七年级阶段练习）分式2a2+ab ，3ab+b2 ，aa2−ab−2b2的最简公分母是_____________________
【答案】ab(a+b)(a-2b)
【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可求出答案．
【详解】解：分式2a2+ab ，3ab+b2 ，aa2−ab−2b2的分母依次为：a2+ab=a(a+b)，ab+b2=b(a+b)，a2−ab−2b2=(a+b)(a−2b)
故最简公分母是ab(a+b)(a-2b)
故答案为：ab(a+b)(a-2b)
【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
【变式9-2】（2022·山东·宁阳县第十一中学八年级阶段练习）化简下列分式
(1)12x5y2z4−18x3z7
(2)m2−3m9−m2
(3)a2+aba2+2ab+b2
(4)(b−a)22(a−b)
【答案】(1)−2x2y23z3
(2)−mm+3
(3)aa+b
(4)a−b2
【分析】（1）将分子和分母的公因式约去即可；
（2）先将分子和分母分解因式，然后约分即可；
（3）先将分子和分母分解因式，然后约分即可；
（4）先将分子和分母分解因式，然后约分即可.
（1）
解：12x5y2z4−18x3z7=−6x3z4⋅2x2y26x3z4⋅3z3
=−2x2y23z3；
（2）
解：m2−3m9−m2=m(m−3)−(m+3)(m−3)
=−mm+3；
（3）
解：a2+aba2+2ab+b2＝a(a+b)(a+b)2
=aa+b；
（4）
解：(b−a)22(a−b)=(a−b)22(a−b)
=a−b2．
【点睛】本题考查了约分，规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
【变式9-3】（2022·全国·八年级课时练习）将下列式子进行通分．
（1）12ab3和25a2b2c
（2）a2xy和b3x2
（3）3c2ab2和a8bc2
（4）1y−1和1y+1
【答案】（1）5ac10a2b3c，4b10a2b3c；（2）3ax6x2y，2by6x2y；（3）12c38ab2c2，a2b8ab2c2；（4）y+1y2−1，y−1y2−1．
【分析】解答此题的关键是求出公分母，再通分．
（1）两式的最简公分母为10a2b3c；
（2）两式的最简公分母为6x2y；
（3）两式的最简公分母为8ab2c2；
（4）两式的最简公分母为y2-1.
【详解】解：（1）两式的最简公分母为10a2b3c，
故12ab3=1×5ac2ab3⋅5ac=5ac10a2b3c，
25a2b2c=2×2b5a2b2c⋅2b=4b10a2b3c；
（2）两式的最简公分母为6x2y，
故a2xy=a⋅3x2xy⋅3x=3ax6x2y，
b3x2=b⋅2y3x2⋅2y=2by6x2y，
（3）两式的最简公分母为8ab2c2，
故3c2ab2=3c⋅4c22ab2⋅4c2=12c38ab2c2
a8bc2=a⋅ab8bc2⋅ab=a2b8ab2c2，
（4）两式的最简公分母为y2-1，
故1y−1=y+1y2−1，
1y+1=y−1y2−1．
【点睛】解答此题的关键是求出最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分．
【题型10 运用分式的基本性质求值】
【例10】（2022·江苏·八年级专题练习）已知三个正数a，b，c满足abc=1，则aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1的值为（ ）
A．2B．3C．－1D．1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，将原式化为acabc+ac+c+bbc+b+1+cac+c+1，从而得到ac1+ac+c+bbc+b+1+cac+c+1，进而得到bbc+b+1+ac+cac+c+1，再次利用分式的基本性质变形，即可求解．
【详解】解：∵abc=1，
∴aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1
=acabc+ac+c+bbc+b+1+cac+c+1
=ac1+ac+c+bbc+b+1+cac+c+1
=bbc+b+1+ac+cac+c+1
=bbc+b+1+abc+bcabc+bc+b
=bbc+b+1+bc+1bc+b+1
=bc+b+1bc+b+1
=1 ．
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【变式10-1】（2022·江苏无锡·八年级期中）已知1x−1y=2，x−y+xy2xy−3x+3y=________．
【答案】−18##-0.125
【分析】根据1x−1y=2得出y−x=2xy，然后将x−y+xy2xy−3x+3y进行变形，求值即可．
【详解】解：∵1x−1y=2，
∴y−x=2xy，
x−y+xy2xy−3x+3y=−y−x+xy2xy+3y−x
=−2xy+xy2xy+3×2xy
=−xy8xy
=−18
故答案为：−18．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，由1x−1y=2得出y−x=2xy，将x−y+xy2xy−3x+3y变形为−y−x+xy2xy+3y−x，是解题的关键．
【变式10-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知a、b、c为有理数，且aba+b=1，bcb+c=12，aca+c=13，那么abcab+bc+ca的值是多少？
【答案】abcbc+ac+ab=13
【分析】根据aba+b=1，得出a+bab=1，也即1a+1b=1，同理可得出1b+1c=2，1c+1a=3，继而得出1a+1b+1c=3，通分可得到bc+ac+ababc=3，倒过来即是abcbc+ac+ab=13.
【详解】∵aba+b=1，∴a+bab=1，∵bcb+c=12，∴b+cbc=2，∵aca+c=13，∴a+cac=3，∴1a+1b=1，1b+1c=2，1c+1a=3，∴1a+1b+1c=3，∴bc+ac+ababc=3，∴abcbc+ac+ab=13.
【点睛】本题属于拔高题，考查多项式的通分与求解运算，需要熟练运用倒数的关系.
【变式10-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知a、b、c、d、e、f都为正数，bcdefa=12，acdefb=14，abdefc=18，abcefd=2，abcdfe=4，abcdef=8，则a2+b2+c2+d2+e2+f2=________．
【答案】1198
【分析】根据等式性质及分式性质进行计算即可求得结果．
【详解】解：由bcdefa=12，acdefb=14，abdefc=18，abcefd=2，abcdfe=4，abcdef=8，可将每个等式的左右两边相乘得：
abcdef5abcdef=1，
∴abcdef=1，
bcdef⋅aa⋅a=1a2=12，
∴a2=2，
同理可得：b2=4，c2=8，d2=12，e2=14，f2=18，
∴a2+b2+c2+d2+e2+f2=1198；
故答案为1198．
【点睛】本题主要考查等式性质及分式性质，熟练掌握等式性质及分式性质是解题的关键．